Systeme auf kausalität und zeitvarianz überprüfen

[Eli (Gast)]

Leute, ich häng mich grad bei dieser Aufgabe auf:
Wieso ist denn bitteschön dieses System

$$y[n] = x[n] + x[-n]$$

akausal und zeitvariant?
Das kann doch nicht sein, weil wenn ich überprüfe:

$$T_\lambda S(x[n])=T_\lambda y[n]=x[n-\lambda]+x[-(n-\lambda)]$$

mit

$$S(T_\lambda x[n])= S(x[n-\lambda]) =x[n-\lambda]+x[-(n-\lambda)]$$

dann herrscht Gleichheit und deshalb bin ich der Meinung, dass das 
System zeitinvariant ist. Die Lösung sagt aber dass es zeitvariant ist. 
Was sagt ihr dazu?

Weiters denke ich auch, dass es Kausal ist, denn die Impulsantwort ist 
ja:

$$h[n]=\delta[n] + \delta[-n]$$

und wenn gilt

$$h[n] = 0 \; \; : \forall n < 0$$

dann ist es leicht gezeigt, dass das erfüllt ist, denn die Impulsantwort 
ist nichts anderes als zwei Impulse die sich im Nullpunkt zu 2 addieren. 
Somit ist das System meiner Meinung nach kausal und nicht akausal. Die 
Lösung sagt aber, dass das System akausal ist. Was sagt ihr dazu?

[lalala (Gast)]

hängt y[n] für n<0 nicht von der Zukunft ab? (genauer von x[|n|] in dem 
Fall)

[Eli (Gast)]

lalala schrieb:
> hängt y[n] für n<0 nicht von der Zukunft ab? (genauer von x[|n|] in dem
> Fall)

Aber wieso? Die Stoßantwort ist für alle n < 0 immer 0. Somit müsste 
eigentlich Kausalität gezeigt sein oder?

[Eli (Gast)]

Ich wäre sehr dankbar wenn ein erfahrener elektroniker mir helfen 
könnte. Ich habe gelernt, dass wenn die Impulsantwort für n < 0, 0 ist, 
dass dann das System kausal ist.
Jedoch sagt mir hier die lösung, dass das nicht stimmt. Wieso?

[lalala (Gast)]

Eli schrieb:
> denn die Impulsantwort ist
> ja:

nicht sowas wie h_k([n])= delta(n-k) + delta (n+k) ?
und Deinen 'Trick' kannst Du nur bei LTI Systemen machen.

[Eli (Gast)]

lalala schrieb:
> nicht sowas wie h_k([n])= delta(n-k) + delta (n+k) ?

ich wüsste nicht warum? Die Impulsantwort ist doch so definiert, dass 
ich einen delta Impuls anlege, sprich x[n] = delta[n] und dann schau was 
am Ausgang rauskommt. Ist das nicht richtig so?

[lalala (Gast)]

Eli schrieb:
> Die Impulsantwort ist doch so definiert, dass
> ich einen delta Impuls anlege, sprich x[n] = delta[n] und dann schau was
> am Ausgang rauskommt. Ist das nicht richtig so?

Für LTI-System schon, Du hast aber keins. Def ist eher so (Ende Seite 1)
http://www.ra.cs.uni-tuebingen.de/lehre/uebungen/ws02/ComputerVision/kapitel2.pdf

[Eli (Gast)]

Nun gut, meiner Meinung nach ist es ein LTI System, weil meine 
Überprüfung auf Zeitinvarianz zeigt ihre Gültigkeit. Ich habe mit meinem 
ersten Post bewiesen, dass dieses System zeitinvariant ist. Jedoch 
stimmt dies auch laut Lösung nicht.

Was ist aber hier falsch geschehen?

[lalala (Gast)]

Das waren ja so viele Fragen auf einmal. Bei Deiner ersten Formel zur 
Zetinvarianz hat das 2te lambda ein falsches Vorzeichen (i.e die Klammer 
muss weg)

[Eli (Gast)]

Wieso muss die bitteschön weg? Ich muss doch die Argumente ersetzen oder 
etwa nicht?

[Peter D. (peda)]

Eli schrieb:
> Ich wäre sehr dankbar wenn ein erfahrener elektroniker mir helfen
> könnte.

