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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik 2 RC-Glieder in Reihe -> DGLHallo,
zwei RC-Tiefpässe in Reihe geschaltet sehen so aus
----R1------R2----
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uq C1 C2
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und führen zu den DGLs:
1.und 2. Nun habe ich daraus eine DGL 2. Ordnung gebildet und wollt fragen, ob ich die richtig gebildet habe: Etwas kompliziert. Was spricht dagegen, das mit komplexen zweitoren zu rechnen? Mit Zc=-1/i*omega*C Dagegen spricht, dass wir die DGL analytisch und numerisch lösen sollen und dann vergleichen sollen. Bei deiner DGL stimmen doch die Einheiten gar nicht. Du hast rechts sowohl Volt als auch 1/sec^2. Das ist somit garantiert falsch. Das bekommst du mit Wechselstromrechnung: u2(s)/uq(s) = 1/(1 + (R1*C1+R2*C2+R1*C2)*s + R1*C1*R2*C2*s^2) Das formst du jetzt zur DGL um. u2 -> u2(t) s*u2 -> du2/dt s^2*u2 -> du2^2/dt^2 Viel Spass beim DGL lösen. Es ist übrigens garantiert nur der gedämpfte Fall da nur R und C. OK, habe beim Rüberholen auf die andere Seite einen Fehler gemacht. Und noch nen Vorzeichenfehler... Die DGL 2. Ordnung muss heißen: Der Term verschwindet noch und dann ists gut :) klaus schrieb: > Der Term verschwindet noch und dann ists gut :) Verschwinden heißt zu Null werden, das passiert hier nicht. Er wird zu Eins. ;) So, jetzt habe ich ein weiteres Problem. Stelle ich die 1. DGL nach Uc2 um und setze sie in die 2. DGL ein (um die Spannung des C1 anzuschauen), erhalte ich Gehe dann wieder die Lösungen der DGL durch, erhalte ich gleiche D, und Somit komme ich auf gleiche Ergebnisse wie bei der Rechnung für Uc2. Daran ist ja was falsch. Ich habe z.B. die Ableitung von Uq ignoriert, da diese bei konstanter Vorgabe von Uq ja null ist. Wo liegt mein Fehler? ich bekomme in der endgültigen DG rechts ein positives Vorzeichen für uc1. Schau mal, ich bin mir nicht sicher, evtl hab ich mich da selbst verrechnet... Das Minus sollte passen. Aber es hat bei der Berechnung der Variablen eh keinen Einfluss. Daher bin ich am Grübeln! Wie komme ich auf die DGL bzw die richtige Lösung der DGL für UC1 im belasteten Spannungsteiler? > Das Minus sollte passen.
Garantiert nicht. Überlege mal, wenn alle Einschwingvorgänge abgeklungen
sind, dann muss u1=uq sein.
Mit Sapwin gerechnet:
u1(s)/uq(s) = (1 + C2*R2*s)/(1 + (C1*R1 + C2*R2 + C2*R1)*s +
C2*C1*R1*R2)*s^2)
Umgeformt von Hand
u1(t) +(C1*R1 + C2*R2 + C2*R1)*du1(t)dt + C2*C1*R1*R2*du1(t)^2/dt^2 =
uq(t) + C2*R2*duq(t)/dt
Gut, das Vorzeichen guck ich später an. Jedoch: Die Gleichung die für UC1 rauskommt, ist bis auf die Ableitung von uq die gleiche wie oben die für UC2! Gehe ich nun den Weg zur Lösung der DGL, erhalte ich die gleichen Werte und somit die gleiche Kurve wie bei UC2. UC1 und UC2 haben aber verschiedene Spannungsverläufe. Was nun? Da machst du halt etwas falsch. Sprungantwort: der Faktor 1/s u1(s) = (1+c*s)/(s*(1+a*s)*(1+b*s)) -> u1(t) = 1+ ((a-c)*e^(-t/a)+(c-b)*e^(-t/b))/(b-a) In der anderen Lösung gibt es das c nicht. u2(t) = 1+ (a*e^(-t/a)-b*e^(-t/b))/(b-a) klaus schrieb: > Gut, das Vorzeichen guck ich später an. > > Jedoch: > Die Gleichung die für UC1 rauskommt, ist bis auf die Ableitung von uq > die gleiche wie oben die für UC2! > > Gehe ich nun den Weg zur Lösung der DGL, erhalte ich die gleichen Werte > und somit die gleiche Kurve wie bei UC2. > > UC1 und UC2 haben aber verschiedene Spannungsverläufe. Was nun? Ja, was machst du denn überhaupt? Du sagst etwas stimmt nict, aber verschweigst, was genau...Wir sind uns einig, dass deine DG richtig ist. Und dann? Die Form der DG ist für U1 und U2 gleich, wenn man von einem dUq/dt absieht. Entweder du behandelst das 1) sauber als "Deltafunktion", oder 2) du hast eben andere Integrationskonstanten, wie HelmutS schon gesagt hat. Er hat das Ergebnis "automatisch" aus der Laplace-Rücktransformation gewonnen (denke ich mir halt...). Diese ist zulässig, da alle Größen zum Zeitpunkt