Messung am belasteten RC-Glied; Berechnung von C

[Elektro-Chris (Gast)]

Hallo Leute,

die folgende Schaltung liegt vor:

               I_ges
      o---R1---►-----o---------o----------o
                     |         |          
      |              ▼ I_C     ▼ I_R      |
 U_NG |              |         |          |  U_C
      ▼             === C      R2         ▼
                     |         |          
      o--------------o---------o----------o

Ich soll durch Messung die Kapazität C bestimmen.
Bekannt sind U_NG (Sprung von 0V auf 12V) und R1.
Gemessen werden I_ges und U_C.

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Ich habe mir zwei Lösungsmethoden überlegt:

1.) Zeitkonstante T von der Ladekurve U_C ablesen und über C = T/R_ges 
mit R_ges = R1//R2 die Kapazität bestimmen.

2.) Bei t->inf gilt I_R = I_ges
Damit kann R2 bestimmt werden mit R2 = U_C/I_R
Dann gilt weiters I_C = I_ges - I_R
Da jetzt der Stromfluss durch den Kondensator bekannt ist, kann die 
Ladung Q durch Integration über die Zeit berechnet werden
und dann mit C = Q / U_C(t->inf) die Kapazität.

So... beide Lösungsmethoden funktionieren und liefern ein brauchbares 
Ergebnis.

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Jetzt der springende Punkt und Auslöser meines Problems:

R2 entpupte sich als spannungsabhängig und liegt in der Praxis höher als 
mein berechneter Wert.
Wenn R2 also höher wäre... wie würde sich das auf meine 
Kapazitätsberechnung auswirken?

Ich habe zwei Gedankengänge die leider zu widersprüchlichen Ergebnissen 
führen:

1.) Wenn R2 steigt steigt auch R_ges; T habe ich abgelesen bleibt also 
gleich. Somit wäre C eigentlich kleiner.

2.) Wenn R2 steigt sinkt der Strom I_R der durch ihn fließt; Damit wäre 
durch die Kapazität also mehr Strom geflossen; Wenn I_C steigt, steigt 
auch Q und schließlich C


Wie wirkt sich eine Erhöhung von R2 auf die Berechnung von C aus?

[klaus (Gast)]

Elektro-Chris schrieb:
> 1.) Wenn R2 steigt steigt auch R_ges; T habe ich abgelesen bleibt also
> gleich. Somit wäre C eigentlich kleiner.

da hast du wohl falsch abgelesen

Elektro-Chris schrieb:
> Wie wirkt sich eine Erhöhung von R2 auf die Berechnung von C aus?

gar nicht

[klaus (Gast)]

und wenn du misst, dann hat dein Messgerät auch einen Widerstand der 
dann parallel zu R2 ist.

[Elektro-Chris (Gast)]

Also ich lese die Zeitkonstante am Verlauf von U_C ab. Die ist auch 
sicher nicht falsch abgelesen, sondern einfach durch die Messung 
bestimmt worden.
Für die Berechnung von C muss ich zuerst R_ges berechnen.
An dieser Stelle fließt also der Fehler von R2 ein.

R2 ist in Wirklichkeit größer als mit den R2 mit dem ich gerechnet habe.
Demnach ist der berechnete Kapazitätswert C in Wirklichkeit kleiner.


Aber!
Wenn ich mir das ganze wie oben beschrieben über den Stromfluss durch R2 
überlege, dann müsste der echte Wert von C größer sein als der 
Berechnete.


Also irgendwo muss da ein Denkfehler sein....

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Achso... ich sollte ncoh dazusagen, dass ich alle Signale mit einem 
Oszilloskop aufzeichne. Die Messleitungen sind hochohmig, während sich 
R2 im Ohm-Bereich bewegt.

[klaus (Gast)]

deine Zeitkonstante ist: T = R1*R2*C/(R1+R2)
nimm z.b. matlab und sieh dir die funktion C(R2) mit T=konstant an.

