Berechnung OPV Tiefpass

Das Filter sollte sich gleich verhalten wie dieser Tiefpass mit
Mehrfachgegenkopplung:

  http://www.aktivfilter.de/tiefpass-mit-mehrfachgegenkopplung.htm

wenn du die Widerstände und Kondensatoren folgendermaßen zuordnest:

1

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2

mit differentiellem Eingang     mit einfachem Eingang

3

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4

    R1 = R2                         R1

5

    R3 = R4                         R2

6

    R5 = R6                         R3

7

    C1                              C2/2

8

    C2 = C3                         C1

9

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Wie du siehst, kommen in der differentiellen Schaltung alle passiven
Bauteile doppelt vor. Sie verhält zum einfachen Tiefpass wie ein
Subtrahierverstärker zum einfachen invertierenden Verstärker. Den
Kondensator C1 in der differentiellen Schaltung muss man sich dabei als
Serienschaltung zweier doppelt so großen Kondensatoren denken.

Die Übertragungsfunktion des einfachen Filters mit Mehrfachgegenkopplung
findest du im Tietze-Schenk und sicher auch irgendwo im Netz.

>Was mich nun interessiert ist: Wie bekomme ich die Übertragungsfunktion
>heraus? Also Ua(U1, U2, f)

Garnicht. Das macht man heute mit einem Simulator. Vorteil: Du 
simulierst den OPamp gleich mit und erhälst daher ein viel 
realistischeres Bild als mit dem Aufstellen der Übertragungsfunktion 
allein, die ja immer nur einen idealen OPamp annimmt.

Wenn du bisher C1 nicht berücksichtigt hast, dann war deine bisherige 
Rechnung leider umsonst(falsch).

Mit dem Programm Sapwin lässt sich eine Menge Rechenarbeit sparen. Es 
berechnet eine symbolische Lösung. Siehe unten. Diese Formel vereinfacht 
sich deutlich, wenn man R1=R2, R3=R4, R5=R6 und C2=C3 verwendet. Siehe 
weiter unten.


Vout = VoutX+*(....)/(....)  +VoutX-*(....)/(....)

VoutX+ *

(  - R3 R4 - R2 R3)

(  - C3 R3 R4 R6 - C3 R2 R3 R6 - C3 R2 R3 R4) s

(  + C2 C1 R2 R3 R4 R5 - C3 C1 R2 R3 R4 R6) s^2

------------------------------------------------------------------------ 
-

(  + R1 R4 + R1 R2)

(  + C2 R3 R4 R5 + C2 R2 R3 R5 + C2 R1 R4 R5 + C2 R1 R3 R4 + C2 R1 R2 R5 
+ C2 R1 R2 R3 + C3 R1 R4 R6 + C3 R1 R2 R6 + C3 R1 R2 R4) s

(  + C2 C1 R2 R3 R4 R5 + C2 C1 R1 R3 R4 R5 + C2 C1 R1 R2 R3 R5 + C3 C1 
R1 R2 R4 R6 + C3 C2 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 R2 R3 R5 R6 + C3 C2 R2 R3 R4 R5 
+ C3 C2 R1 R4 R5 R6 + C3 C2 R1 R3 R4 R6 + C3 C2 R1 R2 R5 R6 + C3 C2 R1 
R2 R4 R5 + C3 C2 R1 R2 R3 R6 + C3 C2 R1 R2 R3 R4) s^2

(  + C3 C2 C1 R2 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 
R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 R6 + C3 C2 C1 
R1 R2 R3 R4 R5) s^3


+ VoutX- *

(  + R3 R4 + R1 R4)

(  + C2 R3 R4 R5 + C2 R1 R4 R5 + C2 R1 R3 R4) s

(  + C2 C1 R1 R3 R4 R5 - C3 C1 R1 R3 R4 R6) s^2

------------------------------------------------------------------------

(  + R1 R4 + R1 R2)

(  + C2 R3 R4 R5 + C2 R2 R3 R5 + C2 R1 R4 R5 + C2 R1 R3 R4 + C2 R1 R2 R5 
+ C2 R1 R2 R3 + C3 R1 R4 R6 + C3 R1 R2 R6 + C3 R1 R2 R4) s

(  + C2 C1 R2 R3 R4 R5 + C2 C1 R1 R3 R4 R5 + C2 C1 R1 R2 R3 R5 + C3 C1 
R1 R2 R4 R6 + C3 C2 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 R2 R3 R5 R6 + C3 C2 R2 R3 R4 R5 
+ C3 C2 R1 R4 R5 R6 + C3 C2 R1 R3 R4 R6 + C3 C2 R1 R2 R5 R6 + C3 C2 R1 
R2 R4 R5 + C3 C2 R1 R2 R3 R6 + C3 C2 R1 R2 R3 R4) s^2

