Transformator

Hallo zusammen,

ich habe mal eine Frage zum Transformator. In der 1. Abbildung ist er 
dargestellt in der 2. Abbildung das Ersatzschaldbild. Ich habe mir zwei 
Rechenwege überlegt um die Wirkleistung der Sekundärseite zu berechnen. 
Der Transformator ist Ideal, also streufrei, widerstandsfrei, ohne 
Magnetisierungsstrom.

Idee 1:

$$P_{R_L}=U_2I_2$$

Mit dem Ersatzschaltbild ergibt sich dann:

$$I_1=\frac{U_1}{R_i+ü^2R_L}$$

mit

$$Ü=\frac{I_2}{I_1}$$

 dann:

$$I_2=üI_1=ü\frac{U_1}{R_i+ü^2R_L}$$

mit

$$U_2=ü\frac{U_1}{ü}$$

 folgt

$$P_{R_L}=\frac{U_1^2}{R_i+ü^2R_L}$$

2. Idee:

Es gilt ja auch:

$$P_{R_L}=R_L I_2^2$$

mit

$$I_2=üI_1$$

 folgt:

$$P_{R_L}=R_L ü^2 I_1^2$$

$$P_{R_L}=R_L ü^2 \left ( \frac{U_1}{R_i+ü^2R_L}\right )^2$$

Und die beiden Ergebnisse stimmen nun nicht überein. Wo liegt mein 
Fehler?

Gruß und Danke für eure Hilfe
Quiddi