Diskrete Fouriertransfomation Verständnisprobleme

[Sauel (Gast)]

Die Fouriertransformation eines diskreten Signals ist so definiert:

$$F_{d\infty}(j\omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(nT_a) e^{-j\omega n T_a}$$

Ta ist die ABtastzeit. Diese sollte kurz genug sein, damit kein Aliasing 
auftritt (Überlappung). Soweit sogut.

Ich verstehe aber den Üergang zur DFT nicht so ganz. Also der diskreten 
Fouriertransformation.

Diese ist so definiert:

$$F_d(j k \Delta \omega) = \sum_{n=0}^{N-1} f(nTa) * e^{-jk\Delta\omega n T_a}$$

Die Idee ist mir aber irgendwie shcon klar. Man schneidet das Signal 
sozusagen ab N-1 ab und schaut welche Frequenzen bis dahin drinnen sind. 
Nur verstehe ich jetzt nicht ganz, wieso dann diese Frequenzen diskret 
werden?

Also konkret verstehe ich nicht wieso die DFT nicht so definiert sein 
kann:

$$F_d(j k \Delta \omega) = \sum_{n=0}^{N-1} f(nTa) * e^{-j\omega n T_a}$$

?

Wieso wird die Frequenz auf einmal diskret?

[FH-Student (Gast)]

Weil du mit der DFT eigentlich die DTFT, also die Fouriertransformation 
für zeitdiskrete Signale (aber mit kontinuierlichem Spektrum) abtastest.

[FH-Student (Gast)]

Nachtrag:

Das ist ja im Prinzip der Sinn der DFT, also die Berechnung eines 
diskreten Frequenzspektrums für diskrete Signale (ein Digitalrechner 
kann nicht "kontinuierlich"), das hierbei durch Abtastung der DTFT 
gewonnen wird die man wiederum durch Abtastung eines kontinuierlichen 
Zeitsignals berechnen kann.

[Sauel (Gast)]

FH-Student schrieb:
> (ein Digitalrechner
> kann nicht "kontinuierlich")

wieso nicht? Summen wird der wohl bilden können.

Was spricht gegen so eine Trafo:

$$F_d(j\omega) = \sum_{n=0}^{N-1} f(nTa) * e^{-j\omega n T_a}$$

[Sauel (Gast)]

Okayy!! Alles klar jetzt danke!

[FH-Student (Gast)]

Sauel schrieb:
> FH-Student schrieb:
>> (ein Digitalrechner
>> kann nicht "kontinuierlich")
>
> wieso nicht? Summen wird der wohl bilden können.
>
> Was spricht gegen so eine Trafo:

Ich muss gestehen dass ich mit deiner Notation gerade etwas 
durcheinander komme. Auch die Definition der DFT im ersten Post ist 
nicht ganz richtig!
Mir ist gerade aufgefallen dass der Formel für die DFT ein Fehler drin 
ist!
Möchtest du mit dem zuletzt genannten Term eine kont. Spektrum berechnen 
oder DFT-Koeffizienten entwickeln?

Die DFT ist wie beschrieben einfach die diskrete Version der DTFT, also 
eine Abtastung des kont. Spektrums zeitdiskreter Signale, daher kommen 
dann auch die diskreten Frequenzen. Die DTFT wird AFAIK nur in der 
Theorie bzw. auf dem Papier oder höchstens in einem CAS, aber nicht in 
Matlab verwendet.

Ganz allgemein ist es wichtig dass eine solche Transformation konvergent 
ist und umkehrbar. Ich denke nicht dass das bei deinem Beispiel der Fall 
ist, das sieht eher nach einer endlichen Reihenentwicklung zur 
Approximation aus (komplexe Fourier-Koeffizienten), wenn überhaupt :)