(  + C3 C2 C1 R2 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R3 R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 
R4 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 R3 R5 R6 + C3 C2 C1 R1 R2 R3 R4 R6 + C3 C2 C1 
R1 R2 R3 R4 R5) s^3



Bei sinnvoller Dimensionierung mit R1=R2, R3=R4, R5=R6 und C2=C3 ergibt 
sich (mit Sapwin berechnet):


(VoutX- - VoutX+) *

(  + R3 R3 + R1 R3)

(  + C2 R3 R3 R5 + C2 R1 R3 R5 + C2 R1 R3 R3) s

------------------------------------------------------------------------ 
-

(  + R1 R3 + R1 R1)

(  + C2 R3 R3 R5 +3  C2 R1 R3 R5 + C2 R1 R3 R3 +2  C2 R1 R1 R5 +2  C2 R1 
R1 R3) s

(  +2  C2 C1 R1 R3 R3 R5 +2  C2 C1 R1 R1 R3 R5 + C2 C2 R3 R3 R5 R5 +2 
C2 C2 R1 R3 R5 R5 +2  C2 C2 R1 R3 R3 R5 + C2 C2 R1 R1 R5 R5 +2  C2 C2 R1 
R1 R3 R5 + C2 C2 R1 R1 R3 R3) s^2

(  +2  C2 C2 C1 R1 R3 R3 R5 R5 +2  C2 C2 C1 R1 R1 R3 R5 R5 +2  C2 C2 C1 
R1 R1 R3 R3 R5) s^3

... Schaltung mit LTspice gezeichnet zum schnellen simulieren ....
 Werte müssen moch angepasst werden. viel Spaß.

Hallo,
Hier die korrigierte Version von Michaels Schaltung.

Helmut S. schrieb:
> Bei sinnvoller Dimensionierung mit R1=R2, R3=R4, R5=R6 und C2=C3 ergibt
> sich (mit Sapwin berechnet):
>
>
> (VoutX- - VoutX+) *
>
> (  + R3 R3 + R1 R3)
>
> (  + C2 R3 R3 R5 + C2 R1 R3 R5 + C2 R1 R3 R3) s
>
> ------------------------------------------------------------------------ -
>
> (  + R1 R3 + R1 R1)
>
> (  + C2 R3 R3 R5 +3  C2 R1 R3 R5 + C2 R1 R3 R3 +2  C2 R1 R1 R5 +2  C2 R1
> R1 R3) s
>
> (  +2  C2 C1 R1 R3 R3 R5 +2  C2 C1 R1 R1 R3 R5 + C2 C2 R3 R3 R5 R5 +2
> C2 C2 R1 R3 R5 R5 +2  C2 C2 R1 R3 R3 R5 + C2 C2 R1 R1 R5 R5 +2  C2 C2 R1
> R1 R3 R5 + C2 C2 R1 R1 R3 R3) s^2
>
> (  +2  C2 C2 C1 R1 R3 R3 R5 R5 +2  C2 C2 C1 R1 R1 R3 R5 R5 +2  C2 C2 C1
> R1 R1 R3 R3 R5) s^3

Das s im Zähler und das s³ im Nenner macht etwas stutzig, da dies auf
eine Nullstelle und drei Pole hindeutet, die ein Tiefpass 2. Ordnung
nicht hat. Bei näherem Hinsehen stellt man aber fest, dass sich der
Bruch durch

kürzen lässt, so dass übrig bleibt:

Dieses Ergebnis entspricht – wie oben schon erwähnt – der im Tietze-
Schenk angegebenen Formel für den gewöhnlichen Tiefpass 2. Ordnung mit
Mehrfachgegenkopplung, wenn man aus Symmetriegründen C1 durch die
Reihenschaltung aus zwei doppelt so großen Kondensatoren ersetzt (daher
der Faktor 2 im ersten Summanden des Nenners).

Wenn man die angegebenen Bauteilwerte einsetzt, erhält man ziemlich
genau den Amplituden-Frequenzgang aus deiner Simulation mit dem 60MHz-
Opamp (s. Anhang). Nur die Phase läuft bei Frequenzen über 200kHz beim
nichtidealen Opamp etwas davon.

Danke Yalu,
das ist aber schade, dass das Programm Sapwin das nicht selber kann. Ich 
hatte spekuliert, dass das nur bei bestimmten Bauteilewerten stimmt. Es 
ist natürlich viel schöner, dass das für jede Dimensionierung gilt. Im 
Anhang ist die Schaltung für Sapwin.

http://cirlab.det.unifi.it/Sapwin/

Gruß
Helmut