Zeitdiskretes Spektrum einer Cosinusschwingung (Umformung unklar)

[Markj (Gast)]

Ich habe gegeben eine Kosinusschwingung:

$$x[n] = \cos \left( \frac{2\pi}{N} mn \right)$$

Davon sollen die Fourierkoeffizienten berechnet werden.
Hierzu brauche ich also:

$$c_k = \sum_{n = 0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N} n k}$$

ich habe eingesetzt und erhalte nach einsetzen in die Summenformel der 
endlichen geometrischen Reihe für ck folgendes:

$$c_k = \frac{1}{2N} \left( \frac{1-e^{-2\pi (k-m)}}{1-e^{-j\frac{2\pi}{N}(k-m)}} + \frac{1-e^{-2\pi (k+m)}}{1-e^{-j\frac{2\pi}{N}(k+m)}}\right)$$

In meinem Buch ist aber der nächste Schritt der Vereinfachung dieser:

$$=\frac{1}{2} \delta[k-m] + \frac{1}{2} \delta[k+m-N]$$

jedoch verstehe ich überhaupt nicht was dazwischen passiert ist.
Hätte da wer eine Idee?

[Werner M. (Gast)]

Markj schrieb:
> jedoch verstehe ich überhaupt nicht was dazwischen passiert ist.

alte Faustregel: jedes δ schluck ein Integral/Summenzeichen
http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Eigenschaften

[121212DFT (Gast)]

Hi

schau mal in Richtung Diskrete Fourier Transformation und deren 
Theoreme. Da steht irgendwo, dass eine e-Funktion im Zeitbereich einer 
Verschiebung im Frequenzbereich entspricht. Der Dirac erzeugt quasi 
mathematisch die Verschiebung und das Argument des Dirac sagt aus in 
welcher Richtung die Verschiebung passiert.

mfg

[Michael W. (Gast)]

Markj schrieb:

> In meinem Buch ist aber der nächste Schritt der Vereinfachung dieser:

$$\ldots=\frac{1}{2} \delta[k-m] + \frac{1}{2} \delta[k+m-N]$$

> jedoch verstehe ich überhaupt nicht was dazwischen passiert ist.
> Hätte da wer eine Idee?


Ich denke dein "Problem" liegt darin, dass du im Zähler jeweils ein "j" 
übersehen hast:

$$c_k = \frac{1}{2N} \left( \frac{1-e^{-j 2\pi (k-m)}}{1-e^{-j\frac{2\pi} {N}(k-m)}} + \frac{1-e^{-j 2\pi (k+m)}}{1-e^{-j\frac{2\pi}{N}(k+m)}}\right)$$

Damit ist es dann klar ;-)
Falls nicht: setze ein:

$$k\pm m = l \cdot N$$

$$k \pm m \ne l \cdot N$$

mit l ganzzahlig

Das Diskrete "delta" hat übrigens (nicht wirklich) mit der 
Delta-Distribution zu tun. Hier geht es um zeitdiskrete Signale!