Ich habe ziehmliche Mühe mit mehreren unabhängigen Zufallsvariablen: Ich habe eine Normalverteilte Zufallsvariable X~N(µ,s^2) und möchte die Verteilung von n*X berechnen (n ist eine positive reele Zahl). Laut Wikipedia sollte diese wieder normal verteilt sein. P(X <= a) = integral( 1/(s*sqrt(2*pi))*exp(-1/2*(µ-x)^2/s^2) ,x,-inf,a) Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable X einen Wert kleiner gleich a annimmt, µ ist der Erwartungswert und s die Standardabweichung. Jetzt möchte ich die Dichtefunktion von Y = n*X berechnen: P(Y <= a) = P(n*X <= a) = P(X <= a/n) = integral( 1/(s*sqrt(2*pi))*exp(-1/2*(µ-x)^2/s^2) ,x,-inf,a/n) Um die Dichtefunktion für y zu erhalten leite ich den obigen Ausdruck nach a ab und erhalte: 1/(s*sqrt(2*pi)) * 1/n * exp( -1/2*(µ-x)^2/s^2) der Faktor 1/n kommt von der Kettenregel (die obere Grenze ist a/n, es wurde nach a abgeleitet). Durch Umformen komme ich auf: 1/(s*n*sqrt(2*pi) * exp(-1/2*(µ*n-y)^2/(n*s)^2) Das wäre in der Tat eine Normalverteilung mit Erwartungswert n*µ und Standardabweichung n*s. Setzt man n=2 würde das bedeuten, das der neue Erwartungswert 2*µ ist und die neue Standardabweichung 2*s. Allerdings sollten sich bei unabhängigen Zufallsvariablen nicht die Standardabweichungen, sondern die Varianzen addieren. Die neue Standardabweichung sollte also sqrt(2*s^2) = sqrt(2) * s sein. Hat jemand eine Idee wo der Fehler steckt?
A. B. schrieb: > Allerdings sollten sich bei unabhängigen Zufallsvariablen nicht die > Standardabweichungen, sondern die Varianzen addieren. 2X ist zwar die Summe von X und X, aber X und X sind nicht voneinander unabhängig, sondern gleich. Ganz allgemein (nicht nur bei der Normalverteilung) gilt: Var(X) = E(X²) – E(X)² und Var(nX) = E((nX)²) – E(nX)² = n²(E(X²) – E(X)²) = n²Var(X) und damit σ(nX) = nσ(X)
Auweia manchmal sieht man vor lauter Bäumen den Wald wirklich nicht mehr. Wie ich auf die Idee gekommen bin das X unabhängig von sich selbst ist weiß ich leider auch nicht mehr. Danke für die Erklärung.
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