Liebe Kollegschaft, ich weiß nicht mehr weiter. Ich weiß hier ist
vielleicht nicht gerade der richtige Ort, aber ich kriege überall sonst
keine ANtworten darauf und das seit Tagen.
Ich habe ein Dreieckspotential und möchte die Energiezustände berechnen
und die erste Wellenfunktion. Ich habe angenommen, dass sich die
Wellenfunktion im Potentialfreien Bereich so ausbreitet:
und ab der Barriere (abhängig von V(x)) so aussieht:
Wenn ich jetzt den ersten Ansatz und den zweiten Ansatz in die
Schrödingergleichung einsetze dann erhalte ich die Energien:
Bereich ohne Potential:
Mit Potential:
Jedoch schaffe ich es nicht auf die Energiestufen zu kommen. Ich brauche
nur die erste, nur wie soll ich das angehen? Ich benötige ja die
Stetigkeitsbedingungen, aber das ist ja ein Dreieckspotential, wie mache
ich das da?
Bitte bitte, ihr seid meine letzte Hoffnung.
Danke für jeden, der etwas davon versteht und mir die Dinge klar machen
will!!!
PS: Das zweite Bild mit x ist das richtige!!
Anfänger - Halbleiterphysik schrieb:> aber ich kriege überall sonst> keine ANtworten
Die Frage ist, wo du gefragst hast. Und womöglich ohne Deinen richtigen
Namen zu nennen?
Hast Du denn mal Google nach
schroedinger triangular well
gefagt? Da kommt doch recht viel.
Für mich liegt die Qunatenmechanik schon zu lange zurück, als dass ich
Dir spontan helfen könnte.
Stefan Salewski schrieb:> Die Frage ist, wo du gefragst hast. Und womöglich ohne Deinen richtigen> Namen zu nennen?
Oh doch. Das Physikerboard sowie diverse andere sind bei dieser Frage
einfach unbrauchbar. Es ist auch ziemlich schwierig meiner Meinung nach.
alesi schrieb:> Abschnitt 2.2.1 auf S. 6 in> http://www.iap.tu-bs.de/Forschung/quantentransport/arbeiten/DA-Ende3-Kathrin.pdf
Das habe ich mir schon angeschaut, jedoch sind mir da sehr viele Dinge
nicht sehr verständlich. Mein Fall ist eigenelich kein mehrdimensionaler
Fall, sondern eindimensional.
Ich verstehe einfach nicht wie ich das rechnen soll. Ich habe wirklich
keine Ahnung. Den unendlich tiefen Potentialtopf verstehe ich sowie den
endlich tiefen Potentialtopf. Aber das hier ist einfach so sehr anders.
Ich erwarte jetzt sicherlich von keinem sich damit zu beschäftigen, ich
bin aber dennoch froh wenn sich einer findet, das hier auch nur
ansatzweise versteht.
Anfänger - Halbleiterphysik schrieb:> Das habe ich mir schon angeschaut, jedoch sind mir da sehr viele Dinge> nicht sehr verständlich. Mein Fall ist eigenelich kein mehrdimensionaler> Fall, sondern eindimensional.
Ab Glg. (2.8) mit (2.10) ist es doch eindimensional und identisch
mit dem Potential in pot.png ganz oben.
Auch wenn im Link nicht alles Schritt für Schritt durchgerechnet wird,
wird der Weg beschrieben. Suche evtl. auch noch nach Airy-Funktion.
alesi schrieb:> Suche evtl. auch noch nach Airy-Funktion.
Diese Airy Funktion scheint laut aller Literatur die Lösung der
Schrödingergleichung für diesen Fall zu sein, jedoch sehe ich immer
nocht nicht wie ich meine Eigenenergien erhalte.
ich habe hier ein nützliches Arbeitsblatt gefunden, vielleicht könnt ihr
da mehr herausdeuten als ich:
http://www.tfp.uni-karlsruhe.de/Lehre/SS2007/ex4.pdf
Das Problem ist ja folgendes: Beim unendlich hohen Potentialtopf war es
ja so, dass ich durch die stetigkeitsbedingung herausgefunden habe, dass
gilt:
k = n*Pi/L.
Und dadurch ergaben sich unmittelbar die Eigenenergiestufen, denn es
gilt ja aus der Schrödingergleichung:
Nur hier sieht doch die Sache ganz anders aus. Die Airy Funktion ist so
definiert:
Nur wenn ich Ai(x) zweimal nach x ableite, und in die eindimensionale
Schrödingergleichung einsetze, so kürzen sich die Integrale nicht weg.
Ich weiß einfach nicht wie da ansetzen soll.
ich bin sehr froh, dass es hier sogar Leute gibt, die sich ein bisschen
mit Quantenmechanik auskennen.
Aha, doch die Herleitung ist ganz gleich. Ich verstehe nur eines nicht,
und zwar diesen Satz hier:
>>Die Energie-Eigenwerte des Systems ergeben sich nun aus den Nullstellen der>>Airy Funktion ...
Aber wieso ist das so???
alesi schrieb:> Auch die Randbedingungen Glg. (2.10) in meinem Link müssen erfüllt sein.
