Filter stabil dimensionieren

[Frank (Gast)]

Ich habe einen digitalen Filter:

$$H(z) = \frac{4z-v}{4\left(z+\frac{v}{3}\right)}$$

Und ich muss das v so wählen, dass der FIlter stabil ist.
Ich habe mir überlegt ob ich den Betragsgang brauche, weil dieser ist ja 
wichtig oder?
Ich muss also den Betragsgang bilden und dann dort das k so setzen, dass 
keine unendlichkeitsstellen auftreten oder?

Mich verwirren diese komischen Lösungen. DIese sagen nämlich:
"Für Stabilität muss |v| < 3 sein"

Aber ich verstehe überhaupt nicht warum?

[Filterkaffee (Gast)]

Mach mal die 4 weg.

         z - .25v 
H(z) = ------------
         z + .33v

Jetzt noch das allgemeine Stabilitätskriterium im PN-Diagramm der 
z-Ebene anwenden...oder wie war das nochmal...

[Frank (Gast)]

Die Polstelle von z liegt bei  z = -v/3
Wenn der Reakteil von z positiv wird, dann ist das ganze instabil. Das 
heißt Re(z) <= 0; -> v > 0

Jedoch ist v laut lösung: |v| < 3
Das verstehe ich nicht

[Frank (Gast)]

Hat denn keiner ne Idee wieso es zu diesem 3er kommt? Ich habe die 
Stabilitätsbedingung angesetzt, aber diese sagt mir, dass Re(z) < 0 sein 
muss und daraus folgt unmittelbar, dass k > 0 sein muss da ich ja keine 
komplexen Nullstellen habe.

[Tobias P. (hubertus)]

ich würde die Nullstellen des Nennerpolynoms suchen.. vorher kannst du 
aber noch ein bisschen was raus kürzen, denke ich.

Allgemein muss |z_i|  < 1 sein für die i-te Nullstelle (eigentlich Pol), 
daher scheint mir dein Resultat plausibel so auf den ersten  Blick ;)

Gruss

[Frank (Gast)]

Tobias Plüss schrieb:
> Allgemein muss |z_i|  < 1

du meinst kleiner als 0 oder? Und wieso Betrag? Es muss doch gelten, 
dass die Polstelle einen negativen oder gleich 0 großen Realteil hat 
oder? Das heißt Re(z_polstelle) < 0. z_polstelle ist aber reel und 
gleich -k/3.

Wenn ich das einsetze dann kommt raus: k > 0 sein.

Tobias Plüss schrieb:
> Allgemein muss |z_i|  < 1 sein für die i-te Nullstelle (eigentlich Pol)

Das verstehe ich nicht, woher kommt das? Das war doch bei der 
Laplacetransformation anders...

[nicht "Gast" (Gast)]

z + v/3 = 0 => z = - v/3 als Nullstelle des char. Polynoms.

Mit der Stabilitätsbedingung |z| < 1 ->

|-v/3| < 1 ->
|-v|/3 < 1 ->
|v| < 3

[nicht "Gast" (Gast)]

Frank schrieb:
> Das verstehe ich nicht, woher kommt das? Das war doch bei der
> Laplacetransformation anders...


siehe z.B.: Punkt 2.3

http://me-lrt.de/zeitdiskrete-systeme-beschreibung-zeitbereich-zustandsraum

[Tobias P. (hubertus)]

Nachtrag:
der Pol liegt bei z = -v/3. Damit |z|<1 ist muss |v|<3 sein.

[Tobias P. (hubertus)]

zur z-Trafo:
schau mal in meiner Zusammenfassung

http://files.kooltek.net/math.pdf
ca. S. 230

dort wird begründet warum die Pole bei der z-Trafo im Einheitskreis und 
bei det Laplacetrafo in der linken Halbebene sein müssen.