Maschenregel und Spulen

Ueblicherweise setzt man die Impedanz ein. Das waere dann j*omega*L, mit 
j= wurzel aus -1

Hallo Michael,

> bei der Herleitung der Maschenregel aus der integralen Form des
> Induktionsgesetzes geht man davon aus, dass sich das Magnetische Feld im
> betrachteten System nicht ändert.
> Verwendet man Spulen in Schwinkgreisen oder betrachtet man Ein- oder
> Ausschaltvorgänge an der Spule, so ändert sich jedoch das magnetische
> Feld im Inneren der Spule. Eigentlich dürfte man die Maschenregel dann
> nicht verwenden, um Differentialgleichungen für diese Prozesse
> herzuleiten. Sehr viele Bücher tun dies jedoch.

> - Weshalb führt dieser scheinbar falsche Ansatz nicht zu falschen
> Ergebnissen?
Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das 
Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die 
Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim 
Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar 
ist.

Induktionsgesetz:

$$\oint_{\partial A} \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = -\int\limits_{A} \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec A$$

Maschenregel:

$$\oint_{\partial A} \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = 0$$

Deine Zweifel sind vollkommen berechtigt.

Schauen wir uns zum Verständnis an, wie die E-Felder in einer Spule im 
Leerlauf (aber bei vorhandener Flußdichteänderung) aussehen. Dazu 
stellen wir uns eine Spule vor wie hier:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Integration_Coil.svg
und berechnen die "Spannung", genauer: das Integral über das E-Feld, 
zwischen den beiden Klemmen einmal auf zwei Wegen. Beide Wege führen von 
der oberen zur unteren Klemme, aber
- der Weg s1 soll über die Luftstrecke führen, während der
- Weg s2 durch den Draht verläuft.

Wir erhalten im ersten Fall:

$$\oint_{s1} \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = -\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$$

und im zweiten Fall:

$$\oint_{s2} \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = 0$$

Weshalb im zweiten Fall die Null? Der Grund ist, daß sich im Draht 
selbst, den wir als guten Leiter ansehen wollen, dem Ohmschen Gesetz 
entsprechend ein E-Feld von null einstellt. Es fließt aufgrund des 
Leerlaufs schließlich kein Strom!
(Hierbei soll unberücksichtigt bleiben, daß die Anordnung streng 
genommen auch kapazitive Eigenschaften hat.)

Wir müssen also streng unterscheiden zwischen dem Integral über das 
E-Feld
- entlang der Luftstrecke (AN der Spule) und
- entlang der Drahtstrecke (IN der Spule).

Wie also geht die Netzwerktheorie (die ja letztlich gar keine Felder 
kennt, sondern nur u und i in Beziehung setzt) mit dem Phänomen der 
Induktion um?

Wenn Du genau hinsiehst, so erkennst Du, daß sie stets in Beziehung 
setzt:
- Spannungen AN der Spule mit
- Strömen IM Spulendraht

Die Integrationswege für die Spannungen führen in der Netzwerktheorie 
also nie um den Spulenkern herum, sondern immer nur an ihren Klemmen 
entlang (Luftstrecke).
Wenn man das dort vorhandene Streufeld der Spule (und der Zuleitungen) 
vernachlässigen kann, so ist es möglich, Netzwerke mit Spulen mit den 
Gleichungen der Netzwerktheorie zu berechnen. Man sollte dabei aber 
wissen, daß es sich stets um eine Näherung handelt.

> - Gibt es andere Ansätze, um zu den Differentialgleichungen zu kommen?
Die Verwendung des Induktionsgesetzes ist schon der richtige Ansatz.

Viele Grüße
Michael

Hallo Michael,

vielen Dank für deine Antwort.

Michael Lenz schrieb:
> Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das
> Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die
> Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim
> Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar
> ist.
Ja, so ist das gemeint.


Verstehe ich folgendes richtig:
Durch die Änderung der Magnetfeldstärke im Inneren der Spule wird auch 
im Leiter der Spule ein E-Feld erzeugt, welches jedoch durch die 
Verschiebung von Elektronen im Draht schnell wieder kompensiert wird, so 
dass die Überlagerung dieser beiden E-Felder 0 ist und deshalb

$$\int_{s2}{\vec E d\vec s} = 0$$

folgt?

