DGL: RLC Schaltung mit parallelem RC Glied in Reihe

[Helge H. (Gast)]

Hallo Forum,

zur Modellierung eines mechanischen Systems mit viskoelastischen
Materialien habe ich das abgebildete elektrische Ersatzschaltbild
aufgestellt.

Nun soll versucht werden, die Eingangsspannung Ue(t)ausschließlich in 
Abhängigkeit von dem Strom i1(t) auszudrücken. Es soll also eine 
Differentialgleichung zwischen Ue(t) und i1(t) gefunden werden.

Da später für die Größen C1, L1, C2 und R2 nichtlineare Abhängigkeiten 
vom Strom i1 eingesetzt werden sollen

$$z.B.~C_1 = c_0 + c_1 \cdot i_1(t) + c_2 \cdot i_1^2(t)$$

 ist eine Lösung im Laplace Bereich mit anschließender 
Rücktransformation ungeeignet, da diese nur für lineare Systeme gilt.

Folgendes habe ich bereits versucht (Maschen- & Knotenregel):
M1:

$$U_e(t) = \frac{1}{C1} \cdot \int i_1(t) \cdot dt + R_1 \cdot i_1 + L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + \frac{1}{C_2} \cdot \int i_3(t) dt$$

-> i3 ist noch unbekannt, daher Maschengleichung für M2 aufstellen

M2:

$$\frac{1}{C_2} \cdot \int i_3(t) dt = R_2 \cdot i_2$$

-> i2 unbekannt, daher mit Knotenregel an (K1), i2 durch Differenz zw.
i1 und i3 ausdrücken

K1:

$$i_1 = i_2 + i_3 \rightarrow i_2 = i_1 - i_3,$$

 dies in (M2) einsetzen

M2:

$$\frac{1}{C_2} * \int i_3(t) dt = R_2 \cdot (i_1 - i_3)$$

-> auflösen nach i1:

$$i_1 = \frac{1}{C_2 \cdot R_2} \cdot \int i_3(t) dt + i_3$$

 --> DGL 1. Ordnung

$$LSG:~i_3(t) = ...$$

Um jetzt in Maschengleichung (M1) i3 durch i1 auszudrücken, müsste ich
die DGL aus (M2) lösen, jedoch möchte ich eigentlich keine Lösung für i3
einsetzen, sondern eher die gesamte DGL

$$U_e(t) = ...i_1(t) + ... \frac{di_1(t)}{dt} + ... \frac{di_1(t)}{dt}^2 + ...$$

 erhalten.

Ich bitte um Rat, ob dies so überhaupt möglich ist.

Mit freundlichen Grüßen
Helge

[U. B. (Gast)]

> Nun soll versucht werden, die Eingangsspannung Ue(t)ausschließlich in
> Abhängigkeit von dem Strom i1(t) auszudrücken.

Dann stimmt das Schaltbild nicht.

Also:
Ue(t) herausnehmen und dann den Spannungsabfall ausrechnen, der vom 
gegebenen Strom i1(t) am gesamten Netzwerk hervorgerufen wird.

Z.B. mittels Laplace-Transformation.

[Possetitjel (Gast)]

Hi,

ich nochmal. Ich weise vorsorglich daraufhin, dass Analysis mein
Hass-Fach war; Korrektheit, Vollständigkeit oder Taugleichkeit
meiner Ideen für einen bestimmten Zweck werden nicht garantiert :)
Ich bin nicht nicht fit genug, um jeden Schritt bis zu Ende zu
rechnen. Vielleicht hilft's Dir trotzdem.

Zum Thema: Ich glaube, das Problem liegt im Ansatz.

Helge H. schrieb:

> Folgendes habe ich bereits versucht (Maschen- & Knotenregel):
> M1:

Die Maschengleichung ist, soweit ich sehe, richtig - aber auf
suggestive Weise unnütz. Das Problem liegt im letzten Term (dem
mit i3); Du biegst meiner Meinung nach an der falschen Stelle
links ab.

