Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?

[A. A. (Firma: ...) (leo888)]

Hallo zusammen,

gibt es einen triftigen und erklärbaren Grund dafür, dass die Fakultät 
von 0 der 1 entpsricht.

1! = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 24
...

0! = 0*??? = 1???

Vielen Dank

Liebe grüße

[Uhu U. (uhu)]

https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition

[A. A. (Firma: ...) (leo888)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition

Ja das sagt aber nicht warum es so ist, sondern einfach, dass es so ist.

[A. A. (Firma: ...) (leo888)]

Hi,

oder könnte man einfach argumentieren, dass es genau "Eine" Möglichkeit 
gibt nichts anzuordnen??

[Chris D. (myfairtux) (Moderator)]

Agit A. schrieb:
> Hi,
>
> oder könnte man einfach argumentieren, dass es genau "Eine" Möglichkeit
> gibt nichts anzuordnen??

Richtig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt

[Willi W. (williwacker)]

Sonst funktioniert die Rekursion nicht, dann wäre alles eine 
Multiplikation mit 0.

Ist jetzt aber auch nicht das stärkste Argument.

Ich denke das stärkste Argument ist: So ist es definiert (Upps!) Und es 
klappt gut.

[(prx) A. K. (prx)]

Ausserdem funktioniert sonst die rekursive Definition nicht.
Also n! = (n-1)!*n für n=1

[Georg A. (georga)]

Mit der Begründung könnte man die Fakultät auch für alle negativen 
Zahlen auf 1 setzen ;)

[P. M. (o-o)]

Wenn ich zu n Elementen 1 Element hinzufüge, dann multipliziert sich die 
Anzahl mögliche Permutationen mit n + 1. Wenn ich also mit 0 Elementen 
starte, so ergibt sich zwingend 0! = 1.


Willi Wacker schrieb:
> Ich denke das stärkste Argument ist: So ist es definiert (Upps!) Und es
> klappt gut.

Eine ähnliche Diskussion hatten wir kürzlich für die Division durch 
null. Dort lief es dann darauf hinaus, dass je nach Blickwinkel eine 
unterschiedliche Definition von x/0 denkbar wäre. Letztlich lassen sich 
die Blickwinkel aber nicht zusammenführen, weshalb x/0 am vernünftigsten 
als "undefiniert" definiert wird. Hier bin ich aber der Meinung, dass es 
nicht eine Definition ist, sondern sich logisch ergibt.

[Joachim B. (jar)]

P. M. schrieb:
> Wenn ich zu n Elementen 1 Element hinzufüge, dann multipliziert sich die
> Anzahl mögliche Permutationen mit n + 1. Wenn ich also mit 0 Elementen
> starte, so ergibt sich zwingend 0! = 1.

aber Fakultät wurde mal mit natürliche Zahlen erfunden und nach alter 
Definition ist 0 keine natürliche Zahl neuerdings ja, heute werden beide 
Sichtweisen als zulässig betrachtet was schon verwundert, je nach dem 
wie's besser passt?

http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl

[Uhu U. (uhu)]

Agit A. schrieb:
> Ja das sagt aber nicht warum es so ist, sondern einfach, dass es so ist.

Dort steht ein Link "leere(s) Produkt" - dem solltest du folgen, statt 
einfach nur rumzukrähen...

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Ausserdem muss 0! = 1 sein, sonst wäre e = 1,71828... und nicht 
2,71828...

;-)

P.S.

Da fällt mir was nettes ein:

Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1 
beinhaltet. Dort dreht man solange, bis die Summe der Ergebnisse die 1 
überschreitet. Dann beginnt ein neues Spiel.

Wie oft muss man das Rad durchschnittlich pro Spiel drehen?

[Uhu U. (uhu)]

Frank M. schrieb:
> Ausserdem muss 0! = 1 sein, sonst wäre e = 1,71828... und nicht
> 2,71828...
>
> ;-)

Au Mann, das ist eine typische Deppenargumentation.

Merke: Mathematische Definitionen sind nicht die Heilige Schrift und 
auch nicht gottgegeben...

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Au Mann, das ist eine typische Deppenargumentation.

