Hallo zusammen, gibt es einen triftigen und erklärbaren Grund dafür, dass die Fakultät von 0 der 1 entpsricht. 1! = 1 2! = 1*2 = 2 3! = 1*2*3 = 6 4! = 1*2*3*4 = 24 ... 0! = 0*??? = 1??? Vielen Dank Liebe grüße
Uhu Uhuhu schrieb: > https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition Ja das sagt aber nicht warum es so ist, sondern einfach, dass es so ist.
Hi, oder könnte man einfach argumentieren, dass es genau "Eine" Möglichkeit gibt nichts anzuordnen??
Agit A. schrieb: > Hi, > > oder könnte man einfach argumentieren, dass es genau "Eine" Möglichkeit > gibt nichts anzuordnen?? Richtig. https://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt
Sonst funktioniert die Rekursion nicht, dann wäre alles eine Multiplikation mit 0. Ist jetzt aber auch nicht das stärkste Argument. Ich denke das stärkste Argument ist: So ist es definiert (Upps!) Und es klappt gut.
Ausserdem funktioniert sonst die rekursive Definition nicht. Also n! = (n-1)!*n für n=1
Mit der Begründung könnte man die Fakultät auch für alle negativen Zahlen auf 1 setzen ;)
Wenn ich zu n Elementen 1 Element hinzufüge, dann multipliziert sich die Anzahl mögliche Permutationen mit n + 1. Wenn ich also mit 0 Elementen starte, so ergibt sich zwingend 0! = 1. Willi Wacker schrieb: > Ich denke das stärkste Argument ist: So ist es definiert (Upps!) Und es > klappt gut. Eine ähnliche Diskussion hatten wir kürzlich für die Division durch null. Dort lief es dann darauf hinaus, dass je nach Blickwinkel eine unterschiedliche Definition von x/0 denkbar wäre. Letztlich lassen sich die Blickwinkel aber nicht zusammenführen, weshalb x/0 am vernünftigsten als "undefiniert" definiert wird. Hier bin ich aber der Meinung, dass es nicht eine Definition ist, sondern sich logisch ergibt.
P. M. schrieb: > Wenn ich zu n Elementen 1 Element hinzufüge, dann multipliziert sich die > Anzahl mögliche Permutationen mit n + 1. Wenn ich also mit 0 Elementen > starte, so ergibt sich zwingend 0! = 1. aber Fakultät wurde mal mit natürliche Zahlen erfunden und nach alter Definition ist 0 keine natürliche Zahl neuerdings ja, heute werden beide Sichtweisen als zulässig betrachtet was schon verwundert, je nach dem wie's besser passt? http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl
Agit A. schrieb: > Ja das sagt aber nicht warum es so ist, sondern einfach, dass es so ist. Dort steht ein Link "leere(s) Produkt" - dem solltest du folgen, statt einfach nur rumzukrähen...
Ausserdem muss 0! = 1 sein, sonst wäre e = 1,71828... und nicht 2,71828... ;-) P.S. Da fällt mir was nettes ein: Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1 beinhaltet. Dort dreht man solange, bis die Summe der Ergebnisse die 1 überschreitet. Dann beginnt ein neues Spiel. Wie oft muss man das Rad durchschnittlich pro Spiel drehen?
Frank M. schrieb: > Ausserdem muss 0! = 1 sein, sonst wäre e = 1,71828... und nicht > 2,71828... > > ;-) Au Mann, das ist eine typische Deppenargumentation. Merke: Mathematische Definitionen sind nicht die Heilige Schrift und auch nicht gottgegeben...
Uhu Uhuhu schrieb: > Au Mann, das ist eine typische Deppenargumentation. Genau aus dem Grunde steht doch der Smiley da drunter. Oder muss ich für Dich Schnellmerker noch ein SCNR drunterschreiben?
Joachim B. schrieb: > aber Fakultät wurde mal mit natürliche Zahlen erfunden und nach alter > Definition ist 0 keine natürliche Zahl neuerdings ja, heute werden beide > Sichtweisen als zulässig betrachtet Null ist aber ein sinnvoller Wert für eine Anzahl. Du kannst 0, 1, 2, n Bücher im Regal haben. Wenn du 1 Buch im Regal hast und eines wegnimmst, dann hast du 0 Bücher. Die Null passt da also rein. Für negative Zahlen geht das nicht mehr: Wenn du 0 Bücher hast, dann kannst du keines mehr wegnehmen.
Wenn du die Fakultät als Spezialfall der Gamma-Funktion (für ganzzahlige Argumente größer 1) betrachtest, gemäß
und dann die Integraldarstellung der Gamma-Funktion für positive Argumente betrachtest:
dann siehst du, dass für
herauskommt.