[Elektro-Chris (Gast)]

Ja, da kommt dann eben eine Gerade raus.
Daher auch die vermutung, dass C bei steigendem R2 kleiner wird.

Das Problem besteht nur im Widerspruch mit der Annahme, dass bei 
steigendem R2 der Stromfluss durch C steigt.
Demnach müsste auch die Ladung steigen und C somit größer werden.

Was stimmt nun?

[Lothar M. (Firma: Titel) (lkmiller) (Moderator)]

Elektro-Chris schrieb:
> Damit kann R2 bestimmt werden mit R2 = U_C/I_R
Aber genau dieser R2 ist nicht konstant, deshalb müssen alle 
Rechnungen, die auf diesem Wert basieren, ab hier falsch sein...

[Elektro-Chris (Gast)]

Lothar Miller schrieb:
> Aber genau dieser R2 ist nicht konstant, deshalb müssen alle
> Rechnungen, die auf diesem Wert basieren, ab hier falsch sein...

Genau! R2 ist nämlich eigentlich größer.

Es geht mir ja nur darum den Fehler einschätzten zu können!
Wie wirkt sich dieser Fehler jetzt aus?
Wurde ein zu kleines oder ein zu großes C berechnet?

[klaus (Gast)]

Elektro-Chris schrieb:
> Ja, da kommt dann eben eine Gerade raus.

nein

Elektro-Chris schrieb:
> Das Problem besteht nur im Widerspruch mit der Annahme, dass bei
> steigendem R2 der Stromfluss durch C steigt.

warum sollte er? simuliere es in z.B. LTspice, dann weist du es

[klaus (Gast)]

Lothar Miller schrieb:
> Aber genau dieser R2 ist nicht konstant

wenn R2 ein ohmscher Widerstand ist, dann ist der Konstant

[Elektro-Chris (Gast)]

klaus schrieb:
> wenn R2 ein ohmscher Widerstand ist, dann ist der Konstant
Die Praxis verhält sich nicht so wie dieses Ersatzschaltbild.
R2 ist Spannungsabhängig.

Simulieren würde vielleicht was bringen... hab hier nur leider keine 
Installationsrechte. Geht also nicht.

Aber das muss man sich doch auch theoretisch überlegen können...

[klaus (Gast)]

Elektro-Chris schrieb:
> Die Praxis verhält sich nicht so wie dieses Ersatzschaltbild.
> R2 ist Spannungsabhängig.

achso, ich dachte das ist ein "externer" Widerstand.

Dann wirst du das mit einem einzigen step von 0 auf 12V sowieso nicht 
hin bekommen. Was du da versucht hast basiert auf linearen Annahmen und 
durch den Spannungsabhängigen R2 hast du eine nichtlinearität, genauer 
gesagt ist es jetzt vermutlich bi-linear.
du kannst z.B. kleine Schritte durch den gesamten Spannungsbereich 
machen (Treppe) und dann die Zeitkonstanten als Funktion der Spannung 
darstellen. Die formel fuer die Zeitkonstante ist bekannt. (Hier kannst 
du die lineare annehmen da die kleinen Schritte eine lineare Annahme 
rechtfertigen). Dann versuchst du R2 als funktion der Spannung zu 
ermitteln mit C = konstant. Das sollte die dann eine gute Näherung 
liefern. 100% exakt wird das sowieso nichts werden.

[Elektro-Chris (Gast)]

klaus schrieb:
> du kannst z.B. kleine Schritte durch den gesamten Spannungsbereich
> machen (Treppe) und dann die Zeitkonstanten als Funktion der Spannung
> darstellen.

Mhm... ja... das hab ich mir auch schon überlegt, ob ich das einfach mal 
machen soll.
Ist hald aufwendig.
Und diese Messung muss ich immerhin bei mehreren 100 Schaltungen 
durchführen bei denen jeweils ein anderes C und R2 zu erwarten ist.