t=-0 Null sind. Wenn man es "zu Fuß" löst hat man die Anfangsbedingungen: Uc1(0) = 0 C1 * Uc1'(0) = Uq/R1 Uc2(0) = 0 Uc2'(0) = 0 Und da MUSS für Uc1 und Uc2 etwas anderes rauskommen, da brauch ich jetzt nicht mal konkret rechnen...Vielleicht magst du uns deine Rechnung mal zeigen? Kann es sein, dass du dem Trugschluss erlegen bist, dass zwei gleiche DGs notwendigerweise das gleiche Ergebnis bringen müssen, und daher gleich nicht weitergemacht hast? Die Gleichartigkeit bedeutet ja nur, dass die beiden Abklingkonstanten für Uc1 und Uc2 gleich sind, aber da können immer noch andere Vorfaktoren in der Lösung vorkommen! Liebe Grüße, Michael > Wenn man es "zu Fuß" löst hat man die Anfangsbedingungen: > > Uc1(0) = 0 > C1 * Uc1'(0) = Uq/R1 Da liegt das Problem: wie kommst du auf diese Gleichung: C1 * Uc1'(0) = Uq/R1 ? Ich hab normal UC1 = UC1_h + UC1_s mit UC1_h = K1*exp(lambda1*t) + K2*exp(lambda2*t) und UC1_s = Uq Und ab hier ist halt bei mir der Weg komplett gleich wie beim Rechnen mit UC2. Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der Ableitung von Uq in der DGL umgehen soll. klaus schrieb: >> Wenn man es "zu Fuß" löst hat man die Anfangsbedingungen: >> >> Uc1(0) = 0 >> C1 * Uc1'(0) = Uq/R1 > > Da liegt das Problem: wie kommst du auf diese Gleichung: > C1 * Uc1'(0) = Uq/R1 ? Im ersten Moment nach dem Einschalten ist C1 ungeladen, stellt also einen Kurzschluss gegen Masse dar. Daher fließt im R1 der Strom ic1(0) = Uq/R, da ja nach rechts in den R2 (noch) nichts hineinfließt. Strom durch C ist immer I = C dU/dt. Dies gleichgesetzt ergibt Anfangsbedingung (2). Für C2 kann man sich das detto überlegen. > > Ich hab normal UC1 = UC1_h + UC1_s mit UC1_h = K1*exp(lambda1*t) + > K2*exp(lambda2*t) und UC1_s = Uq > > Und ab hier ist halt bei mir der Weg komplett gleich wie beim Rechnen > mit UC2. Eben nicht ganz, da ja K1 und K2 durch die Randbedingungen (Anfangswert und erste Ableitung) vorgegeben werden. Also kommt für K1 und K2 jeweils was anderes raus. > > > Außerdem weiß ich nicht, wie ich mit der Ableitung von Uq in der DGL > umgehen soll. Wenn du Zeiten t>0 betrachtest, so ist dUq(t)/dt = 0. Dass es bei t=0 einen Sprung gibt, wird durch die Anfangsbedingungen berücksichtigt. Das kann man auch anders machen, aber dann wird es mathematisch anspruchsvoller (z.B. Green'sche Funktionen). Ich habe, um die 2 inhomogenen Gleichungen zu erhalten, die Gleichung für UC1 gebildet und diese dann abgeleitet, erhalte UC1 = K1 exp(lambda1*t)+K2 exp(lambda2*t) + Uq UC1' = lambda1 K1 exp(lambda1*t)+ lambda2 K2 exp(lambda2*t) Anfangsbedingungen UC1 = 0, UC1' = 0 (so habe ich es auch bei UC2 gemacht und das richtige Ergebnis erhalten) und die Gleichungen lauten UC1 = K1 + K2 + Uq = 0 UC1' = lambda1 K1 + lambda2 K2 = 0 und das liefert dann eben das Gleiche wie bei UC2. Meine Anfangsbedingungen sind also demnach falsch gewählt..? Daraus Für K3, K4 kommt doch nicht das gleiche raus ( wie auch? ): Hab's nicht nachgerechnet - der Weg sollte aber klar sein ;-) Vielen vielen Dank... jetzt weiß ich wo der Fehler lag: werde mir die Anfangsbedingungen nochmal angucken. Anfangs ist 1) U(C1)=0 2) I(R1) = Uq/R1, da ja U(C1)=0 3) I(R1) fließt vollständig nach C1, da dieser ja einen Kurzschluss gegenüber R2 darstellt. Daher: I(R1) = I(C1) 4) I(C1) = C1 * U'c1 (allgemein) 5) Daraus: C1 * U'c1 = Uq/R1 ok, alles klar. Jetzt musst du nur nochmal schnell deine Werte für K1 und K2 überprüfen, die stimmen nämlich nicht (z.B. kommen R2 und C2 in den Gleichungen garnicht vor) :) klaus schrieb: > ok, alles klar. > > Jetzt musst du nur nochmal schnell deine Werte für K1 und K2 überprüfen, > die stimmen nämlich nicht (z.B. kommen R2 und C2 in den Gleichungen > garnicht vor) :) Tja, ich hab mich da irgendwo verdröselt. Aber wenn der Rechenweg jetzt klar ist, hab ich keine Lust, mir das nochmals anzusehen... Bitte melde dich an um einen Beitrag zu schreiben. Anmeldung ist kostenlos und dauert nur eine Minute.
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