Frank M. schrieb: > Genau aus dem Grunde steht doch der Smiley da drunter. Oder muss ich für > Dich Schnellmerker noch ein SCNR drunterschreiben? Die Fakultät ist ein typisches Beispiel für eine pragmatische Definition: man konstruiert sie so, dass sich möglichst viele verschiedene Berechnungen, in denen Kettenprodukte aufeinanderfolgender ganzer Zahlen vorkommen, damit konsistent handhaben lassen und bezieht Randfälle, die nirgends weh tun einfach mit ein. Wer nur die Zahlen von 1..n multiplizieren will, der kommt - wie Agit A. - nicht auf die Idee, warum 0! 1 sein soll. Im Übrigen ist es sehr verbreitet, ein mathematisches Modell unbesehen für die Realität zu nehmen und daraus ohne Rücksicht darauf, ob das Modell den konkreten Fall überhaupt abdeckt, irgend welche Schlüsse abzuleiten. Dein schlauer Einwurf ist von der Sorte, die das Fundament zu derlei Irrtümern bildet... S. E. schrieb: > Wenn du die Fakultät als Spezialfall der Gamma-Funktion (für ganzzahlige > Argumente größer 1) betrachtest, gemäß Das ist sie aber mal nicht. Leonhard Euler fand, dass die Gamma-Funktion für positive ganzzahlige Argumente - 1 dasselbe Ergebnis liefert, wie die Fakultät. Das bietet die Möglichkeit, eine reelle Erweiterung für die Fakultät zu definieren. Aber daraus den Schluss zu ziehen, dass wegen Gamma(0) == 1 auch 0! == 1 sein muss, ist erst mal nicht zwingend. Erst als man sah, dass man sich damit nicht nur keine Widersprüche einhandelt, sondern das Ganze sogar ziemlich praktisch ist, wurde die Definition der Fakultät um den Sonderfall 0! = 1 erweitert. Wenn man die Mathematik nicht als geschichtslose Ansammlung von Glaubenssätzen ("Definitionen") betrachtet, sondern sich auch damit beschäftigt, wie sich das ganze Gebäude entwickelt hat, wird einiges klarer und anschaulicher. Nur leider lieben es gewisse Witzbolde, die Mathematik als Gottes Wort zu verbreiten und sich als die Hoheprieser aufzublasen.
Uhu Uhuhu schrieb: > Die Fakultät ist ein typisches Beispiel für eine /pragmatische/ > Definition: man konstruiert sie so, dass sich möglichst viele > verschiedene Berechnungen, in denen Kettenprodukte aufeinanderfolgender > ganzer Zahlen vorkommen, damit konsistent handhaben lassen und bezieht > Randfälle, die nirgends weh tun einfach mit ein. Du hättest einfach mal mein Glücksrad-Rätsel oben a) einmal in einer Monte-Carlo-Simulation b) und dann noch einmal mittels mathematischer Betrachtung lösen sollen Für b) brauchst Du die Definition und Anwendung der Fakultät (n!), für a) nur einen Computer mit gutem Zufallszahlengenerator. Wenn Du dann die Ergebnisse vergleichst, würdest Du feststellen, dass meine "Deppenargumentation" gar nicht so deppert ist. Mehr will ich nicht verraten. P.S. Die Monte-Carlo-Simulation konvergiert zwar sauschlecht, aber sie tut es :-)
Frank M. schrieb: > Für b) brauchst Du die Definition und Anwendung der Fakultät (n!), für > a) nur einen Computer mit gutem Zufallszahlengenerator. Und welchen Computer und welchen Zufallszahlengenerator hat Euler benutzt? > Wenn Du dann die Ergebnisse vergleichst, würdest Du feststellen, dass > meine "Deppenargumentation" gar nicht so deppert ist. Sie ist deppert, weil sie einfach nur zufällig aus einem Haufen Beispielen herausgepickt ist.
Uhu Uhuhu schrieb: > Und welchen Computer und welchen Zufallszahlengenerator hat Euler > benutzt? Gar keinen. Der konnte rechnen[1]. > Sie ist deppert, weil sie einfach nur zufällig aus einem Haufen > Beispielen herausgepickt ist. Es ist aber ein sehr nettes Beispiel und natürlich nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Argument. Warte einfach ab, bis hier jemand die Lösung schreibt ;-) Übrigens: Um eine These mathematisch zu widerlegen, reicht ein einziges Gegenbeispiel. Wo ist denn Deins? [1] Mit "Rechnen" ist die Anwendung und Beweisführung mittels Formeln gemeint, nicht das Rechnen mit konkreten Zahlen. Nur um einem weit verbreitetem Missverständnis vorzubeugen...
