Systemdifferentialgleichung

[Markus (Gast)]

Hallo liebe Freunde.
Ich versuche gerade eine Systemdifferentialgleichung herzuleiten aus 
zwei einzelnen Differentialgleichungen nur gelingt mir das irgendwie 
nicht:

$$\begin{matrix} \text{Gleichung1:} & -u_E(t)+R_1i_1(t)+L_1i_1'(t)+\frac{R_2}{R_3}u_A(t)+\frac{L_2}{R_3}u_A'(t)+u_A(t)&=&0\\ \text{Gleichung2:} &i_1(t)-\frac{1}{R_3}u_A(t)-Cu_E'(t)-R_1Ci_1'(t) -L_1Ci_1''(t)&=&0 \end{matrix}$$

Wie kann ich aber in so einem Fall das i1 elemenieren? Geht das 
überhaupt?

[und (Gast)]

Das i1 ist in mehreren Ableitungen drin. Also alle i1 auf eine Seite, 
den Rest auf die Andere. Ich denk es werden 2 gleichungen bleiben. Dann 
auf der anderen die Zeit raus. Loesen. Dann die Aregung auf der anderen 
Seite einschalten und aus den Loesungen approximieren.

[Markus (Gast)]

und schrieb:
> Das i1 ist in mehreren Ableitungen drin. Also alle i1 auf eine Seite,
> den Rest auf die Andere. Ich denk es werden 2 gleichungen bleiben. Dann
> auf der anderen die Zeit raus. Loesen. Dann die Aregung auf der anderen
> Seite einschalten und aus den Loesungen approximieren.

Es muss aber nur eine einzige Systemdifferentialgleichung herauskommen. 
Ich sollte vielleicht dazusagen, dass es vorher 3 waren und ich diese 
durch Einsetzen auf zwei reduziert habe.

Irgendwie muss das doch zu lösen sein??

[innerand i. (innerand)]

Markus schrieb:

> Irgendwie muss das doch zu lösen sein??

In dem man das ganze in den Bildbereich bringt (Laplace-Transformation) 
vielleicht?

[Markus (Gast)]

Kann man es nicht anders machen?

[Helmut S. (helmuts)]

Stell die 2. Gleichung nach ua(t) um.

ua(t) = .....

Dann noch ableiten .

ua'(t) = ...

Jetzt in der 1. Gleichung ua(t) und ua'(t) ersetzen.

Jetzt hast du nur noch i1(t), i1'(t) und i1''(t) in der ersten 
Gleichung.

[innerand i. (innerand)]

Markus schrieb:
> Kann man es nicht anders machen?

Vermutlich schon, wenn man sich das Leben schwer machen will.

Wobei mir ihre Gleichungen hier etwas seltsam vorkommen. Wie sieht denn 
das Netzwerk dazu aus?
Sie haben eine Kapazität und eine Induktivität, und somit die zwei 
Zustandsgrößen u_c und i_l. Die Ableitung von u_e, u_a bzw. die zweite 
Ableitung von i_1 sollten darin imho nicht vorkommen.

Das ganze sollte doch ein LTI-System ergeben, sich also auf die Form

$$\vec{x}_{(t)}' = \mathbf{A} \vec{x}_{(t)} + \mathbf{b} \vec{u}_{(t)}$$

bringen lassen.

Und genau das wäre meiner Ansicht nach auch die Systembeschreibung in 
Form von Zustandsdifferentialgleichungen.

[Markus (Gast)]

So, ich denke ich sollte das originale Gleichungssystem aufschreiben:

$$\begin{matrix} \text{Gleichung1:} & 0&=& R_1i_1(t)+L_1i_1'(t)+u_C(t)-u_E(t)\\ \text{Gleichung2:} & 0&=& i_2(t)[R_2+R_3] -u_c(t)+L_2i_2'(t)\\ \text{Gleichung3:} & 0&=& i_1(t)-i_2(t)-Cu_C'(t)\\ \text{Gleichung4:} & 0&=& R_3i_2(t)-u_A(t)\\ \end{matrix}$$

Dieses will ich  zu einer einzigen DG mit uA als unbekannte 
zusammenfassen. Ich habe aber keine Idee wie man so etwas systematisch 
angeht.

