Ich habe eine Anzahl Kugeln k und eine Anzahl Schüsseln s. Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit ausrechnen dass in mindestens einer Schüssel genau eine Kugel liegt?
Einfach. Die Wahrscheinlichkeit ist null, denn die Schüsseln sind kleiner als die Kugeln. Im Ernst: Das kommt ja wohl sehr darauf an, wie die Kugeln den Weg in die Schüsseln finden. Zum Beispiel über ein ideales Nagelbrett? vlg Timm
Es ist gegeben dass eine Kugel in alle Schüsseln gleich wahrscheinlich fallen kann. Fest steht schoinmal: wenn es nur eine Kugel gibt, wird die Wahrscheinlichkeit zu 100 % erfüllt.
Stefan schrieb: > Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit ausrechnen dass in mindestens einer > Schüssel genau eine Kugel liegt? Das könnte dir weiter helfen http://de.wikipedia.org/wiki/N_%C3%BCber_k Kannst du mal ganz grob verraten, was das mit Mikrocontroller und Digitale Elektronik zu tun hat?
Stefan schrieb: > Es ist gegeben dass eine Kugel in alle Schüsseln gleich wahrscheinlich > fallen kann. Fest steht schoinmal: wenn es nur eine Kugel gibt, wird die > Wahrscheinlichkeit zu 100 % erfüllt. Auf wieviele Arten können sich k Kugeln in n SChüsseln verteilen? Von dieser so ermittelten Anzahl gibt es wieviele positive Ereignisse? (die definiert sind als: in mindestens einer Schüssel liegt genau 1 Kugel) Und dann durchdividieren. Edit. der zweite Schritt könnte ein wenig tricky sein. Aber so tricky auch wieder nicht. von den k kugeln nimmst du genau 1 und legst sie isoliert in eine Schüssel. Die restlichen k-1 Kugeln kannst du dann auf wieviele Arten in den n-1 Schüsseln verteilen? Damit kennst du die Anzahl der positiven Fälle, in denen genau in dieser 1 Schüssel 1 Kugel liegt. Dasselbe Spielchen kannst du aber mit jeder anderen der n Schüsseln auch machen. D.h. die komplette Anzahl der positiven Ereignisse ist dann n mal so gross.
Mike: Es geht darum in einem CSMA/CA Verfahren gute Werte für Anzahl der Zeitschlitze und Anzahl der Teilnehmer zu finden.
>Auf wieviele Arten können sich k Kugeln in n SChüsseln verteilen? Das ist die Frage; - 1 Kugel, 1 Schüssel = 1 - 1 Kugel, 2 Schüsseln = 2 - 2 Kugeln, 2 Schüsseln = ? ...im beschriebenen Anwendungsfall müssen vermutlich alle Kombinationen, also auch die, die "gleich aussehen" wenn alle Kugeln gleich sind, mitgerechnet werden. Richtig? dann 4 - 1 Kugel, 3 Schüsseln = 3 - 2 Kugeln, 3 Schüsseln = 9 ? - 3 Kugeln, 3 Schüsseln = 27 ? richtig? augenscheinlich s hoch k? >von den k kugeln nimmst du genau 1 und legst sie isoliert Muss dann nicht auch noch der Fall dass genau 2 Kugeln isoliert abgelegt werden (und weiter bis s) mit einberechnet werden?
Knifflig. Sei: n = Anzahl Schüsseln, k = Anzahl Kugeln. Dann gilt, es gibt n^k Möglichkeiten die Kugeln zu verteilen. Die Wahrscheinlichkeit, ob in einer bestimmten Schüssel genau eine Kugel drin ist, lässt sich einfach beantworten: Sei: d = (n-1) / n [Wahrs. Kugel in einer anderen Schüssel] t = 1 /n [Wahrs. Kugel in bestimmte Schüssel] So gilt: P_0(k) = d^k [Wahrs. kein Kugel in bestimmte Schüssel] P_1(k) = k t d^(k-1) [Wahrs. exakt eine Kugel in bestimmte Schüssel] Für die Frage nach P für mindestens einer Schüssel mit genau einer Kugel, ist mir außer Abzählen noch nichts eingefallen. Man kann zwar das Zählen etwas vereinfachen, aber für große n und k immer noch unpraktikabel. Das Problem ist, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht unabhängig sind. Ansonsten könnte man einfach P(k) = 1 - (1 - P_1(k))^n schreiben. Das ist aber definitiv falsch.
Beitrag "Re: Stochastikfrage" > Knifflig. Sei: Herr Buchegger hatte doch gestern den Hinweis gegeben, dass klang für mich einleuchtend -- aber ich wollte eben noch mal kurz nachsehen ob ich es nicht doch falsch verstanden hatte. Also k Kugeln verteilt zufällig auf n Schüsseln. Der erste Kugel hat n Positionen zur Auswahl, die nächste wieder n usw. Zahl der Moglichkeiten also n^k Positives Ereignis ist, wenn mindestens in einer Schüssel genau eine Kugel liegt. Betrachten wir den Sonderfall, dass in der ERSTEN Schüssel genau eine Kugel liegt, und sich die übrigen Kugeln auf die übrigen Schüsseln verteilen. Die übrigen Kugeln haben dann (n-1)^(k-1) Möglichkeiten, und alle diese sind günstig. Günstig/Alle wäre dann ((n-1)^(k-1)) / (n^k) Die gleiche Betrachtung gilt aber auch für jede andere Position als die Erste, also müssen wir das ganze noch mit n multiplizieren. Ergebnis n*((n-1)^(k-1)) / (n^k)
Salewski, Stefan schrieb: > Erste, also müssen wir das ganze noch mit n multiplizieren. Ja, und das war der Grund, warum ich gerade nach diesem Beitrag noch mal Ausschau gehalten hatte... Ist das eventuell doch zu einfach gedacht mit dem mal n, bekommt man damit vielleicht Mehrfachzählungen?