Genau aus dem Grunde steht doch der Smiley da drunter. Oder muss ich für 
Dich Schnellmerker noch ein SCNR drunterschreiben?

[P. M. (o-o)]

Joachim B. schrieb:
> aber Fakultät wurde mal mit natürliche Zahlen erfunden und nach alter
> Definition ist 0 keine natürliche Zahl neuerdings ja, heute werden beide
> Sichtweisen als zulässig betrachtet

Null ist aber ein sinnvoller Wert für eine Anzahl. Du kannst 0, 1, 2, n 
Bücher im Regal haben. Wenn du 1 Buch im Regal hast und eines wegnimmst, 
dann hast du 0 Bücher. Die Null passt da also rein. Für negative Zahlen 
geht das nicht mehr: Wenn du 0 Bücher hast, dann kannst du keines mehr 
wegnehmen.

[S. E. (crayse)]

Wenn du die Fakultät als Spezialfall der Gamma-Funktion (für ganzzahlige 
Argumente größer 1) betrachtest, gemäß

$$\Gamma(n+1)=n!$$

und dann die Integraldarstellung der Gamma-Funktion für positive 
Argumente betrachtest:

$$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt$$

dann siehst du, dass für

$$x=1$$

$$\Gamma(1)=1=0!$$

 herauskommt.

[Uhu U. (uhu)]

Frank M. schrieb:
> Genau aus dem Grunde steht doch der Smiley da drunter. Oder muss ich für
> Dich Schnellmerker noch ein SCNR drunterschreiben?

Die Fakultät ist ein typisches Beispiel für eine pragmatische 
Definition: man konstruiert sie so, dass sich möglichst viele 
verschiedene Berechnungen, in denen Kettenprodukte aufeinanderfolgender 
ganzer Zahlen vorkommen, damit konsistent handhaben lassen und bezieht 
Randfälle, die nirgends weh tun einfach mit ein.

Wer nur die Zahlen von 1..n multiplizieren will, der kommt - wie Agit A. 
- nicht auf die Idee, warum 0! 1 sein soll.

Im Übrigen ist es sehr verbreitet, ein mathematisches Modell unbesehen 
für die Realität zu nehmen und daraus ohne Rücksicht darauf, ob das 
Modell den konkreten Fall überhaupt abdeckt, irgend welche Schlüsse 
abzuleiten.

Dein schlauer Einwurf ist von der Sorte, die das Fundament zu derlei 
Irrtümern bildet...

S. E. schrieb:
> Wenn du die Fakultät als Spezialfall der Gamma-Funktion (für ganzzahlige
> Argumente größer 1) betrachtest, gemäß

Das ist sie aber mal nicht. Leonhard Euler fand, dass die Gamma-Funktion 
für positive ganzzahlige Argumente - 1 dasselbe Ergebnis liefert, wie 
die Fakultät. Das bietet die Möglichkeit, eine reelle Erweiterung für 
die Fakultät zu definieren.

Aber daraus den Schluss zu ziehen, dass wegen Gamma(0) == 1 auch 0! == 1 
sein muss, ist erst mal nicht zwingend. Erst als man sah, dass man sich 
damit nicht nur keine Widersprüche einhandelt, sondern das Ganze sogar 
ziemlich praktisch ist, wurde die Definition der Fakultät um den 
Sonderfall 0! = 1 erweitert.

Wenn man die Mathematik nicht als geschichtslose Ansammlung von 
Glaubenssätzen ("Definitionen") betrachtet, sondern sich auch damit 
beschäftigt, wie sich das ganze Gebäude entwickelt hat, wird einiges 
klarer und anschaulicher.

Nur leider lieben es gewisse Witzbolde, die Mathematik als Gottes Wort 
zu verbreiten und sich als die Hoheprieser aufzublasen.

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Die Fakultät ist ein typisches Beispiel für eine /pragmatische/
> Definition: man konstruiert sie so, dass sich möglichst viele
> verschiedene Berechnungen, in denen Kettenprodukte aufeinanderfolgender
> ganzer Zahlen vorkommen, damit konsistent handhaben lassen und bezieht
> Randfälle, die nirgends weh tun einfach mit ein.