Es mag Anwendungen geben, wo man diese theoretischen Ansätze brauchen 
könnte.
Sie sind aber bestimmt nicht das Tagesgeschäft eines Elektronikers.
Der gute alte PID-Regler reicht meistens vollkommen aus.

Vor 20 Jahren, kurz nach der entsprechenden Vorlesung, hätte ich 
vielleicht noch was dazu sagen können.

[lalala (Gast)]

War ein Druckfehler. Ich meinte die 2te Zeile. Da
x[n-lambda] ○-id (n) =  x[- n -lambda]
Mit ○ als Kompositionsoperator und etwas bei der Notation geschlampt 
beim ersten n.

[Eli (Gast)]

$$T_\lambda S(x[n])=T_\lambda y[n]=x[n-\lambda]+x[-(n-\lambda)]$$

Wieso stimmt das nicht?
ich muss ja statt n, (n-lambda) einsetzen. Das habe ich gemacht.
Ist es jetzt zeit invariant wie ich es bewiesen habe oder  nicht?

[Eli (Gast)]

Genau wie dieses Beispiel hier:

$$y[n] = x[2n]$$

Dieses System ist doch 100% zeitinvariant!
Denn wenn ich wieder einsetze:

$$y[n-\lambda] = x[2(n-\lambda)] = S(x[n-\lambda]) = x[2(n-\lambda)]$$

dann ist die zeitinvarianzprüfung getan.

[Eli (Gast)]

Jedoch sagt die Lösung bei dem letzten Beispiel, dass das System 
zeitvariant ist. Aber wieso???

[lalala (Gast)]

Ich meinte die Zeile danach und da musst Du -n statt n in n-lambda 
einsetzen.
Und y[n] = x[2n] ist nicht zeitinvariant.

[Eli (Gast)]

lalala schrieb:
> Und y[n] = x[2n] ist nicht zeitinvariant.

Dann liefere mir einen Beweis.
Meiner ist:

$$y[n-\lambda] = x[2(n-\lambda)] = S(x[n-\lambda]) = x[2(n-\lambda)]$$

[Eli (Gast)]

Ich habe mich gerade im Technikerforum angemeldet und da ich hier keine 
nachvollziehbaren kompetenten Antworten bekomme werde ich das Thema dort 
fortsetzen.

Danke bisher an alle die es zumindest versucht haben...

[lalala (Gast)]

Das letzte Gleichheitszeichen stimmt nicht (und damit das davor auch 
nicht). Stattdessen S(x[n- lambda]) = x[2n - lambda]

[Eli (Gast)]

Wenn ich allgemein anwende:

$$S(x[5-2]) = x[2*3] = x[6]$$

dann ist das ja auch nicht gleich

$$S(x[5-2]) = x[2*5-2] = x[8]$$

Das kannst du mir doch nicht erklären, dass das richtig ist ????

[lalala (Gast)]

Genau das sage ich x[6] ist nicht x[8], d.h. der Verschiebungsoperator 
kommutiert nicht mit dem 'Signal'operator. Hattest Du Mathe an der Uni? 
Dann schreib die Operatoren mal in der üblichen Funktionsnotation.

[lalala (Gast)]

Ich schreib uebrigens vom handy. Deswegen ist nicht immer alles auf den 
punkt. Nein, die 2te zeile ist nicht richtig. Sobald du x ausgewertet 
hast kannst Du S doch gar nicht mehr anwenden. Fuer vielleicht xhut als 
abk fuer dad verschobene x ein.

[lalala (Gast)]

Falls Mathe problematisch ist hier eine anschauliche Erklaerung. Stell 
die ein Signal x vor dass nur an der Stelle 0 einen von null 
verschiedenen Wert hat. Dann S anwenden (passiert nix) dann z.b um 4 
Stellen nach rechts verschieben.
Jetzt zuerst das Signal um 4 Stellen nach rechts verschieben, dann haben 
wir ein Signal welches nur an der Stelle 4 von null verschieden ist. 
Dann S anwenden dann ist y nur an der Stelle 2 von Null vetschieden.

D.h.Dein S ist nicht zeitinvariant.