Korrektur: Die Randbedingungen stehen nach Glg. (2.18) und die
Nullstellen der Airy-Funktion nach (2.21).
die wellenfulktion ist natuerlich stetig. es gibt keinen potentialfreien
Bereich. Man ist im Potentialtopf. die Wellenfunktion geht in die Wand
hinein. ich muesst allerdings auch wieder die Theorie herhvorziehen.
Hallo!
In
http://www.iap.tu-bs.de/Forschung/quantentransport/arbeiten/DA-Ende3-Kathrin.pdf
Kapitel 2.2.1 wird meiner Meinung nach, wenn ich Sie richtig verstanden
habe, genau Ihr Problem erläutert und zwar ziemlich ausführlich. Ich
hatte jetzt kein Problem die Rechnung nachzuvollziehen. Außer, dass ich
von alleine nicht auf die Airy-Funktion gekommen wäre. Aber es ist nicht
wahnsinnig schwer zu verifizieren, dass diese Funktion die
Airy-Gleichung erfüllt.
Da ich jetzt nicht so genau weiß, wo das Problem liegt, wäre es
vielleicht gut, wie gehen die Herleitung Schritt für Schritt durch?
Ich fange mal an eine kurze Abhandlung zu geben:
1. Zunächst wird die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für einen
dreieckigen Potentialtopf aufgestellt. Diese sollte klar in ihrer Form
klar sein, oder?
2. Wobei nur die Bewegung nur in der Z-Richtung eingeschränkt wird,
somit ergibt sich ein eindimensionales Problem. Da die Lösungen in die
xy-Richtungen einfach die Lösungen der freien Schrödinger-Gleichung
sind. Das Problem lässt sich damit durch einen (Produkt-)Ansatz
separieren und die Energien addieren sich einfach.
3. Es ergibt sich also die eindimensionale Schrödinger-Gleichung (2.8),
bzw. mit dem entsprechenden Potential die Gleichung (2.11), mit den
Energieeigenwerten Epsilon. Bis hierher noch alles verständlich?
4. Das Ganze wird zu einer dimensionslosen Gleichung vereinfacht indem
die Variablen substituiert werden, also z.B. Epsilon wird durch
Epsilon-Schlange ersetzt. Am Ende folgt dann die Airy-Gleichung (2.18).
Der Weg bis hier noch klar?
5. Lösung dieser differential Gleichung, die prinzipiell immer noch der
(eindimensionalen, zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung mit
Dreieckspotential entspricht sind die Funktionen (2.19) mit den
Airy-Funktionen Ai (2.20).
6. Diese Funktionen müssen aber natürlich die Randbedingungen erfüllen:
Die zweite Grundbedingungen: u(unendlich) < unendlich, was immer der
Fall ist, da die Airy-Funktionen entweder oszillieren (<unendlich) oder
aber exponentiell abfallen (<unendlich). Die erste Randbedingungen
u(-(Epsilon-Schlange))=0 ist erfüllt, wenn die Airy-Funktionen Ai null
werden, dann ist u = 0, da u = A * Ai und A eine Konstante ist.
7. Kennt man also die Nullstellen von Ai, kennt man alle möglichen
Epsilon-Schlange (da ja die zweite Randbedingung immer erfüllt war). Die
Energieeigenwerte Epsilon ergeben sich dann einfach durch
Rückgängigmachen der Variablensubstition (2.16) aus Epsilon-Schlange
(also den Nullstellen der Ai).
Wo genau hapert es denn jetzt?
Mit freundlichen Grüßen
Stephan Theisgen
Ich bitte die Rechtschreibfehler zu entschuldigen: Dieses Forum sendet
den Beitrag ab, bevor man ihn noch einmal korrekturlesen konnte. Eine
echte Herausforderung für fehlerfreies Schreiben! Ich hoffe es ist
trotzdem verständlich, was ich erklären wollte.
Stephan Theisgen schrieb:> Dieses Forum sendet> den Beitrag ab, bevor man ihn noch einmal korrekturlesen konnte.
Links neben dem "Absenden" ist auch ein "Vorschau" Knopf.
Anfänger - Halbleiterphysik schrieb:> Nur hier sieht doch die Sache ganz anders aus. Die Airy Funktion ist so> definiert:>> Nur wenn ich Ai(x) zweimal nach x ableite, und in die eindimensionale> Schrödingergleichung einsetze, so kürzen sich die Integrale nicht weg.> Ich weiß einfach nicht wie da ansetzen soll.>> ich bin sehr froh, dass es hier sogar Leute gibt, die sich ein bisschen> mit Quantenmechanik auskennen.
Ok, hier liegt vielleicht der erste kleine Denkfehler. Es ist nicht
Ai(x) sondern Ai(zeta) und außerdem geht es um die Nullstellen von
u(zeta) = A*Ai(zeta). Also das sind hier nicht die Eigenfunktionen der
ursprünglichen Schrödinger-Gleichung, sondern die Lösungen der
Airy-Gleichung. Da die eine aus der anderen abgeleitet wurde, gibt es da
zwar einen Zusammenhang, aber die beiden sind nicht identisch. Also kann
man nicht einfach die Ai in die Schrödinger-Gleichung einsetzen, usw...
Aber wenn man die Herleitung genau ansieht, ergibt sich direkt ein
Zusammenhang der Nullstellen der Ai mit den Energie-Eigenwerten Epsilon
der ursprünglichen Schrödigner-Gleichung.
Viele Grüße
Stephan
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