Du hättest einfach mal mein Glücksrad-Rätsel oben

 a) einmal in einer Monte-Carlo-Simulation

 b) und dann noch einmal mittels mathematischer Betrachtung lösen sollen

Für b) brauchst Du die Definition und Anwendung der Fakultät (n!), für 
a) nur einen Computer mit gutem Zufallszahlengenerator.

Wenn Du dann die Ergebnisse vergleichst, würdest Du feststellen, dass 
meine "Deppenargumentation" gar nicht so deppert ist.

Mehr will ich nicht verraten.

P.S.
Die Monte-Carlo-Simulation konvergiert zwar sauschlecht, aber sie tut es 
:-)

[Uhu U. (uhu)]

Frank M. schrieb:
> Für b) brauchst Du die Definition und Anwendung der Fakultät (n!), für
> a) nur einen Computer mit gutem Zufallszahlengenerator.

Und welchen Computer und welchen Zufallszahlengenerator hat Euler 
benutzt?

> Wenn Du dann die Ergebnisse vergleichst, würdest Du feststellen, dass
> meine "Deppenargumentation" gar nicht so deppert ist.

Sie ist deppert, weil sie einfach nur zufällig aus einem Haufen 
Beispielen herausgepickt ist.

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Und welchen Computer und welchen Zufallszahlengenerator hat Euler
> benutzt?

Gar keinen. Der konnte rechnen[1].

> Sie ist deppert, weil sie einfach nur zufällig aus einem Haufen
> Beispielen herausgepickt ist.

Es ist aber ein sehr nettes Beispiel und natürlich nur ein notwendiges, 
aber kein hinreichendes Argument. Warte einfach ab, bis hier jemand die 
Lösung schreibt ;-)

Übrigens: Um eine These mathematisch zu widerlegen, reicht ein einziges 
Gegenbeispiel. Wo ist denn Deins?

[1] Mit "Rechnen" ist die Anwendung und Beweisführung mittels Formeln 
gemeint, nicht das Rechnen mit konkreten Zahlen. Nur um einem weit 
verbreitetem Missverständnis vorzubeugen...

[S. E. (crayse)]

> Das ist sie aber mal nicht. Leonhard Euler fand, dass die Gamma-Funktion
> für positive ganzzahlige Argumente - 1 dasselbe Ergebnis liefert, wie
> die Fakultät. Das bietet die Möglichkeit, eine reelle Erweiterung für
> die Fakultät zu definieren.

Natürlich ist dieser Schluß nicht zwingend. Das ist ja das schöne an der 
Mathematik im Gegensatz zu den Naturwissenschaften. Frei nach Pipi 
Langstrumpf kann sich da jeder im Prinzip alles so definieren, wie er 
grade Lust hat, also auch welchen Wert die "Fakultät" für ihn bei 0 
haben soll.

Die Frage, die sich Mathematiker stellen lautet aber meistens: Ist das 
sinnvoll, bzw. gibt es eine eindeutige Lösung (die natürlich dann immer 
weitere Annahmen benötigt).

Für die Gamma-Funktion ist es bspw. so, dass sie die einzig mögliche 
Verallgemeinerung der Fakultät ist, wenn man sich ein paar Eigenschaften 
für eine solche Funktion wünscht (welche genau siehe Bohr-Mollerup 
Theorem). Damit macht also diese Erweiterung (und damit auch die Wahl 
0!=1) besonders viel Sinn, von der mathematischen Warte aus gesehen.
Wenn man allerdings keinen Wert darauf legt, diese Eigenschaften der 
Gamma-Funktion (und damit indirekt der Fakultät) zu erhalten, kann man 
natürlich auch eine andere Wahl treffen.

Ich wollte damit nur unterstreichen, dass es nicht reine 
Definitionssache ist, sondern, dass es durchaus starke mathematische 
Argumente für diese Wahl gibt.

Mit der geschichtlichen Entwicklung hat es übrigens meiner Meinung nach 
eher nicht so viel zu tun.

[Uhu U. (uhu)]

Frank M. schrieb:
> Übrigens: Um eine These mathematisch zu widerlegen, reicht ein einziges
> Gegenbeispiel. Wo ist denn Deins?