Daher geht es mir in erster Linie um eine Abschätzung.
Am besten wäre eine Aussage wie: "C ist auf jeden Fall größer als ..."

Deshalb ist die wichtige Frage: Wenn ich mit dem kleinsten R2 rechne, 
liefert meine Berechnung dann das kleinste C oder das größte C?

[klaus (Gast)]

Elektro-Chris schrieb:
> Mhm... ja... das hab ich mir auch schon überlegt, ob ich das einfach mal
> machen soll.

Ja, denn das gibt dir einen Hinweis darauf wie stark die Nichtlinearität 
tatsächlich ist.

Elektro-Chris schrieb:
> Deshalb ist die wichtige Frage: Wenn ich mit dem kleinsten R2 rechne,
> liefert meine Berechnung dann das kleinste C oder das größte C?

klaus schrieb:
> deine Zeitkonstante ist: T = R1*R2*C/(R1+R2)
> nimm z.b. matlab und sieh dir die funktion C(R2) mit T=konstant an.

[Elektro-Chris (Gast)]

C(R2) ist eine fallende Gerade.
Je größer R2, desto kleiner C.

Aber was ist mit der Stromüberlegung?

[Elektro-Chris (Gast)]

Wirklich keiner eine Idee wie sich das verhält....? :/

[Elektro-Chris (Gast)]

Okay also ich hab mir noch folgendes überlegt, was vielleicht wirklich 
gegen die Stromüberlegung spricht:

Der gemessene I_ges ist selbst auch schon von R2 abhängig gewesen.
Und zwar ist er bei t->inf schließlich größer als er bei konstantem R2 
wäre.
(zur Erinnerung: R2 verkleinert sich im Laufe der Messung)

Wenn ich jetzt im eingeschwungenen Zustand R2 = U_C/I_ges berechne 
erhalte ich also denn kleinesten R2.
Dann geht es weiter mit I_R = U_C / R2, welcher demnach zu groß ist.
Soweit war ich ja bereits.

Aber: Der Strom I_R nähert sich dann schließlich I_ges an und dieser ist 
ja bekanntlich ebenfalls zu hoch.

Wenn ich also I_C = I_ges - I_R rechne, dann gleicht sich der Fehler 
also wieder aus, oder?
Dann wäre I_C in Wirklichkeit gar nicht größer als berechnet?

[Elektro-Chris (Gast)]

Die Frage ist auch:

Gilt die Formel T = C * R1//R2 überhaupt wenn R2 = R2(t) ist????

Weil damit ist die "Konstante" ja zwangsläufig nicht konstant....

Ist das vielleicht der Denkfehler?

[Michael W. (Gast)]

Warum nicht so das C ermitteln:

$$I_c = C \cdot dU_c/dt$$

$$C = \frac{I_c}{ dU_c/dt}$$

Im ersten Moment t=0 ist Ic=Iges (vorausgesetzt C ist anfangs entladen):

$$C = \frac{I_{ges}(0)}{ dU_c/dt|_{t=0}}$$

Da braucht man ja über R2 nichts zu wissen...hat zwar mit deiner Frage 
nichts zu tun, aber...

[Elektro-Chris (Gast)]

Jap, da hast du recht!
Das ist auch eine Möglichkeit die ich in Betracht ziehe.
(und über die Phasenverschiebung ist nochmal eine weitere)

Momentan soll ich hald zwischen all meinen Methoden die 
Sinnvollste/Richtigste finden...

So wie du es beschrieben hast kommen mir Werte raus die immer etwas 
größer sind als erwartet.
Vermutlich auch wieder aufgrund von Nicht-Idealitäten.
Z.B. kann ich nicht mit Sicherheit sagen, dass der gesamte Strom durch 
den Kondensator fließt. Auch wenn t = 0
...daher die etwas erhöhten Werte.