Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

[keeke (Gast)]

Hallo,

ich hoffe jemand kann mir bei folgender Aufgabe helfen.

Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines Sendesignals.
Berechnen Sie den Wert a.

Ich habe ein achsensymmetrisches Dreieck vor mir liegen, die Grundeseite 
ist -0,5 bis 0,5 lang und die Spitze ist der gesuchte Wert a.
Ich verstehe nicht, wie man auf a=2 kommt.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Zitat aus

  http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Fläche unter der Dichtefunktion hat den Inhalt 1, d. h.

$$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, {\rm d}x = 1.$$

Daraus ergibt sich sofort die Lösung :)

[keeke (Gast)]

Achso, vielen Dank :)

[Leyla S. (keeke)]

Habe noch eine Frage, nun wird die Gesamtleistung gesucht.

Der Gleichanteil ist 0, das ist mir klar.

Also fehlt mir nur noch der Wechselanteil, dieser lässt sich laut Formel 
über die Varianz ermitteln.

Jetzt steht in der Lösung:

f(x)= a(1+2x) für -0,5<x<0
      a(1-2x) für 0<x<0,5
      0, sonst

Das sind doch einfach die Geraden der jeweiligen Abschnitte, nur das 
anstatt der 2 hier einfach nur a steht?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Leyla S. schrieb:
> Habe noch eine Frage, nun wird die Gesamtleistung gesucht.

Wenn du keine fertige Formel dafür im Kopf hast, kannst du sie dir ganz
schnell zusammenbasteln:

Wie ist die Leistung eines (konstanten) Signals definiert? Da gibt es
mehrere Möglichkeiten, je nachdem, ob das Signal ein rein mathematisches
(also dimensionslos) oder ein physikalisches (bspw. eine Spannung oder
ein Strom) ist.

Wie groß ist die mittlere Leistung, wenn das Signal nur diskrete Werte
x_i annimmt und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit P(x_i)?

Bei einem kontinuierlichen Signal ersetzt du P(x_i) einfach durch
f(x)·dx, wobei f die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist, und das
Summenzeichen durch ein Integralzeichen.

> Jetzt steht in der Lösung:
>
> f(x)= a(1+2x) für -0,5<x<0
>       a(1-2x) für 0<x<0,5
>       0, sonst
>
> Das sind doch einfach die Geraden der jeweiligen Abschnitte, nur das
> anstatt der 2 hier einfach nur a steht?

Genau so ist es.

Und diese Definition von f brauchst du zur Berechnung der Leistung.

[Leyla S. (keeke)]

Vielen Dank :). Ich habe versucht den Wert für a über das Integral zu 
berechnen, allerdings komme ich immer noch nicht auf das richtige 
Ergebnis. Habe ich die Formel falsch umgesetzt?

$$2*\int_0^{0,5} \! \frac{a*0,5}{2} \, da = 1$$

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Leyla S. schrieb:
> Ich habe versucht den Wert für a über das Integral zu
> berechnen, allerdings komme ich immer noch nicht auf das richtige
> Ergebnis.

Ich habe gedacht, das sei schon erledigt gewesen, als du die nächste
Frage stelltest (die nach der Leistung).

Wenn nicht:

> Habe ich die Formel falsch umgesetzt?

Ja.

Du hast dx durch da ersetzt, es muss aber über x integriert werden.

Für f(x) hast du etwas ganz Komisches eingesetzt. Die Formel für f(x)
hast du aber doch schon:

Leyla S. schrieb:
> f(x)= a(1+2x) für -0,5<x<0
>       a(1-2x) für 0<x<0,5
>       0, sonst

Damit kannst du – in Abhängigkeit von a – abschnittsweise über die
Intervalle (-∞, -0,5], [-0,5, 0], [0, +0,5], [+0,5, +∞) integrieren und
das Ergebnis gleich 1 setzen.

Du kannst das Integral aber auch einfach mit der Dreiecksflächenformel

  Fläche = ½ · Grundseite · Höhe

berechen. Das geht sogar im Kopf :)

[Leyla S. (keeke)]

Ja vielen Dank, jetzt ist alles klar :) Mit der Dreiecksformel hatte ich 
es verstanden, wollte aber die Aufgabe nochmal mit dem Integral 
nachvollziehen. Habe dummerweise für f(x) die Fläche genommen...