[innerand i. (innerand)]

Ich bin jetzt zwar nicht so der Mathe-Geek, es ist also durchaus 
denkbar, dass ich falsch liege, aber ich denke das bekommen Sie 
überhaupt nicht auf eine Differentialgleichung reduziert.
Sie haben drei Zustandsgrößen (i_L1, i_L2, u_C), also sind das ach drei 
Differentialgleichungen, eben ein Differentialgleichungssystem.

Das Differentialgleichungssystem kann man lösen, diese Lösung ist dann 
aber keine Differentialgleichung mehr.

[innerand i. (innerand)]

$$x' = Ax + bU:$$

$$\begin{pmatrix}i'_{L1} \\ i'_{L2} \\ u'_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{R_1}{L_1} & 0 & -1 \\ 0 & -(\frac{R_2 + R_3}{L_2}) & 1 \\ \frac{1}{C} & -\frac{1}{C} & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}i_{L1} \\ i_{L2} \\ u_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} u_E$$

$$y = c^T * x + dU:$$

$$u_A = \begin{pmatrix}0 & R_3 & 0\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}i_{L1} \\ i_{L2} \\ u_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} u_E$$

$$G_{(s)} = c(sE - A)^{-1}b + d$$

$$G_{(s)} = \frac{U_{A,(s)}}{ U_{E,(s)}}$$

$$U_{A,(t)} = L^{-1}\{ G_{(s)} * U_{E,(s)}\}$$

[Markus (Gast)]

innerand innerand schrieb:
> Sie haben drei Zustandsgrößen (i_L1, i_L2, u_C), also sind das ach drei
> Differentialgleichungen, eben ein Differentialgleichungssystem.

In meinem Lehrbuch steht: Nach eliminieren von i1, i2, uc erhält man 
folgende System-Differentialgleichung: ...

Nur es steht nicht drinnen wie genau diese elemeniert werden.
Ich kann es auch mit Laplace lösen, will es aber lernen ohne Laplace...

[Markus (Gast)]

OK, habs jetzt. War gar nicht so schwierig...
ich poste es nachdem ich geduscht habe...

[innerand i. (innerand)]

Was bekommt denn das Lehrbuch raus?

Ohne Laplace-Transformation müsste man da wohl das System erstmal 
entkoppeln, also die (eine?) Transformationsmatrix bestimmen, das 
entkoppelte System lösen und zurück transformieren.

http://web.student.tuwien.ac.at/~e0325258/schule/fba_5.pdf

[Markus (Gast)]

innerand innerand schrieb:
> Ohne Laplace-Transformation müsste man da wohl das System erstmal
> entkoppeln, also die (eine?) Transformationsmatrix bestimmen, das
> entkoppelte System lösen und zurück transformieren.

Muss man nicht.

Ich habe es so gemacht:

(1) Ue = R1*I1 + L1*I1'+Uc
(2) I1 = I2 + C*Uc'
(3) Uc = I2*(R2+R3) + L2*I2'
(4) I2 = Ua/R3

Die letzte Gleichung setze ich erst am Ende ein. Zuerst setze ich Uc von 
(3) in (2) ein und erhalte I1(I2). Dann setze ich I1(I2) von (2) in (1) 
ein und erhalte dadurch Ue(I2). Bleibt nur noch das I2(Ua) von (4) in 
(1) und die komplette DffG ist fertig:

$$u_e(t)=u_A(t)\left [ \frac{R_1+R_2+R_3}{R_3} \right ]+u_A'(t)\left [ \frac{R_1 C(R_2+R_3)+L_2+L_1}{R_3} \right ] +u_A''(t)\left [ \frac{R_1 C L_2 +L_1 C(R_2+R_3)}{R_3} \right ] + u_A'''(t) \left [ \frac{L_1 C L_2}{R_3} \right ]$$

Ich danke jedem von euch um eure Hilfe!!!