> Das ist sie aber mal nicht. Leonhard Euler fand, dass die Gamma-Funktion > für positive ganzzahlige Argumente - 1 dasselbe Ergebnis liefert, wie > die Fakultät. Das bietet die Möglichkeit, eine reelle Erweiterung für > die Fakultät zu definieren. Natürlich ist dieser Schluß nicht zwingend. Das ist ja das schöne an der Mathematik im Gegensatz zu den Naturwissenschaften. Frei nach Pipi Langstrumpf kann sich da jeder im Prinzip alles so definieren, wie er grade Lust hat, also auch welchen Wert die "Fakultät" für ihn bei 0 haben soll. Die Frage, die sich Mathematiker stellen lautet aber meistens: Ist das sinnvoll, bzw. gibt es eine eindeutige Lösung (die natürlich dann immer weitere Annahmen benötigt). Für die Gamma-Funktion ist es bspw. so, dass sie die einzig mögliche Verallgemeinerung der Fakultät ist, wenn man sich ein paar Eigenschaften für eine solche Funktion wünscht (welche genau siehe Bohr-Mollerup Theorem). Damit macht also diese Erweiterung (und damit auch die Wahl 0!=1) besonders viel Sinn, von der mathematischen Warte aus gesehen. Wenn man allerdings keinen Wert darauf legt, diese Eigenschaften der Gamma-Funktion (und damit indirekt der Fakultät) zu erhalten, kann man natürlich auch eine andere Wahl treffen. Ich wollte damit nur unterstreichen, dass es nicht reine Definitionssache ist, sondern, dass es durchaus starke mathematische Argumente für diese Wahl gibt. Mit der geschichtlichen Entwicklung hat es übrigens meiner Meinung nach eher nicht so viel zu tun.
Frank M. schrieb: > Übrigens: Um eine These mathematisch zu widerlegen, reicht ein einziges > Gegenbeispiel. Wo ist denn Deins? Jetzt bist du wohl restlos überfordert... Denk einfach in Ruhe darüber nach. S. E. schrieb: > Natürlich ist dieser Schluß nicht zwingend. Das ist ja das schöne an der > Mathematik im Gegensatz zu den Naturwissenschaften. Ja, dieses "Glück" haben eigentlich ansonsten nur die Theologen. Und das ist die Falle, in die Schulabsolventen, die über ein Jahrzehnt religiös indoktriniert wurden ("Religionsunterricht"), gerne hineintappen und fröhlich Urbild und Bild verwechseln und Ursache und Wirkung nicht auseinanderhelten können. > Frei nach Pipi Langstrumpf kann sich da jeder im Prinzip alles so > definieren, wie er grade Lust hat, also auch welchen Wert die "Fakultät" > für ihn bei 0 haben soll. In sich konsistent muss das Gedankegebäude schon sein - Pipi Langstrumpf gibt sich damit zufrieden, dass es in der Fantasie passt. > Ich wollte damit nur unterstreichen, dass es nicht reine > Definitionssache ist, sondern, dass es durchaus starke mathematische > Argumente für diese Wahl gibt. Das meinte ich mit dem "pragmatisch".
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Frank M. schrieb: > Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1 > beinhaltet. Das muss aber ein seeeehr groooßes Rad sein!
Yalu X. schrieb: > 4! = 5! / 5 = 120 / 5 = 24 > 3! = 4! / 4 = 24 / 4 = 6 > 2! = 3! / 3 = 6 / 3 = 2 > 1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1 > 0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1 Wenn man diese Abbildung betrachtet, dann erscheint es schon sinnvoll. Vielen Dank
Frank M. schrieb: > Da fällt mir was nettes ein: > > Man nehme ein Glücksrad, welches alle Zahlen zwischen 0 und 1 > beinhaltet. Dort dreht man solange, bis die Summe der Ergebnisse die 1 > überschreitet. Dann beginnt ein neues Spiel. > > Wie oft muss man das Rad durchschnittlich pro Spiel drehen? Hier eine Lösung mittels Monte-Carlo und Zufallszahlen:
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$ cc -O2 -Wall euler.c -o euler && ./euler 2.718336 (Nicht ganz die Eulersche Zahl, ich sagte ja, das Ding konvergiert verdammt schlecht ;-) ) Mathematisch lässt sich das ganze auch über Wahrscheinlichkeitsberechnungen beschreiben, z.B.: http://www.hsu-hh.de/download-1.4.1.php?brick_id=B7Qb7inoa7Tl386Q Heraus kommt die bekannte Summenformel für e über 1/n! - beginnend mit n = 0. P.S. Ich weiß, das Programm lässt sich optimieren. Zum Beispiel kann auf die Floating-Point-Division durch RAND_MAX verzichtet werden, wenn man in die Bedingung der for-Schleife auf <= RAND_MAX statt <= 1 testet. Ich wollte aber so nah wie möglich an der Aufgabenstellung bleiben.