Jetzt bist du wohl restlos überfordert... Denk einfach in Ruhe darüber 
nach.

S. E. schrieb:
> Natürlich ist dieser Schluß nicht zwingend. Das ist ja das schöne an der
> Mathematik im Gegensatz zu den Naturwissenschaften.

Ja, dieses "Glück" haben eigentlich ansonsten nur die Theologen.

Und das ist die Falle, in die Schulabsolventen, die über ein Jahrzehnt 
religiös indoktriniert wurden ("Religionsunterricht"), gerne 
hineintappen und fröhlich Urbild und Bild verwechseln und Ursache und 
Wirkung nicht auseinanderhelten können.

> Frei nach Pipi Langstrumpf kann sich da jeder im Prinzip alles so
> definieren, wie er grade Lust hat, also auch welchen Wert die "Fakultät"
> für ihn bei 0 haben soll.

In sich konsistent muss das Gedankegebäude schon sein - Pipi Langstrumpf 
gibt sich damit zufrieden, dass es in der Fantasie passt.

> Ich wollte damit nur unterstreichen, dass es nicht reine
> Definitionssache ist, sondern, dass es durchaus starke mathematische
> Argumente für diese Wahl gibt.

Das meinte ich mit dem "pragmatisch".

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

4! = 5! / 5 = 120 / 5 = 24
3! = 4! / 4 =  24 / 4 =  6
2! = 3! / 3 =   6 / 3 =  2
1! = 2! / 2 =   2 / 2 =  1
0! = 1! / 1 =   1 / 1 =  1

[Johann L. (gjlayde)]

Frank M. schrieb:
> Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1
> beinhaltet.

Das muss aber ein seeeehr groooßes Rad sein!

[A. A. (Firma: ...) (leo888)]

Yalu X. schrieb:
> 4! = 5! / 5 = 120 / 5 = 24
> 3! = 4! / 4 =  24 / 4 =  6
> 2! = 3! / 3 =   6 / 3 =  2
> 1! = 2! / 2 =   2 / 2 =  1
> 0! = 1! / 1 =   1 / 1 =  1

Wenn man diese Abbildung betrachtet,  dann erscheint es schon sinnvoll.

Vielen Dank

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Frank M. schrieb:
> Da fällt mir was nettes ein:
>
> Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1
> beinhaltet. Dort dreht man solange, bis die Summe der Ergebnisse die 1
> überschreitet. Dann beginnt ein neues Spiel.
>
> Wie oft muss man das Rad durchschnittlich pro Spiel drehen?

Hier eine Lösung mittels Monte-Carlo und Zufallszahlen:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N_GAMES 10000000

int main ()
{
    int     games;
    int     tries = 0;
    double  sum;
    double  value;

    for (games = 0; games < N_GAMES; games++)
    {
        for (sum = 0.0; sum <= 1.0; sum += value)
        {
            value = (double) rand () / (double) RAND_MAX;
            tries++;
        }
    }

    printf ("%f\n", (float) tries / (float) games);
    return 0;
}

$ cc -O2 -Wall euler.c -o euler && ./euler
2.718336

(Nicht ganz die Eulersche Zahl, ich sagte ja, das Ding konvergiert 
verdammt schlecht ;-) )

Mathematisch lässt sich das ganze auch über 
Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschreiben, z.B.:

  http://www.hsu-hh.de/download-1.4.1.php?brick_id=B7Qb7inoa7Tl386Q

Heraus kommt die bekannte Summenformel für e über 1/n! - beginnend mit n 
= 0.

P.S.
Ich weiß, das Programm lässt sich optimieren. Zum Beispiel kann auf die 
Floating-Point-Division durch RAND_MAX verzichtet werden, wenn man in 
die Bedingung der for-Schleife auf <= RAND_MAX statt <= 1 testet. Ich 
wollte aber so nah wie möglich an der Aufgabenstellung bleiben.

[A. A. (Firma: ...) (leo888)]

Hi Leute,

danke für die vielen Antworten.

