Partitialbruchzerlegung Integral

[max (Gast)]

Kann mir jemand sagen wie nun weiter vorgehe?
Angabe

$$\textstyle \frac{4x^2+6x-9}{4x^3+9x}$$

Der komplette Bruch soll nach x integriert werden

$$\textstyle {\frac{-1}{x}}+{\frac{8x+6}{4x^2+9}}$$

So weit konnte ich den Bruch zerlegen wie geht es aber nun weiter?

[R. F. (rfr)]

Nullstellen und Polstelle finden. Zähler und Nenner faktorisieren.
Integral bilden, dabei nicht über Nullstellen oder Polstallen 
hinwegintegrieren.

Fertig.

[Markus S. (markus_s21)]

Wie faktoriesieren?

[Timm R. (Firma: privatfrickler.de) (treinisch)]

Hallo,

max schrieb:
> Der komplette Bruch soll nach x integriert werden
>
> So weit konnte ich den Bruch zerlegen wie geht es aber nun weiter?

sieht doch schon mal prima aus. Schau Dir die Summanden genau an, dann 
wirst Du schon sehen, mit welchen Stammfunktionen es weitergeht.
Beim ersten Bruch ist das noch absolut logisch, beim zweiten schon etwas 
exotischer, reimt sich aber vorne auf Markus und hinten auf Flatulens.

Happy Hacking….

Timm

[Markus S. (markus_s21)]

Super auf den Ln bin ich selbst auch noch gekommen trotzdem habe ich 
beim zweiten Summanden keine Ahnung obwohl das nur der arctan sein kann.

[A. B. (good_guy_greg)]

du kannst den 2. Summanden im Zähler aufspalten:

= 8*x / (4x^2+9)   +   6 / (4x^2+9)

Beim hinteren Teil Zähle und Nenner durch 9 dividieren, dann die 4/9*x^2 
durch u^2 substituieren. Nun kannst du die Ableitung des arctan 
anschauen.

Beim vorderen Teil partiell integrieren (das Integral von 1/(4x^2+9) 
kennst du ja nun) und dabei nach x ableiten.

Ich bin mir sicher das man das auch in einem Schritt machen kann, 
allerdings fällt mit momentan nichts einfachers ein.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Guten Tag

Zwecks Verifikation hab ichs auch mal versucht.
° Vorbereitung:
  Substitution:

$$z \ := \ \frac{x}{a} \ \rightarrow \ x = a \cdot z \ \rightarrow \mathrm{d} x = a \cdot \mathrm d z$$

$$\int \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d} x \ = \ \int\frac{1}{z^2+1} \mathrm d z \ = \ \mathrm{atan}(z) \ +C.$$

  Rücksubstitution:

$$\int \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d} x \ = \ \mathrm{atan}(\frac{x}{a}) \ +C.$$

° Ansatz für PBZ (a := 3÷2). Der Nenner wurde bereits faktorisiert.

$$\frac{x^2+a\cdot x-a^2}{x \cdot (x^2+a^2)} \ = \ \frac{A_1}{x} \ +\frac{A_2\cdot x +B_2}{x^2+a^2}.$$

Muliplikation mit dem Hauptnenner:

$$x^2+a\cdot x-a^2 \ = \ A_1 \cdot (x^2+a^2) \ +(A_2 \cdot x +B_2) \cdot x.$$

Berechnung der Ansatz Konstanten:

$$A_1 = -1, \ A_2 = 2, \ B_2 = a.$$

Einsetzen in den Ansatz:

$$\frac{x^2+a\cdot x-a^2}{x \cdot (x^2+a^2)} \ = \ -\frac{1}{x} \ +\frac{2\cdot x +a}{x^2+a^2}.$$

Zerlegen des zweiten Bruches:

$$\frac{x^2+a\cdot x-a^2}{x \cdot (x^2+a^2)} \ = \ -\frac{1}{x} \ +\frac{2\cdot x}{x^2+a^2} \ +\frac{a}{x^2+a^2}.$$

Integration:

$$\int \frac{x^2+a\cdot x-a^2}{x \cdot (x^2+a^2)} \mathrm{d} x \ = \ -\mathrm{ln}(x) \ +\mathrm{ln}(x^2+a^2) \ +\mathrm{atan}(\frac{x}{a}) \ +C.$$