Hi Leute, danke für die vielen Antworten. Und jetz mal was zum lachen :) https://www.youtube.com/watch?v=L6kn0dWs3dM Liebe grüße
Gast
#3908966
ein axiom. genau genommen kann es 0! und 1! garnicht geben weil die fakultät per definition eine multiplikation aufeinanderfolgender natürlicher zahlen ist. nimmt man 0 als anfangswert, ergibt jede fakultät 0 - blöd. beginnt man bei 1 hat man für 1! keinen folgemultiplikator - auch blöd. also muss man sich krumme definitionen einfallen lassen damit der krempel sich in die restliche mathematik einschmiegt.
c. m. schrieb: > ein axiom. Nein, eine Definition. https://de.wikipedia.org/wiki/Axiom https://de.wikipedia.org/wiki/Definition
c. m. schrieb: > fakultät per > definition eine multiplikation aufeinanderfolgender natürlicher zahlen > ist. oder nach anderer Definition nicht negativer natürlicher Zahlen und somit ist die 0 wieder im Spiel diese Erklärung überzeugt mich: Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?"
Gast
#3909247
Joachim B. schrieb: > diese Erklärung überzeugt mich: > > Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?" das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1 so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten. demgegenüber… rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter] und? kommt 1 raus? ;)
c. m. schrieb: > das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1 > so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten. > demgegenüber… Ein Beweis ist es auch nicht, sondern nur ein Beispiel dafür, dass die pragmatische Definition in diesem Fall paßt - zu beweisen gibts da nämlich genau so wenig, wie bei der Straßenverkehrsordnung. Lies nach, was ich hier: Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?" geschriben habe.
c. m. schrieb: > rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter] > und? kommt 1 raus? ;) Und was soll das bitte zeigen? Nimm 10 zufällig gewählte Taschenrechner und rechne 1 + 2 * 3 aus. Die Hälfte der Rechner spuckt 7 aus, die andere 9. Als Kompromiss ist also 8 ein akzeptables Ergebnis...
Schönen Morgen/Mitternacht! Was soll der Thread beweisen/darstellen und für wen soll diese Diskussion eine Sinnhaftigkeit ergeben ??? I dont`t know...... Schönen Gruß Mani
c. m. schrieb: > das ist aber keine erklärung, sondern ein beweis das die definition 0!=1 > so gewählt wurde das die althergebrachten rechenregeln hier gelten. > demgegenüber… > rechne mal 0! aus, gerne auch mit taschenrechner: 0* [enter] dann nimm aus deinem leeren Portemonnaie 1000€ raus und beweise das es keine Schulden oder Dispo gibt
Was Nettes zu diesem Thema zwingt mich, diesen Thread von 2014 auszugraben. https://www.spiegel.de/karriere/koennen-diese-rechnungen-aufgehen-raetsel-der-woche-a-32c55b5d-2cc9-4a74-8b45-8e7f5896d125 Der Clou dabei: Im Artikel heißt es: "Bei der 0 hilft die Funktion der Fakultät. Per Definition ist die Fakultät von 0 gleich 1." Das wollte ich näher wissen. In Google "Fakultät von 0 gleich 1" gesucht. Und was steht ganz oben in der Google-Liste? Dieser Mikrocontroler.net-Thread! Verlinkt wurde der Beitrag von P. M. Am überzeugendsten war aber der Beitrag von Yalu X. Beitrag "Re: Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?" Euch einen schönen Sonntag! (Und Spaß mit dem Spiegel-Rätsel)
Moin, aus dem gleichen Grund wie Rainer Z. habe ich mir gerade den alten Thread angeschaut. Neben der eigentlichen Information fiel mir auf, wie man schon damals in Onlinediskussionen miteinander umgegangen ist: --- folgen, statt einfach nur rumzukrähen... das ist eine typische Deppenargumentation muss ich für Dich Schnellmerker lieben es gewisse Witzbolde, Jetzt bist du wohl restlos überfordert... Denk einfach in Ruhe darüber nach. --- Und das ist leider bis heute nicht besser geworden, im Gegenteil. Schade.... Gruß Dieter
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