Stefan S. schrieb: >>Auf wieviele Arten können sich k Kugeln in n SChüsseln verteilen? > > Das ist die Frage; > - 1 Kugel, 1 Schüssel = 1 > - 1 Kugel, 2 Schüsseln = 2 > - 2 Kugeln, 2 Schüsseln = ? ...im beschriebenen Anwendungsfall müssen > vermutlich alle Kombinationen, also auch die, die "gleich aussehen" wenn > alle Kugeln gleich sind, mitgerechnet werden. Richtig? dann 4 > - 1 Kugel, 3 Schüsseln = 3 > - 2 Kugeln, 3 Schüsseln = 9 ? > - 3 Kugeln, 3 Schüsseln = 27 ? > > richtig? augenscheinlich s hoch k? > >>von den k kugeln nimmst du genau 1 und legst sie isoliert > Muss dann nicht auch noch der Fall dass genau 2 Kugeln isoliert abgelegt > werden (und weiter bis s) mit einberechnet werden? Warum? Du bist ja nur an den Ereignissen interessiert, in denen 1 Kugel alleine liegt. Die willst du ja zaehlen und in Beziehung zur Gesammtzahl aller moeglichen Kugelverteilungen setzen
Noch mal kurz nachgedacht: Als positives Ereignis gelte, wenn mindestens genau eine Kugel an Position 1 liegt: (n-1)^(k-1) positive Möglichkeiten. Nun gelte aber auch als positiv, wenn mindestens genau eine Kugel auf Position 2 liegt. Im Prinzip zusätzlich wieder (n-1)^(k-1) positive Möglichkeiten -- bei (n-2)^(k-2) davon liegt aber genau eine Kugel auf Position 1, und die hatten wir ja schon gezählt. Dann hätte man nur 2*(n-1)^(k-1) - (n-2)^(k-2) positive Moglichkeiten, bei n^k Möglichkeiten insgesammt. So gesehen ist Bucheggers Ansatz wohl doch zu einfach gewesen, und wie man das mit mehr Kugeln rechnen könnte wüsste ich so aus dem Kopf nicht. Da muss mein Namensvetter jemanden fragen, der sich damit auskennt.
Salewski schrieb: > So gesehen ist Bucheggers Ansatz wohl doch zu einfach gewesen, Ja, viel zu einfach. Das Problem sind die Mehrfachzählung. Dieses kleine Problemchen lässt mich nicht los und ich bin inzwischen soweit, dass ich ein Schema habe wie ich alle Fälle einfach zählen kann. Auf einer DIN-A4-Seite kann ich problemlos alle Fälle bis etwa 8 Kugeln durchzählen und ausrechnen. Dauert nur ein paar Minuten mit einem Taschenrechner. Prinzipiell könnte man auf ein A3-Blatt gut 15 Kugeln komplett von Hand durchzählen. Der Aufwand scheint (zumindest am Anfang) nur linear mit der Anzahl der Kugeln zu steigen. Als Programm könnte man so bestimmt alles bis zu ca. 1 Millionen Kugeln in einigen Sekunden rechnen. Parallelisierbar wäre der Algorithmus auch. Was mich aber reizt, ist das ganze noch kompakter zu formulieren. Einige Ansätze könnten vielversprechend sein, haben aber auch ihre Tücken. Mal sehen...
Das Problem ist tatsächlich deutlich schwerer als es auf den ersten Blick erscheint. Ich habe zwar relativ bald die folgenden Formeln gefunden:
Die Hilfsfunktion f_s(k,e,n) liefert dabei die Anzahl der Möglichkeiten, k Kugeln so auf s Schüsseln zu verteilen, dass in e Schüsseln genau eine Kugel und in n Schüsseln keine Kugel liegt. Damit kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit p(s,k) dafür, dass bei n Kugeln, die zufällig auf s Schüsseln verteilt werden, mindestens eine Schüssel genau eine Kugel enthält, berechnet werden. Leider haben die Formeln den Schönheitsfehler, dass sie Rekursion und ein Summenzeichen verwenden. Besser wäre eine Darstellung der Funktion unter Verzicht auf diese Konstrukte, so dass man den Funktionsterm mit den eingesetzten Werten für s und k direkt in einen Taschenrechner eintippen kann. Ich habe dazu etliche Ansätze ausprobiert, aber leider bisher ohne Erfolg. Vielleicht reicht es Stefan ja aus, die Wahrscheinlichkeiten für ein paar konkrete Werte von s und k berechnen zu können. Dazu habe ich die obigen Formeln in ein kleines Python-Programm umgesetzt, das recht fix eine Tabelle für 1 ≤ s ≤ smax und 0 ≤ k ≤ kmax erzeugt.
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