Hallo, bei der Herleitung der Maschenregel aus der integralen Form des Induktionsgesetzes geht man davon aus, dass sich das Magnetische Feld im betrachteten System nicht ändert. Verwendet man Spulen in Schwinkgreisen oder betrachtet man Ein- oder Ausschaltvorgänge an der Spule, so ändert sich jedoch das magnetische Feld im Inneren der Spule. Eigentlich dürfte man die Maschenregel dann nicht verwenden, um Differentialgleichungen für diese Prozesse herzuleiten. Sehr viele Bücher tun dies jedoch. - Weshalb führt dieser scheinbar falsche Ansatz nicht zu falschen Ergebnissen? - Gibt es andere Ansätze, um zu den Differentialgleichungen zu kommen? Viele Grüße und vielen Dank Michael
michael schrieb: > - Gibt es andere Ansätze, um zu den Differentialgleichungen zu kommen? Es gibt auch andere Dinge, um sich den Tag zu versauen ;)
Ueblicherweise setzt man die Impedanz ein. Das waere dann j*omega*L, mit j= wurzel aus -1
Hallo Michael, > bei der Herleitung der Maschenregel aus der integralen Form des > Induktionsgesetzes geht man davon aus, dass sich das Magnetische Feld im > betrachteten System nicht ändert. > Verwendet man Spulen in Schwinkgreisen oder betrachtet man Ein- oder > Ausschaltvorgänge an der Spule, so ändert sich jedoch das magnetische > Feld im Inneren der Spule. Eigentlich dürfte man die Maschenregel dann > nicht verwenden, um Differentialgleichungen für diese Prozesse > herzuleiten. Sehr viele Bücher tun dies jedoch. > - Weshalb führt dieser scheinbar falsche Ansatz nicht zu falschen > Ergebnissen? Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar ist. Induktionsgesetz:
Maschenregel:
Deine Zweifel sind vollkommen berechtigt. Schauen wir uns zum Verständnis an, wie die E-Felder in einer Spule im Leerlauf (aber bei vorhandener Flußdichteänderung) aussehen. Dazu stellen wir uns eine Spule vor wie hier: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Integration_Coil.svg und berechnen die "Spannung", genauer: das Integral über das E-Feld, zwischen den beiden Klemmen einmal auf zwei Wegen. Beide Wege führen von der oberen zur unteren Klemme, aber - der Weg s1 soll über die Luftstrecke führen, während der - Weg s2 durch den Draht verläuft. Wir erhalten im ersten Fall:
und im zweiten Fall:
Weshalb im zweiten Fall die Null? Der Grund ist, daß sich im Draht
selbst, den wir als guten Leiter ansehen wollen, dem Ohmschen Gesetz
entsprechend ein E-Feld von null einstellt. Es fließt aufgrund des
Leerlaufs schließlich kein Strom!
(Hierbei soll unberücksichtigt bleiben, daß die Anordnung streng
genommen auch kapazitive Eigenschaften hat.)
Wir müssen also streng unterscheiden zwischen dem Integral über das
E-Feld
- entlang der Luftstrecke (AN der Spule) und
- entlang der Drahtstrecke (IN der Spule).
Wie also geht die Netzwerktheorie (die ja letztlich gar keine Felder
kennt, sondern nur u und i in Beziehung setzt) mit dem Phänomen der
Induktion um?
Wenn Du genau hinsiehst, so erkennst Du, daß sie stets in Beziehung
setzt:
- Spannungen AN der Spule mit
- Strömen IM Spulendraht
Die Integrationswege für die Spannungen führen in der Netzwerktheorie
also nie um den Spulenkern herum, sondern immer nur an ihren Klemmen
entlang (Luftstrecke).
Wenn man das dort vorhandene Streufeld der Spule (und der Zuleitungen)
vernachlässigen kann, so ist es möglich, Netzwerke mit Spulen mit den
Gleichungen der Netzwerktheorie zu berechnen. Man sollte dabei aber
wissen, daß es sich stets um eine Näherung handelt.