Und jetz mal was zum lachen :)

https://www.youtube.com/watch?v=L6kn0dWs3dM

Liebe grüße

[c. m. (Gast)]

ein axiom.

genau genommen kann es 0! und 1! garnicht geben weil die fakultät per 
definition eine multiplikation aufeinanderfolgender natürlicher zahlen 
ist.
nimmt man 0 als anfangswert, ergibt jede fakultät 0 - blöd.
beginnt man bei 1 hat man für 1! keinen folgemultiplikator - auch blöd.

also muss man sich krumme definitionen einfallen lassen damit der 
krempel sich in die restliche mathematik einschmiegt.

[Uhu U. (uhu)]

c. m. schrieb:
> ein axiom.

Nein, eine Definition.

https://de.wikipedia.org/wiki/Axiom
https://de.wikipedia.org/wiki/Definition

[Joachim B. (jar)]

c. m. schrieb:
> fakultät per
> definition eine multiplikation aufeinanderfolgender natürlicher zahlen
> ist.

oder nach anderer Definition nicht negativer natürlicher Zahlen und 
somit ist die 0 wieder im Spiel

diese Erklärung überzeugt mich:

Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?"

[c. m. (Gast)]

Joachim B. schrieb:

> diese Erklärung überzeugt mich:
>
> Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?"

das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1 
so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten.
demgegenüber…
rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter]
und? kommt 1 raus? ;)

[Uhu U. (uhu)]

c. m. schrieb:
> das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1
> so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten.
> demgegenüber…

Ein Beweis ist es auch nicht, sondern nur ein Beispiel dafür, dass die 
pragmatische Definition in diesem Fall paßt - zu beweisen gibts da 
nämlich genau so wenig, wie bei der Straßenverkehrsordnung.

Lies nach, was ich hier: 
Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?" geschriben habe.

[Johann L. (gjlayde)]

c. m. schrieb:
> rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter]
> und? kommt 1 raus? ;)

Und was soll das bitte zeigen?

Nimm 10 zufällig gewählte Taschenrechner und rechne 1 + 2 * 3 aus.

Die Hälfte der Rechner spuckt 7 aus, die andere 9.  Als Kompromiss ist 
also 8 ein akzeptables Ergebnis...

[Mani W. (e-doc)]

Schönen Morgen/Mitternacht!


Was soll der Thread beweisen/darstellen und für wen soll diese
Diskussion eine Sinnhaftigkeit ergeben ???

I dont`t know......


Schönen Gruß

Mani

[Joachim B. (jar)]

c. m. schrieb:
> das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1
> so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten.
> demgegenüber…
> rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter]

dann nimm aus deinem leeren Portemonnaie 1000€ raus und beweise das es 
keine Schulden oder Dispo gibt

[Rainer Z. (netzbeschmutzer)]

Was Nettes zu diesem Thema zwingt mich, diesen Thread von 2014 
auszugraben.
https://www.spiegel.de/karriere/koennen-diese-rechnungen-aufgehen-raetsel-der-woche-a-32c55b5d-2cc9-4a74-8b45-8e7f5896d125

Der Clou dabei: Im Artikel heißt es: "Bei der 0 hilft die Funktion der 
Fakultät. Per Definition ist die Fakultät von 0 gleich 1."

Das wollte ich näher wissen. In Google "Fakultät von 0 gleich 1" 
gesucht. Und was steht ganz oben in der Google-Liste? Dieser 
Mikrocontroler.net-Thread!

Verlinkt wurde der Beitrag von P. M.
Am überzeugendsten war aber der Beitrag von Yalu X.
Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?"

Euch einen schönen Sonntag! (Und Spaß mit dem Spiegel-Rätsel)

[Dieter B. (dieter_b863)]

Moin,
aus dem gleichen Grund wie Rainer Z. habe ich mir gerade den alten 
Thread angeschaut. Neben der eigentlichen Information fiel mir auf, wie 
man schon damals in Onlinediskussionen miteinander umgegangen ist:

---
folgen, statt einfach nur rumzukrähen...

das ist eine typische Deppenargumentation

muss ich für Dich Schnellmerker

lieben es gewisse Witzbolde,

Jetzt bist du wohl restlos überfordert... Denk einfach in Ruhe darüber
nach.
---

Und das ist leider bis heute nicht besser geworden, im Gegenteil. 
Schade....

Gruß
Dieter