Mathe-Problem: Volumen Rotation um y-Achse

[Vlad T. (vlad_tepesch)]

Hey, ich brauch mal eure Hilfe.
Häng gerade an einem Projekt Euler Problem, was eigentlich nicht sehr 
schwer ist, aber irgendwie will der Checker meine Ergebnisse nicht.

Ich hab eine Hüllkurve

$$\begin{array}{ccc} f(x) &=& a - bx^2 \\ &\mbox{mit}&\\ a &=& 120.3873598\\ b &=& 0.0122625 \end{array}$$

die scheint zu stimmen, zumindest hab ich die Parameter noch woanders 
gefunden.

nun will ich das Volumen des um die y-Achse rotierten Körpers berechnen.

dh Umkehrfunktion:

$$fi(x) = \sqrt{\frac{a-x}{b}}$$

mit Nullstelle f(0)

Berechnung Volume

$$V = 2\pi \cdot \int_0^{f(0)} x \cdot fi(x) dx$$

mit Stammfunktion

$$xFi(x) = \int_0^{fi(0)} x \cdot fi(x) dx = \frac{-2}{15}\cdot b\cdot (2a + 3x)\cdot \left(\frac{a-x}{b}\right)^\frac{3}{2}$$

Das Volumen sollte dann doch sein:

$$V = 2\pi \cdot(xFi(f(0)) - xFi(0)) = 2406086.94119178$$

das allerdings scheint falsch zu sein.
Aus dem Post, was auch auf die selben Parabelparameter kommt, wie ich, 
kann ich entnehmen, dass die richtige Lösung 1856532.8455 sein muss, was 
ich aber noch nicht ausprobiert habe, da ich gerne selbst drauf kommen 
würde.

findet jemand meinen Fehler?

[Dipl.- G. (hipot)]

Vlad Tepesch schrieb:

> ich brauch mal eure Hilfe.

> findet jemand meinen Fehler?

Rotation um die y-Achse:

$$V_y = \pi \cdot \int_{y_1}^{y_2} \! {[\phi(y)]}^2 \, \mathrm{d}y$$

Ich erhalte mit der Einfachheit halber gerundeten Werten:

$$V_y = 256 \cdot (120 \cdot 120 - 0,5 \cdot 120^2) = 1843200$$

also das gesuchte Ergebnis; im Übrigen auf 0,7% genau.


Genauer wird es bei Hinzunahme einer Kommastelle:

$$V_y = 256,2 \cdot (120,4 \cdot 120,4 - 0,5 \cdot 120,4^2) = 1856958$$

Das ist 0,023% entfernt vom "exakten" Wert.

[Vlad T. (vlad_tepesch)]

hmm, da hab ich wohleinfach die falsche Formel für die Volumenberechnung 
gewählt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_y-Achse
Wobei ich nicht weiß warum. Für mich hat die Beschreibung gepasst.

[Timm R. (Firma: privatfrickler.de) (treinisch)]

Hallo Vlad,

Vlad Tepesch schrieb:
> hmm, da hab ich wohleinfach die falsche Formel für die Volumenberechnung
> gewählt.
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_y-Achse
> Wobei ich nicht weiß warum. Für mich hat die Beschreibung gepasst.

hmm, was an der Beschreibung

> Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der
> Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und > x=b 
begrenzt wird

hat denn bei dir den Eindruck erweckt, dass sie passt? Da passt doch 
absolut gar nichts?

Genau lesen ist übrigens eine sehr selten anzutreffende Geheimtechnik, 
die oft ganz erstaunlich hilfreich ist!

Noch eins: Statt losem Assoziieren ist es oft auch eine hilfreiche Idee, 
sich zu überlegen, wie die Formel ungefähr aussehen muss, dann hättest 
du sofort gesehen, dass deine Formel hinten und vorne nicht passt.

vlg

 Timm