Alternative Schreibweise für M1:

u_e(t) = u_C1 + u_R1 + u_L1 + u_C2.

Für u_C1, u_R1 und u_L1 kannst Du ja Deine ursprünglichen
Teilterme verwenden; u_C2 ist aber interessant. Es gilt nämlich
folgendes:

1) Man kann i3 als Funktion von u_C2 ausdrücken: i3 = C2 * d(u_c2)/d(t)
2) Man kann i2 als Funktion von u_C2 ausdrücken: i2 = u_c2 / R2
3) Man kann infolgedessen i1 als Funktion von u_C2 ausdrücken.

Die Differenzialgleichung für u_C2 wirst Du wohl lösen müssen;
herauskommen sollte eine Anfangsbedingung und irgendwelche wilden
Terme mit i1.

Ich hoffe, es stimmt und hilft weiter.

[Helge H. (Gast)]

Danke für eure Antworten,
ich habe jetzt verschiedene Vorgehensweisen ausprobiert und versucht 
einen Vergleich der Ergebnisse mittels inverser Laplace Transformation 
durchzuführen.
Anscheinend komme ich nicht drum herum, die DGL für i3 bzw. i3 = f(i1) 
zu lösen. Allerdings muss ich dafür einen anderen Ansatz auswählen.
Zunächst schreibe ich die Ausgangsgleichung um zu:

$$U_e(t) = \frac{1}{C1} \cdot \int i_1(t) \cdot dt + R_1 \cdot i_1 + L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + R_2 \cdot i_2(t)$$

Es hat sich lediglich der letzte Term geändert.
Dann ersetze ich in der DGL für Masche 2 i3(t) durch i1(t) - i2(t) und 
löse diese nach i1(t):

$$i_1(t) = C_2 \cdot R_2 \cdot \frac{d i_2(t)}{dt} + i_2(t)$$

Wie diskutiert muss ich wohl diese DGL nach i2(t) lösen.
Die Lösung lautet:

$$i_2 = e^\frac{- t}{C_2 \cdot R_2} \int \frac{e^\frac{t}{C_2 \cdot R_2} \cdot i_1(t)}{C_2 \cdot R_2} + Const \cdot e^\frac{- t}{C_2 \cdot R_2}$$

Einsetzen in die Ausgangsgleichung gibt:

$$U_e(t) = \frac{1}{C1} \cdot \int i_1(t) \cdot dt + R_1 \cdot i_1 + L_1 \cdot \frac{di_1(t)}{dt} + R_2 \cdot (e^\frac{- t}{C_2 \cdot R_2} \int \frac{e^\frac{t}{C_2 \cdot R_2} \cdot i_1(t)}{C_2 \cdot R_2} + Const \cdot e^\frac{- t}{C_2 \cdot R_2})$$

Sieht nicht grade schön aus, ist aber wohl so..
Eine Frage hätte ich noch. Eigentlich würde ich die Konstante null 
setzen, da ja zu Beginn alle Kondensatoren etc ungeladen sind und noch 
kein Strom fließt. Jedoch interessiert mich lediglich der 
eingeschwungene Zustand des Systems. Wie sieht es dann mit der 
Konstanten aus?
LG Helge

[Kai K. (klaas)]

Vorsicht! Du kannst nicht zuerst C als konstant annehmen, die 
Diff-Gleichung aufstellen und dann C zeitabhängig machen. Q(t) = C x 
U(t). -> I(t) = dQ(t)/dt = C x dU(t)/dt, aber nur wenn C konstant ist. 
Ist C selbst von t abhängig, gilt: I(t) = dC(t)/dt x U(t) + C(t) x 
dU(t)/dt.

Wahrscheinlich wirst du eine Differenzengleichung (die mit den Deltas) 
aufstellen müssen und das numerisch lösen.

[Helge H. (Gast)]

Hi, danke für den Hinweis.
 Darüber habe ich mir gerade auch Gedanken gemacht und ich bin in der 
Literatur auf die selben Definitionen gestoßen!