> - Gibt es andere Ansätze, um zu den Differentialgleichungen zu kommen?
Die Verwendung des Induktionsgesetzes ist schon der richtige Ansatz.
Viele Grüße
Michael
Hallo Michael, vielen Dank für deine Antwort. Michael Lenz schrieb: > Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das > Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die > Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim > Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar > ist. Ja, so ist das gemeint. Verstehe ich folgendes richtig: Durch die Änderung der Magnetfeldstärke im Inneren der Spule wird auch im Leiter der Spule ein E-Feld erzeugt, welches jedoch durch die Verschiebung von Elektronen im Draht schnell wieder kompensiert wird, so dass die Überlagerung dieser beiden E-Felder 0 ist und deshalb
folgt? Jedoch verstehe ich nicht, weshalb im ersten Fall
gilt. Auch außerhalb der Spule, also auch bei Weg s2, sollte ein E-Feld induziert werden. Müsste das dann nicht ringförmig um
verlaufen? vgl.:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Electromagnetic_induction.svg] Das elektrische Feld steht dann senkrecht zu dem Integrationsweg. Also müsste auf dem ganzen Weg
sein. Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch außerhalb des Leiters existiert? Viele Grüße Michael
Hallo Michael, >> Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das >> Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die >> Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim >> Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar >> ist. > Ja, so ist das gemeint. > Verstehe ich folgendes richtig: > Durch die Änderung der Magnetfeldstärke im Inneren der Spule wird auch > im Leiter der Spule ein E-Feld erzeugt, welches jedoch durch die > Verschiebung von Elektronen im Draht schnell wieder kompensiert wird, so > dass die Überlagerung dieser beiden E-Felder 0 ist und deshalb >
> folgt? Ja, genau. > Jedoch verstehe ich nicht, weshalb im ersten Fall >
> gilt.
Du meinst bestimmt:> Auch > außerhalb der Spule, also auch bei Weg s2, sollte ein E-Feld induziert > werden. Müsste das dann nicht ringförmig um
> verlaufen? Ich bin mir nicht 100%ig sicher, daß ich verstehe, was Du meinst. Wenn wir uns eine Spule mit Spulenkern vorstellen, also etwa so: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trafo_1.png aber ohne Sekundärwicklung, und uns das E-Feld im Bereich der Sekundärseite ansehen, so werden wir dort einen näherungsweise ringförmigen E-Verlauf um den Kern sehen. (Näherungsweise, weil der Kern eckig ist und die E-Felder, die mit der Flußänderung in den Schenkeln und der Primärseite verbunden sind, noch nicht 100% abgeklungen sind.) Auf der Primärseite ist die Symmetrie des Feldes stark verzerrt, da wir ja außer Luft auch noch den Draht haben und im Draht selbst E=0 erzwungen wird. Nun ist die Frage, wo wir das dPsi/dt bei der Spule sehen können. Zunächst mußt Du berücksichtigen, daß das Induktionsgesetz nur etwas darüber aussagt, wie das Integral über das E-Feld entlang eines GESCHLOSSENEN Weges (also einmal ganz herum, inkl. einer evtl. Lücke) ist. Um zu erfahren, wie sich das E-Feld entlang des Weges um die Flußänderung herum, verteilt, müssen wir uns die Materie in diesem Bereich ansehen. Wenn wir beispielsweise zwei Drahtwiderstände mit den Widerständen R1 und R2 an den jeweiligen Enden zusammenlöten und um einen Spulenkern herum anordnen, dann wird der Anteil R1/(R1+R2) der Flußänderung -dPsi/dt am ersten Widerstand und der Anteil