Abwärtswandler Ausgangskapazität RMS

[Andi K. (ipx)]

Hallo zusammen,

weiß jemand wie diese Formel hergeleitet wird?

$$I_{Cout,rms}= \frac{I_{ripple}}{\sqrt{12}}$$

Es geht um den RMS-Strom des Ausgangskondensators bei einem 
Abwärtswandler.
Ich bin jetzt schon öfters in Datenblätter auf diese Formel gestoßen, 
leider kann ich sie mir nicht erklären.

Hat jemand eine Herleitung oder eine Erklärung dafür?

Vielen Dank.

Gruß

[Helmut S. (helmuts)]

Vermutlich wegen des dreieckförmigen Verlaufs des Spulenstromes.

[Andi K. (ipx)]

Ich habs mir mal versucht folgendermaßen herzuleiten.
Skizze ist im Anhang.

Für den Effektivwert gilt allgemein:

$$I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot (I_o)^2}$$

Den Verlauf aus der Skizze kann man doch so beschreiben:

$$I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot (\int_{0}^{\frac{T}{4}}(\frac{Iripple}{4})^2 + \int_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}(\frac{-Iripple}{2})^2 + \int_{\frac{3T}{4}}^{T}(\frac{Iripple}{4})^2 })$$

Das ergibt laut meinem Taschenrechner:

$$I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}(\frac{5Iripple^2 T}{32}})$$

$$I_{rms}=\sqrt{\frac{5Iripple^2}{32}}$$

Aber das ist ja doch ein anderes Ergebnis als die

$$I_{rms}=\frac{Iripple}{\sqrt{12}}$$

[Nachtaktiver (Gast)]

Der zweite Integrand sieht auf dem ersten Blick nicht richtig aus da ich 
bei diesen eine Lineare Funktion mit Negativer Steigung inkl. 
Y-Abschnitt erwartet hätte. Bei dir hast du nur die negative Steigung 
eingesetzt, das gleiche gilt auch für den dritten Integranden.


Du drückst doch den Strom gar nicht als Funktion der Zeit aus!

[Andi K. (ipx)]

Nachtaktiver schrieb:
> Der zweite Integrand sieht auf dem ersten Blick nicht richtig aus da ich
> bei diesen eine Lineare Funktion mit Negativer Steigung inkl.
> Y-Abschnitt erwartet hätte. Bei dir hast du nur die negative Steigung
> eingesetzt, das gleiche gilt auch für den dritten Integranden.
>
>
> Du drückst doch den Strom gar nicht als Funktion der Zeit aus!

Ein Integral ist ja die Fläche unter der Kurve!

Hab die Flächen mit den Dreiecken beschrieben.

Bei dem ersten Dreieck ist Iripple/2 für die Zeit T/4, da es aber ein 
Dreieck ist, ist es ja nochmal die Hälfte. Also Iripple/4 gilt für die 
Fläche.

Bei dem zweiten Integral ist die Fläche gesamt Iripple für weitere T/2, 
davon wieder die Hälfte ergibt I/2.

Intgral 3 ist das gleiche wie Integral 1.

Das mit der negativen Steigung ist sowieso hinfällig, da der Ausdruck 
ins Quadrat genommen wird.

Ja des dt hab ich halt immer weggelassen, aber nicht vernachlässigt.

[Achim S. (Gast)]

Fleissig gerechnet, aber schon im Ansatz nicht wirklich richtig.

Erst mal kannst du dir viel Arbeit sparen: aus Symmetriegründen ist der 
Effektivwert über die erste Viertelperiode berechnet genau so groß wie 
der Effektivwert über die ganze Periode berechnet (du brauchst also nur 
ein Integral auszurechnen).

Dann wirfst du die Bezeichnungen etwas wild durcheinander: Was 
bitteschön soll I_0 sein, und meinst du mit delta_iL das selbe wie mit 
I_ripple?

Dazu kommt noch:

Nachtaktiver schrieb:
> Du drückst doch den Strom gar nicht als Funktion der Zeit aus!

Also mal richtig:

in der ersten Viertel Periode gilt i(t)=I_ripple/2*t/(T/4)=2I_Ripple*t/T

Der Effektivwert ist:

$$I_{rms}^2=\frac{1}{T/4}\int_0^{T/4}i(t)^2dt=\frac{1}{T/4}\int_0^{T/4}(2I_{Ripple}/T)^2t^2dt=\frac{1}{T/4}(2I_{Ripple}/T)^2\frac{1}{3}(T/4)^3 =\frac{I_{Ripple}^2}{12}$$

geht also auf.

Andi K. schrieb:
> Hab die Flächen mit den Dreiecken beschrieben.