Jedoch verstehe ich nicht, weshalb im ersten Fall

$$\int_{s2}{\vec E d\vec s} = -\frac{d\phi}{dt}$$

 gilt. Auch außerhalb der Spule, also auch bei Weg s2, sollte ein E-Feld 
induziert werden. Müsste das dann nicht ringförmig um

$$\frac{d \vec B}{dt}$$

 verlaufen?
vgl.:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Electromagnetic_induction.svg]
Das elektrische Feld steht dann senkrecht zu dem Integrationsweg. Also 
müsste auf dem ganzen Weg

$$\vec E d \vec s = 0$$

 sein.

Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass 
aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch 
außerhalb des Leiters existiert?

Viele Grüße
Michael

Hallo Michael,

>> Wenn ich Deinen Gedankengang richtig verstanden habe, so hast Du das
>> Induktionsgesetz und die Maschenregel verglichen und erkannt, daß die
>> Maschenregel ein Spezialfall des Induktionsgesetzes ist, die beim
>> Vorhandensein von Flußdichteänderungen normalerweise nicht anwendbar
>> ist.
> Ja, so ist das gemeint.

> Verstehe ich folgendes richtig:
> Durch die Änderung der Magnetfeldstärke im Inneren der Spule wird auch
> im Leiter der Spule ein E-Feld erzeugt, welches jedoch durch die
> Verschiebung von Elektronen im Draht schnell wieder kompensiert wird, so
> dass die Überlagerung dieser beiden E-Felder 0 ist und deshalb
>

$$\int_{s2}{\vec E d\vec s} = 0$$

> folgt?
Ja, genau.
> Jedoch verstehe ich nicht, weshalb im ersten Fall
>

$$\int_{s2}{\vec E d\vec s} = -\frac{d\phi}{dt}$$

> gilt.
Du meinst bestimmt:

$$\int_{s1}{\vec E d\vec s} = -\frac{d\phi}{dt}$$

> Auch
> außerhalb der Spule, also auch bei Weg s2, sollte ein E-Feld induziert
> werden. Müsste das dann nicht ringförmig um

$$\frac{d \vec B}{dt}$$

> verlaufen?
Ich bin mir nicht 100%ig sicher, daß ich verstehe, was Du meinst.

Wenn wir uns eine Spule mit Spulenkern vorstellen, also etwa so:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trafo_1.png
aber ohne Sekundärwicklung, und uns das E-Feld im Bereich der 
Sekundärseite ansehen, so werden wir dort einen näherungsweise 
ringförmigen E-Verlauf um den Kern sehen. (Näherungsweise, weil der Kern 
eckig ist und die E-Felder, die mit der Flußänderung in den Schenkeln 
und der Primärseite verbunden sind, noch nicht 100% abgeklungen sind.)

Auf der Primärseite ist die Symmetrie des Feldes stark verzerrt, da wir 
ja außer Luft auch noch den Draht haben und im Draht selbst E=0 
erzwungen wird.

Nun ist die Frage, wo wir das dPsi/dt bei der Spule sehen können.
Zunächst mußt Du berücksichtigen, daß das Induktionsgesetz nur etwas 
darüber aussagt, wie das Integral über das E-Feld entlang eines 
GESCHLOSSENEN Weges (also einmal ganz herum, inkl. einer evtl. Lücke) 
ist. Um zu erfahren, wie sich das E-Feld entlang des Weges um die 
Flußänderung herum, verteilt, müssen wir uns die Materie in diesem 
Bereich ansehen.
Wenn wir beispielsweise zwei Drahtwiderstände mit den Widerständen R1 
und R2 an den jeweiligen Enden zusammenlöten und um einen Spulenkern 
herum anordnen, dann wird der Anteil R1/(R1+R2) der Flußänderung 
-dPsi/dt am ersten Widerstand und der Anteil R2/(R1+R2) am zweiten 
Widerstand zu finden sein.

In unserem Beispiel sind die Wege s1 und s2 so gewählt, daß sie zusammen 
genommen einen kompletten Umlaufweg ergeben. Wenn wir im Uhrzeigersinn 
laufen wollen (damit unsere Flächennormale in die Richtung zeigt, in die 
auch B zeigt), müssen wir den Spulenweg s2 nehmen und daran 
gewissermaßen die Luftstrecke -s1 anhängen (also s1, bloß mit anderer 
Integrationsrichtung). Das ergibt den Gesamtumlauf.