R2/(R1+R2) am zweiten Widerstand zu finden sein. In unserem Beispiel sind die Wege s1 und s2 so gewählt, daß sie zusammen genommen einen kompletten Umlaufweg ergeben. Wenn wir im Uhrzeigersinn laufen wollen (damit unsere Flächennormale in die Richtung zeigt, in die auch B zeigt), müssen wir den Spulenweg s2 nehmen und daran gewissermaßen die Luftstrecke -s1 anhängen (also s1, bloß mit anderer Integrationsrichtung). Das ergibt den Gesamtumlauf. Da wir mithilfe des Induktionsgesetzes festgestellt haben, daß das Integral für den Gesamtumlauf -dPsi/dt ergibt, und da wir außerdem wissen, daß das Feld entlang des Drahtweges gleich null ist, können wir schlußfolgern, daß das gesamte -dPsi/dt zwischen den Klemmen zu finden sein muß. Es ist letztlich die Ladungsverschiebung im Draht, die diesen unstetigen Verlauf des E-Feldes bewirkt. Die Ladungsverschiebung im Draht wirkt ja nicht nur auf das E-Feld im Draht, sondern auch auf seine Umgebung. > vgl.:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Electromagnetic_induction.svg] > Das elektrische Feld steht dann senkrecht zu dem Integrationsweg. Also > müsste auf dem ganzen Weg
sein. > > Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass > aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch > außerhalb des Leiters existiert? Der Buchstabe E in den Maxwellgleichungen enthält immer ALLES, was wir elektrisches Feld nennen können. Im konkreten Beispiel ist es die Überlagerung zwischen dem E-Feld, das mit der Flußdichteänderung verkoppelt ist, und dem E-Feld, das durch Ladungsverschiebungen im Leiter verursacht wird. Viele Grüße, Michael PS: Ein Hinweis zu bewegten Leiterschleifen, damit Du die Chance hast, das gleich richtig zu lernen. Wenn Leiterschleifen bewegt werden, dürfen wir nicht mehr automatisch E=0 für die Leiterschleife annehmen. Im stromlosen Fall gilt vielmehr E=-vxB. Diesen Wert können wir durch eine Kraftbetrachtung herleiten. Auf eine freie Ladung q im bewegten Leiter wirkt die Kraft:
Wenn die Kraft näherungsweise gleich null ist (im stromlosen Fall ist sie exakt gleich null), so folgt:
Leider lehren viele Professoren diesen Zusammenhang falsch und geben dann (weil sonst falsche Rechenergebnisse herauskommen) zusätzlich noch ein falsches Induktionsgesetz in Integralform an. Das ergibt zwei Fehler, die sich gewissermaßen gegeneinander aufheben. Entgegen vielen anderslautenden Behauptungen lautet die allgemeine Version des Induktionsgesetz in Integralform jedoch:
Die Version, bei der auf der rechten Seite eine Flußänderung steht, ist eine spezielle Version, die für ruhende Randlinien gilt. Es ist also genau andersherum, als es in gefühlten 80% der Bücher steht. Mit dem korrekten Induktionsgesetz kann man aber nur arbeiten, wenn man das E-Feld richtig berechnet. Das geht entweder mit der o. g. Kraftbetrachtung oder über eine Feldtransformation mit der Lorentztransformation (spez. Relativitätstheorie).
Es gibt verschiedene Ansaetze. Der Gewaehlte, die physikalischen Zusammenhaenge, sprich Maxwell, zusammen mit Maschen- & Knotengleichungen zu verwenden ist der Aufwendigste. In einem konservativen Feld, einem Potential, dh einem statischen E-Feld ist das Linienintegral aus Weg Skalar Feld gleich Null. Wenn das Feld nicht mehr konservativ ist, man wechsel-B Felder hat, so ist das Linienintegral aus Weg Skalar Feld nicht mehr gleich Null, sondern die Ableitung des magnetischen Flusses. Ich wuerd da die Maschen- & Knotengleichungen nicht gleichzeitig betrachten.