Für die Effktivwertberechnung musst du den Strom vor der Integration 
quadrieren - dann werden Parabelbögen daraus, keine Dreiecke mehr.

[Peter R. (pnu)]

Die Rechnung scheint ganz richtig,

Nur, bist Du sicher, dass der Erfinder dieser Formel auch diesen 
symmetrischen Stromverlauf angenommen hat?

Der Faktor 1/wurzel(12) ist ja vom Zeitverlauf des Stromes bzw. der 
Spannung abhängig


Am Kondensator ist der Stromverlauf keine symmetrische Dreieckspannung.

Passendere Annäherung ist eine unsymmetrische Dreieckspannung: 1/3 der 
Zeit aufwärts, 2/3 abwärts, also Tastverhältnis des Stroms 1:3 . 
Vielleicht kommt da eine bessere oder genau diese Näherungsformel 
heraus.

[Achim S. (Gast)]

Peter R. schrieb:
> Nur, bist Du sicher, dass der Erfinder dieser Formel auch diesen
> symmetrischen Stromverlauf angenommen hat?
>
> Der Faktor 1/wurzel(12) ist ja vom Zeitverlauf des Stromes bzw. der
> Spannung abhängig

Solange der Stromverlauf dreieckförmig mit beliebigem Tastgrad ist 
stimmt die Formel, also auch bei 1/3 aufwärts, 2/3 abwärts.

Ich ja nicht wirklich ein Dreieck gerechnet, sondern einen linear mit 
der Zeit ansteigenden Strom, der durch den Nullpunkt geht. Du kannst dir 
das Dreieck (auch mit Tastgrad <> 50%) durch mehrere solcher 
Geradenstücke zusammenbauen.

[Nachtaktiver (Gast)]

Andi K. schrieb:
>
> Ein Integral ist ja die Fläche unter der Kurve!
>
> Hab die Flächen mit den Dreiecken beschrieben.


Ich kann doch nicht riechen was du da mit deiner Rechnung veranstaltet 
hast. Wenn du den Flächeninhalt direkt beschreiben wolltest dann hättest 
du dir das Integral direkt weglassen können.

Habe die Rechnung nicht überprüft, aber Achim S. hat dir gezeigt wie das 
dann richtig geht. Der Stromwert wird nämlich quadriert und deswegen 
kann man nicht so einfach über den Flächeninhalt rechnen!


Du kannst ja folgendes ausprobieren: Zeichne dir eine beliebige 
Rechteckfunktion auf und skizziere dir eine zweite Funktion welche 
gestaucht wird aber dafür einen höheren Dachwert hat - Aber den 
identischen (arithmetischen) Flächeninhalt hat. Berechne den 
Effektivwert und du wirst sehen das du zwei verschiedene Ergebnisse 
bekommen wirst.

[Andi K. (ipx)]

Achim S. schrieb:
> Fleissig gerechnet, aber schon im Ansatz nicht wirklich richtig.
>
> Erst mal kannst du dir viel Arbeit sparen: aus Symmetriegründen ist der
> Effektivwert über die erste Viertelperiode berechnet genau so groß wie
> der Effektivwert über die ganze Periode berechnet (du brauchst also nur
> ein Integral auszurechnen).
>
> Dann wirfst du die Bezeichnungen etwas wild durcheinander: Was
> bitteschön soll I_0 sein, und meinst du mit delta_iL das selbe wie mit
> I_ripple?
>
> Dazu kommt noch:
>
> Nachtaktiver schrieb:
>> Du drückst doch den Strom gar nicht als Funktion der Zeit aus!
>
> Also mal richtig:
>
> in der ersten Viertel Periode gilt i(t)=I_ripple/2*t/(T/4)=2I_Ripple*t/T
>
> Der Effektivwert ist:
>
>

$$> I_{rms}^2=\frac{1}{T/4}\int_0^{T/4}i(t)^2dt=\frac{1}{T/4}\int_0^{T/4}(2I_{Ripple}/T)^2t^2dt=\frac{1}{T/4}(2I_{Ripple}/T)^2\frac{1}{3}(T/4)^3 > =\frac{I_{Ripple}^2}{12} >$$

>
> geht also auf.
>
> Andi K. schrieb:
>> Hab die Flächen mit den Dreiecken beschrieben.
>
> Für die Effktivwertberechnung musst du den Strom vor der Integration
> quadrieren - dann werden Parabelbögen daraus, keine Dreiecke mehr.

Super, vielen Dank.

Auch an die anderen. Das nächste mal versuche ich alles einheitlich und 
ausführlich zu beschreiben.

Gruß