Berechnung eines Phasengangs

[Dennis S. (eltio)]

Hallo zusammen, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch:

Gegeben ist eine Übertragungsfunktion

$$G(s) = \frac{T_1s+1}{(T_2s+1)^2}$$

 von der Betrag und Phase bei

$$\omega = 0,2\frac{1}{sec}$$

 berechnet werden sollen.

mit

$$T_1 = 100sec, T_2 = 5sec$$

 ergibt sich:

$$G(j\omega)= \frac{T_1j\omega+1}{-T_2\omega^2+2T_2j\omega+1} =\frac{1+20j}{2j}$$

$$\left|G(j\omega)\right| = \frac{\sqrt{1^2+20^2}}{\sqrt{0^2+2^2}}$$

Bereits hier stimmt meine Lösung (Nenner) nicht mit der Musterlösung 
überein. Sieht jemand den Fehler?

Gruß Dennis

[Gjw (Gast)]

bei G(jw) hast Du im Nenner eine Klammer weggelassen. -(Tw)^2+2jwt+1. 
Der Zahlenwert, den Du berechnet hast, stimmt aber.

Diese Zahl solltest Du aber natürlich auch noch als Summe aus Realteil 
und Imaginärteil ausdrücken. Das hilft oft.

[G(s) (Gast)]

Deine Lösung ist richtig. Der Unterschied liegt wahrscheinlich daran, 
wie der Betrag berechnet wird.
Normalerweise wandelt man den ganzen Ausdruck in Real- und Imaginärteil 
um und berechnet dann den Betrag.
Man kann es auch so wie du machen und die einzelnen Beträge von Zähler 
und Nenner berechnen und dividieren (geht schneller, für Ungebübte 
empfiehlt es sich aber den "klassischen" Weg zu gehen, da man so eher 
eine Vorstellung hat, was man tut (und das Erweitern übt)).

Vergleich mal die Endergebnisse, werden sicher gleich sein. Sonst ist 
die Musterlösung falsch.

[Dennis S. (eltio)]

Hmm, okay sowohl mit der von mir aufgeschriebenen Methode als auch mit 
der vorherigen Aufteilung in Real- und Imaginärteil komme ich 
zahlenmäßig auf das richtige Endergebnis. Das ist ja was zählt.. ;-)

Vielleicht könnt ihr mich noch mal bei der Berechnung der Phase 
unterstützen. Mein Ansatz ist

$$\varphi=\arctan{\frac{Im(G)}{Re(G)}}$$

 und würde auch hier wieder getrennt Zähler und Nenner betrachten.

Also

$$\varphi=\arctan{(20/1)} - \arctan{(2/0)}$$

Echt traurig... vor drei Jahren konnte ich das noch im Schlaf! :-(

Gruß Dennis

[Andreas M. (moki)]

Dennis S. schrieb:>
> Also

$$\varphi=\arctan{(20/1)} - \arctan{(2/0)}$$

>

Stimmt doch? Jetzt weißt du, dass

$$\lim_{\alpha \rightarrow \infty} \arctan \alpha = 90^\circ$$

 und

$$\arctan{(20/1)} = 87{,}1^\circ$$

, also kommt etwa 2,9° raus.

Ansonsten:

$$\frac{1+20j}{2j} = \frac{1}{2j} + 10 = 10 - \frac{1}{2}j$$

Ergebnis siehe oben.

Edit: Die Formel will er wohl nicht... Naja, ich denke, man kann es 
erkennen ;)

[Dennis S. (eltio)]

Ach, alles klar! Mühsam war es aber jetzt hat es Klick gemacht! ;-)

Vielen Dank.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Andreas M. schrieb:
> Edit: Die Formel will er wohl nicht...

Ich war mal so frech und habe die Gradzeichen in deinen Formeln durch 
^\circ ersetzt, außerdem die 87,1 durch 87{,}1. Letzteres ist aber nur 
ein Schönheitsfehler (Abstand nach dem Komma).

, also kommt etwa 2,9° raus.

Das Minuszeichen fehlt aber noch :)

[Andreas M. (moki)]

Yalu X. schrieb:
>
> Das Minuszeichen fehlt aber noch :)

Hupps... Stimmt natürlich!

[Felix P. (fixxl)]

Bei der Phasenberechnung muss man aufpassen, denn leider sind die 
Ausdrücke

$$\tan\varphi = \frac{Im(Z)}{Re(Z)}$$

 und

$$\varphi = \arctan(\frac{Im(Z)}{Re(Z)})$$

aufgrund des Werte- und Definitionsbereichs der Funktionen tan und 
arctan nur bei positivem Realteil äquivalent.

Bei negativem Realteil muss man abhängig vom Vorzeichen des 
Imaginärteils noch 180° addieren bzw. subtrahieren.

Näheres dazu hier: 
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Form_in_die_Polarform

[Dennis S. (eltio)]

Danke für die Zusatzinformationenen!