Varianz mehrerer normalverteilter Zufallsvariablen

[A. B. (good_guy_greg)]

Ich habe ziehmliche Mühe mit mehreren unabhängigen Zufallsvariablen: Ich 
habe eine Normalverteilte Zufallsvariable X~N(µ,s^2) und möchte die 
Verteilung von n*X berechnen (n ist eine positive reele Zahl). Laut 
Wikipedia sollte diese wieder normal verteilt sein.

P(X <= a) = integral( 1/(s*sqrt(2*pi))*exp(-1/2*(µ-x)^2/s^2) ,x,-inf,a)

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable X einen Wert kleiner 
gleich a annimmt, µ ist der Erwartungswert und s die Standardabweichung.
Jetzt möchte ich die Dichtefunktion von Y = n*X berechnen:

P(Y <= a) = P(n*X <= a) = P(X <= a/n) =

integral( 1/(s*sqrt(2*pi))*exp(-1/2*(µ-x)^2/s^2) ,x,-inf,a/n)

Um die Dichtefunktion für y zu erhalten leite ich den obigen Ausdruck 
nach a ab und erhalte:

1/(s*sqrt(2*pi)) * 1/n * exp( -1/2*(µ-x)^2/s^2)

der Faktor 1/n kommt von der Kettenregel (die obere Grenze ist a/n, es 
wurde nach a abgeleitet).

Durch Umformen komme ich auf:

1/(s*n*sqrt(2*pi) * exp(-1/2*(µ*n-y)^2/(n*s)^2)

Das wäre in der Tat eine Normalverteilung mit Erwartungswert n*µ und 
Standardabweichung n*s.
Setzt man n=2 würde das bedeuten, das der neue Erwartungswert 2*µ ist 
und die neue Standardabweichung 2*s. Allerdings sollten sich bei 
unabhängigen Zufallsvariablen nicht die Standardabweichungen, sondern 
die Varianzen addieren. Die neue Standardabweichung sollte also

sqrt(2*s^2) = sqrt(2) * s

sein.

Hat jemand eine Idee wo der Fehler steckt?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

A. B. schrieb:
> Allerdings sollten sich bei unabhängigen Zufallsvariablen nicht die
> Standardabweichungen, sondern die Varianzen addieren.

2X ist zwar die Summe von X und X, aber X und X sind nicht voneinander 
unabhängig, sondern gleich.

Ganz allgemein (nicht nur bei der Normalverteilung) gilt:

Var(X) = E(X²) – E(X)²

und

Var(nX) = E((nX)²) – E(nX)² = n²(E(X²) – E(X)²) = n²Var(X)

und damit

σ(nX) = nσ(X)

[A. B. (good_guy_greg)]

Auweia manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald wirklich nicht 
mehr. Wie ich auf die Idee gekommen bin das X unabhängig von sich selbst 
ist weiß ich leider auch nicht mehr.
Danke für die Erklärung.