Da wir mithilfe des Induktionsgesetzes festgestellt haben, daß das 
Integral für den Gesamtumlauf -dPsi/dt ergibt, und da wir außerdem 
wissen, daß das Feld entlang des Drahtweges gleich null ist, können wir 
schlußfolgern, daß das gesamte -dPsi/dt zwischen den Klemmen zu finden 
sein muß.

Es ist letztlich die Ladungsverschiebung im Draht, die diesen unstetigen 
Verlauf des E-Feldes bewirkt. Die Ladungsverschiebung im Draht wirkt ja 
nicht nur auf das E-Feld im Draht, sondern auch auf seine Umgebung.

> 
vgl.:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Electromagnetic_induction.svg]
> Das elektrische Feld steht dann senkrecht zu dem Integrationsweg. Also
> müsste auf dem ganzen Weg

$$\vec E d \vec s = 0$$

 sein.
>
> Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass
> aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch
> außerhalb des Leiters existiert?
Der Buchstabe E in den Maxwellgleichungen enthält immer ALLES, was wir 
elektrisches Feld nennen können. Im konkreten Beispiel ist es die 
Überlagerung zwischen dem E-Feld, das mit der Flußdichteänderung 
verkoppelt ist, und dem E-Feld, das durch Ladungsverschiebungen im 
Leiter verursacht wird.


Viele Grüße,
Michael



PS:
Ein Hinweis zu bewegten Leiterschleifen, damit Du die Chance hast, das 
gleich richtig zu lernen.

Wenn Leiterschleifen bewegt werden, dürfen wir nicht mehr automatisch 
E=0 für die Leiterschleife annehmen. Im stromlosen Fall gilt vielmehr 
E=-vxB.
Diesen Wert können wir durch eine Kraftbetrachtung herleiten. Auf eine 
freie Ladung q im bewegten Leiter wirkt die Kraft:

$$\vec F=q(\vec E+\vec vx\vec B)$$

Wenn die Kraft näherungsweise gleich null ist (im stromlosen Fall ist 
sie exakt gleich null), so folgt:

$$\vec E=-\vec v \times \vec B$$

Leider lehren viele Professoren diesen Zusammenhang falsch und geben 
dann (weil sonst falsche Rechenergebnisse herauskommen) zusätzlich noch 
ein falsches Induktionsgesetz in Integralform an. Das ergibt zwei 
Fehler, die sich gewissermaßen gegeneinander aufheben.

Entgegen vielen anderslautenden Behauptungen lautet die allgemeine 
Version des Induktionsgesetz in Integralform jedoch:

$$\oint_{\partial A} \vec E \cdot \mathrm{d}\vec s = -\int\limits_{A} \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec A$$

Die Version, bei der auf der rechten Seite eine Flußänderung steht, ist 
eine spezielle Version, die für ruhende Randlinien gilt. Es ist also 
genau andersherum, als es in gefühlten 80% der Bücher steht.

Mit dem korrekten Induktionsgesetz kann man aber nur arbeiten, wenn man 
das E-Feld richtig berechnet. Das geht entweder mit der o. g. 
Kraftbetrachtung oder über eine Feldtransformation mit der 
Lorentztransformation (spez. Relativitätstheorie).

Es gibt verschiedene Ansaetze. Der Gewaehlte, die physikalischen 
Zusammenhaenge, sprich Maxwell, zusammen mit Maschen- & 
Knotengleichungen zu verwenden ist der Aufwendigste.

In einem konservativen Feld, einem Potential, dh einem statischen E-Feld 
ist das Linienintegral aus Weg Skalar Feld gleich Null.
Wenn das Feld nicht mehr konservativ ist, man wechsel-B Felder hat, so 
ist das  Linienintegral aus Weg Skalar Feld nicht mehr gleich Null, 
sondern die Ableitung des magnetischen Flusses.

Ich wuerd da die  Maschen- & Knotengleichungen nicht gleichzeitig 
betrachten.

Hallo Michael,

Michael Lenz schrieb:
> Da wir mithilfe des Induktionsgesetzes festgestellt haben, daß das
> Integral für den Gesamtumlauf -dPsi/dt ergibt, und da wir außerdem
> wissen, daß das Feld entlang des Drahtweges gleich null ist, können wir
> schlußfolgern, daß das gesamte -dPsi/dt zwischen den Klemmen zu finden
> sein muß.
Der Schritt hat mir noch gefehlt.



