Dirak Impuls

[Aker (Gast)]

ich verstehe die Abtasteigenschaft des Dirakimpulses nicht so ganz, also 
dass

$$\delta(\tau-\tau_0)=\delta(\tau_0-\tau)$$

habe ich schon verstanden, das gilt nur weil der Dirakimpuls bei tau0 
eine Wirkung hat und alles andere sowieso verschwindet.

Nur bei dem Integral:

$$\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(\tau-\tau_0)d\tau=x(\tau_0)*\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-\tau_0)d\tau=x(\tau_0)$$

bin ich mir nicht mehr so sicher, also das Produkt:

$$x(\tau)\delta(\tau-\tau_0)$$

hat nur eine Auswirkung wenn Tau = Tau0 weil ja ansonsten die Heaviside 
Funktion alles weglöscht.

Aber wieso kann ich dann sagen, das ganze ist gleich:

$$x(\tau_0)*\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-\tau_0)d\tau$$

Wieso darf ich da einfach so beim x statt Tau Tau0 einsetzen und das als 
konstant annehmen? Ich verstehe nicht ganz was bei diesem Integral 
passiert, und ich gestehe ich sehe so eine Art Integrale zum ersten Mal.

Könnte mir jemand das ausführlich und vor allem verständlich erklären? 
Ich wäre sehr sehr dankbar dafür!

[Brater (Gast)]

Ok ich probiere mal mein Glück...

Also: wichtig bei dem Integral ist die Ausblendeigenschaft des Diracs! 
Der Dirac ist ja überall null außer bei  t = tau0
Dementsprechend wird x(t) immer mit 0 multipliziert AUSSER an t = tau0, 
dort wird x(t) = x(tau0) mit 1 multipliziert!
Demzufolge kann man auch einfach x(tau0) schreiben, was wiederrum 
unabhängig von dem Integral nach dtau ist.
Das Integral über den Dirac-Impuls hat den Wert 1. Und im Endeffekt 
verschiebst du jetzt den Dirac-Impuls lediglich auf deiner Zeitachse, 
was jedoch nichts am Ergebnis des Integrals ändert. Die Verschiebung auf 
der Zeitachse ist jedoch notwendig um x(t) nur an einer gewählten Stelle 
anzuschauen nämlich an tau0.

[Aker (Gast)]

Brater schrieb:
> dort wird x(t) = x(tau0) mit 1 multipliziert!

Also, obwohl dieser Schritt irgendwie logisch erscheint, will er nicht 
in meinen Kopf. Ich sehe nicht ein, dass man da einfach aus Integralen 
konstante Faktoren machen kann und einfach so herausheben.

Es stimmt! Ich weiß es, aber ich brauche da einfach eine mathematisch 
noch logischere Schlussfolgerung, die auch für mich befriedigend ist.

Du hast es versucht, und danke dafür!

[Karlheinz (Gast)]

Hallo,

ich muss hier eine Zeile aus

http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

zitieren. Dort steht:

 Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich 
nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des 
Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals ... , handelt.

[Brater (Gast)]

Ok... ich probiers noch mal einfacher... Schon mal Funktione miteinander 
multipliziert?

Um es mal anschaulich zu machen: du nimmst dir x(tau) = tau^2, das 
sollte vorstellbar sein, und zeichnest diese Funktion mal in ein 
Koordinatensystem (kartesisch). Dann nimmst du dir einen Dirac mit tau0 
= 5, also x2(tau) = delta(tau-5) und malst den auch in ein 
Koordinatensystem (oder meinetwegen in das gleiche). x2(tau) ist immer 
null und hat nur den einen Dirac-Stoß bei 5, meist dargestellt über so 
einen Lollipop oder einen Pfeil (ein senkrechter Strich mit der Höhe 1 
und einen kleinen Kreis dran oder einem Pfeil der von der x-Achse 
wegzeigt). Und jetzt gehst du ganz normal her und multiplizierst x(tau) 
mit x2(tau). Jetzt wird x(tau) überall ausgeblendet außer bei tau = tau0 
= 5. x(5) = 5^2 = 25 und x2(5) = 1, gibt x(5) mal x2(5) = 25 (ich möchte 
kein * machen, sonst denkt man, es ist eine Faltung).

Ok... jetzt sehe ich (glaube ich) das Problem: die Faltung sieht etwas 
hässlich aus. Im Endeffekt steht ja dort: x(tau0) = 25 wird gefaltet mit 
dem Integral über einen Dirac = 1, wobei diese 1 zeitunabhängig ist, 
während x(tau0) lediglich für den Zeitpunkt tau0 gilt und ansonsten 
überall 0 ist. Die Idee ist: Diese Ausblendeigenschaft des Diracs ist in 
das x(tau0) reingewurstet und x(tau) gilt nur für tau = tau0. Du faltest 
quasi die 1 mit einer 25, die nur an der Stelle tau = tau0 lebt. Und das 
ist genau 25 bzw. x(tau0).

Ich hoffe, ich habe mich nicht zu oft selbst wiederholt...

[Michael W. (Gast)]

Aker schrieb:
> ich verstehe die Abtasteigenschaft des Dirakimpulses nicht so ganz

Um das zu "verstehen" müsstest du dich mit der Theorie der 
Distributionen beschäftigen. Das bringt dich aber für Anwendungen auch 
nicht weiter. Die Dirac-"Funktion" wird in Physik und Technik gerne als 
formale "Rechenhilfe" verwendet, ohne auf die mathematische Problematik 
einzugehen. Es funktioniert einfach...Das Bild einer klassischen 
Funktion darf nur nicht überstrapaziert werden.

Du kannst dir die Wirkungsweise aber sehr einfach verdeutlichen, wenn du 
einen Rechteckimpuls mit Fläche 1 immer kürzer und höher werden lässt, 
und das Integral durch eine Summe ersetzt. Das ist mathematisch gesehen 
natürlich   Schrott, aber wir sind halt keine Mathematiker ;)

[Michael (Gast)]

Aker schrieb:
> Wieso darf ich da einfach so beim x statt Tau Tau0 einsetzen

Weil die Delta-"Funktion" übers Integral definiert ist und nur an der 
Stelle Tau0 einen Beitrag der Größe 1 liefert.

[Purzel H. (hacky)]

Das integral ueber die delta funktion ist eins, und daher wirkt sie auch 
als Ausschneide-funktion unter einem Integral

[Aker (Gast)]

Brater schrieb:
> Jetzt wird x(tau) überall ausgeblendet außer bei tau = tau0
> = 5. x(5) = 5^2 = 25 und x2(5) = 1, gibt x(5) mal x2(5) = 25

Das ist etwas verwirrend. Wieso ist tau0 = 5*x(5)?
x(5) ist ja schon 25.
Und ich dachte x2 ist der Dirakimpuls, wieso schreibst du dann x2(5) = 1 
und ein anderes mal x2(5) = 25 ?
Müsste nicht x2(5) = unendlich sein? Die Dirakfunktion hat doch einen 
unendlich hohen Wert beim Sprung. Das kommt eben aus der unendlich hohen 
Steigung der Heaviside Funktion.

Ich glaub da haperts noch. ALso das Integral über den Dirak ist 1, das 
muss ja so sein, wegen der Ableitung der Heaviside Funktion. Aber wieso 
sollte x2(5) dann einmal 5 und einmal 1 sein?