Hallo Michael, Michael Lenz schrieb: > Da wir mithilfe des Induktionsgesetzes festgestellt haben, daß das > Integral für den Gesamtumlauf -dPsi/dt ergibt, und da wir außerdem > wissen, daß das Feld entlang des Drahtweges gleich null ist, können wir > schlußfolgern, daß das gesamte -dPsi/dt zwischen den Klemmen zu finden > sein muß. Der Schritt hat mir noch gefehlt. Michael Lenz schrieb: >> Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass >> aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch >> außerhalb des Leiters existiert? > Der Buchstabe E in den Maxwellgleichungen enthält immer ALLES, was wir > elektrisches Feld nennen können. Im konkreten Beispiel ist es die > Überlagerung zwischen dem E-Feld, das mit der Flußdichteänderung > verkoppelt ist, und dem E-Feld, das durch Ladungsverschiebungen im > Leiter verursacht wird. Hier habe ich mich unsauber ausgedrückt: Auf dem Integrationsweg über s1 besteht das E-Feld aus einer Vektoraddition des Feldes E1, welches direkt auf die Änderung der Magnetfeldstärke zurückgeht (ringförmiges E-Feld) und dem E-Feld E2, welches auf die Ladungsverschiebung im Draht zurückgeht. Zum Integral entlang s1 liefert der Anteil E1 jedoch keinen Beitrag, da er immer senkrecht zum Integrationsweg steht (Skalarprodukt). Deshalb ist der Anteil E2 allein für
verantwortlich. Richtig so? Die Anmerkung zu bewegten Leiterschleifen les ich mir morgen nochmal Ruhe durch. Vielen Dank für alle Antworten, hat mir sehr geholfen Michael
Hallo Michael, > Hier habe ich mich unsauber ausgedrückt: Auf dem Integrationsweg über s1 > besteht das E-Feld aus einer Vektoraddition des Feldes E1, welches > direkt auf die Änderung der Magnetfeldstärke zurückgeht (ringförmiges > E-Feld) und dem E-Feld E2, welches auf die Ladungsverschiebung im Draht > zurückgeht. Soweit ok. > Zum Integral entlang s1 liefert der Anteil E1 jedoch keinen > Beitrag, da er immer senkrecht zum Integrationsweg steht > (Skalarprodukt). Meiner Anschauung nach ist das E1-Feld parallel zum Integrationsweg. Es verläuft ja irgendwie ringförmig um den Magnetkern - genauso also, wie der Draht. Den Weg s kannst Du Dir aus kleinen Wegstückchen ds zusammengesetzt denken, ungefähr so wie hier: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Spannungsdefinition.svg > Deshalb ist der Anteil E2 allein für >
verantwortlich. > Richtig so? Wenn wir im Draht idealtypisch E=0 setzen, so ist E (das Gesamt-E) tatsächlich senkrecht auf dem Integrationsweg. Der Null-Vektor ist schließlich senkrecht zu jedem Vektor. Ich glaube aber, das meinst Du nicht. Sobald Du einen Stromfluß im Leiter zuläßt, verläuft E in Stromrichtung (und damit parallel zum Integrationsweg). Da kann es meist immer noch vernachlässigt werden, weil es sehr klein ist. Mit "senkrecht" hat das aber nichts mehr zu tun. > Die Anmerkung zu bewegten Leiterschleifen les ich mir morgen nochmal > Ruhe durch. Das meiner Meinung beste Beispiel zum Verständnis ist der bewegte Leiterstab im Magnetfeld: http://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#Bewegter_Leiterstab_im_Magnetfeld Viele Grüße Michael
Hallo Jobst, > Vortrag von einem klasse Prof dazu: > http://www.youtube.com/watch?v=eqjl-qRy71w Oh ja, das sind ganz hervorragende Vorlesungen und prima Experimente. Ich wünschte, ich hätte auch so gute Vorlesungen gehabt. Die Wirbelfelder erklärt er didaktisch sehr ausgereift und meines Erachtens korrekt. Leider kennt Professor Lewin aber anscheinend die relativistischen Aspekten der Feldtheorie nicht hinreichend. Zumindest gibt er, wie viele andere auch, das Induktionsgesetz falsch an. Viele Grüße Michael
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