Michael Lenz schrieb:
>> Oder ist das E-Feld, über das hier integriert wird das Feld, dass
>> aufgrund der Ladungstrennung (vgl. bei Weg 2) erzeugt wurde und auch
>> außerhalb des Leiters existiert?
> Der Buchstabe E in den Maxwellgleichungen enthält immer ALLES, was wir
> elektrisches Feld nennen können. Im konkreten Beispiel ist es die
> Überlagerung zwischen dem E-Feld, das mit der Flußdichteänderung
> verkoppelt ist, und dem E-Feld, das durch Ladungsverschiebungen im
> Leiter verursacht wird.
Hier habe ich mich unsauber ausgedrückt: Auf dem Integrationsweg über s1 
besteht das E-Feld aus einer Vektoraddition des Feldes E1, welches 
direkt auf die Änderung der Magnetfeldstärke zurückgeht (ringförmiges 
E-Feld) und dem E-Feld E2, welches auf die Ladungsverschiebung im Draht 
zurückgeht. Zum Integral entlang s1 liefert der Anteil E1 jedoch keinen 
Beitrag, da er immer senkrecht zum Integrationsweg steht 
(Skalarprodukt). Deshalb ist der Anteil E2 allein für

$$-\frac{d\Phi}{dt}$$

 verantwortlich.
Richtig so?

Die Anmerkung zu bewegten Leiterschleifen les ich mir morgen nochmal 
Ruhe durch.

Vielen Dank für alle Antworten, hat mir sehr geholfen
Michael

Hallo Michael,

> Hier habe ich mich unsauber ausgedrückt: Auf dem Integrationsweg über s1
> besteht das E-Feld aus einer Vektoraddition des Feldes E1, welches
> direkt auf die Änderung der Magnetfeldstärke zurückgeht (ringförmiges
> E-Feld) und dem E-Feld E2, welches auf die Ladungsverschiebung im Draht
> zurückgeht.
Soweit ok.

> Zum Integral entlang s1 liefert der Anteil E1 jedoch keinen
> Beitrag, da er immer senkrecht zum Integrationsweg steht
> (Skalarprodukt).
Meiner Anschauung nach ist das E1-Feld parallel zum Integrationsweg. 
Es verläuft ja irgendwie ringförmig um den Magnetkern - genauso also, 
wie der Draht. Den Weg s kannst Du Dir aus kleinen Wegstückchen ds 
zusammengesetzt denken, ungefähr so wie hier:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Spannungsdefinition.svg

> Deshalb ist der Anteil E2 allein für
>

$$-\frac{d\Phi}{dt}$$

 verantwortlich.
> Richtig so?
Wenn wir im Draht idealtypisch E=0 setzen, so ist E (das Gesamt-E) 
tatsächlich senkrecht auf dem Integrationsweg. Der Null-Vektor ist 
schließlich senkrecht zu jedem Vektor. Ich glaube aber, das meinst Du 
nicht.

Sobald Du einen Stromfluß im Leiter zuläßt, verläuft E in Stromrichtung 
(und damit parallel zum Integrationsweg). Da kann es meist immer noch 
vernachlässigt werden, weil es sehr klein ist. Mit "senkrecht" hat das 
aber nichts mehr zu tun.

> Die Anmerkung zu bewegten Leiterschleifen les ich mir morgen nochmal
> Ruhe durch.
Das meiner Meinung beste Beispiel zum Verständnis ist der bewegte 
Leiterstab im Magnetfeld:
http://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetische_Induktion#Bewegter_Leiterstab_im_Magnetfeld


Viele Grüße
Michael

Hallo Jobst,

> Vortrag von einem klasse Prof dazu:
> http://www.youtube.com/watch?v=eqjl-qRy71w

Oh ja, das sind ganz hervorragende Vorlesungen und prima Experimente. 
Ich wünschte, ich hätte auch so gute Vorlesungen gehabt. Die 
Wirbelfelder erklärt er didaktisch sehr ausgereift und meines Erachtens 
korrekt.
Leider kennt Professor Lewin aber anscheinend die relativistischen 
Aspekten der Feldtheorie nicht hinreichend. Zumindest gibt er, wie viele 
andere auch, das Induktionsgesetz falsch an.


Viele Grüße
Michael