Hallo zusammen, ich versuche hier, eine Aufgabe zu lösen und bin etwas verwirrt. Ich würde mich sehr über Tipps freuen, wie ich die Aufgabe lösen könnte. Aufgabe: Diese Skizze (nicht original) soll einen elektrischen Leiter zeigen, der die Form eines halben Hohlzylinders hat. Das Material hat den spezifischen Widerstand ROHr. Nun ist gefragt, was der Widerstand zwischen K und L gefragt. Ich bin folgendermaßen vorgegangen. Wir befinden uns im Zylinderkoordinatensystem. Allgemein gilt für den Widerstand R eines Leiters, welche eine Zylinderform hat: R = (ROHr * l) / A l: hier c Das Problem nun ist A. Mir wurde der Tipp gegeben, dass A infinitesimal klein gewählt werden soll. In welche Richtung (z, phi oder roh) zeigen diese infinitesimal kleinen Flächen A? Der Tipp ist gewesen, dass die infinitesimal kleinen Flächen A in Richtung phi zeigen. Dann habe ich gerechnet: R = INTEGRAL (ROHr * l) / dA <=> 1/R = G = INTEGRAL (dA / (ROHr * l)) <=> G = 1/ROHr * INTEGRAL (dROH * dZ / l) // l = z Wenn ich nun für dROH die Integrationsgrenzen b und a wählen und für dZ c und 0, ergibt sich in meinem Ergebnis nach der Integration von dZ/l der Ausdruck ln(c/0), was nicht definiert ist. Daher ist meine Frage, in welche Richtung zeigt dA (infinitesimal kleine Flächen) denn? Ich bin neu hier, daher tut es mir leid, wenn die Rechnungen nicht so ordentlch geschrieben wurden. Ich bedanke mich für jeden Tipp im Voraus. MfG
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definiere erst mal zwischen welchen punkten/flächen du den widerstand berechnen willst, also in welche richtung der strom fließt mir kommt es so vor als ob deine formel entland der rotationsachse (z) ausgelegt ist, in deiner aufgabe der strom aber in eine andere richtung fließt.
Was sind denn a und b? Wenn das die halben Umfänge des Innen- und des Außenzylinders sind, dann würde ich mir den Mittelwert daraus "anfertigen" Alfred= ((b-a)/2)+a Damit wäre das Ding praktisch flach auf den Tisch gebogen und man hätte nun einen Quader, dessen Länge "Alfred" entspricht. Der Querschnitt des ganzen Apparates wäre dann (b-a)*c. Damit hat man Länge und Querschnitt und kann das da einsetzen: R = (ROHr * l) / A Vielleicht liege ich auch vollkommen falsch, alles Mögliche ist möglich.. MfG Paul
Ungläubiger schrieb: > ((b-a)/2)+a > > Müßte die Länge nicht (b+a)/2 mal Pi sein? OK, ((b-a)/2)+a und (b+a)/2 sind gleichwertig, aber Paul hat Pi vergessen. Und für die Fläche, also A, würde ich mit (b-a) mal c rechnen.
Ungläubiger schrieb: > OK, ((b-a)/2)+a und (b+a)/2 sind gleichwertig, Ja, das habe ich auch festgestellt. > aber Paul hat Pi > vergessen. Mit Absicht. Pi steckt ja schon in a und auch in b drin, deshalb habe ich es hier nicht berücksichtigt. Mein Ziel ist, das Ding so geradezubiegen, daß ich einen Quader erhalte, der flach vor mir liegt. Ungläubiger schrieb: > Und für die Fläche, also A, würde ich mit (b-a) mal c rechnen. Ich auch: >Der Querschnitt des ganzen Apparates wäre dann (b-a)*c. MfG Paul
Ich denke mal die Aufgabe ist so gemeint, dass ein Strom von der Fläche bei L zu der Fläche bei K fließt. Wenn man die Zeichnung nach vorne klappt so, dass der Strom in Richtung Einheitsvektor phi zeigt, dann hat man die Stromdichte j(phi) = I / sigma A einheitsvektor_phi. Den Mist musst du jetzt irgendwie mit den Integral-Zusammenhängen verbasteln. U = E ds, I = j dA, U = R*I. Bin aber nur Informatiker also alles ohne Gewähr.
Erst einmal muss man die Stromrichtung in jedem Punkt bestimmen. Die beiden Kontaktflächen sind Äquipotentialflächen. Alle anderen Äquipotentialflächen sind aus Symmetriegründen radial (also durch die Zylinderachse) verlaufende Ebenen. Die Stromrichtung ist immer orthogonal zu den Äquipotentialflächen, verläuft also in jedem Punkt tangetial. Man kann den Körper entlang der Stromrichtung in infinitesimal dünne Elemente zerscheiden und – da zwischen diesen Elementen keine Ströme fließen – diese getrennt betrachten. Da die Elemente alle elektrisch parallelgeschaltet sind, addieren sich deren Leitwerte (die leicht zu berechnen sind) zum Gesamtleitwert. Wenn du (und ich ;-)) richtig gerrechnet hast, sollte
herauskommen. Der Vorschlag von Paul (Geradebiegen und Verwendung der mittleren Länge) liefert eine gute Näherung für dünnwandige halbe Hohlzylinder, also für b-a << a.
Danke erstmal für alle Antworten! Wie bist du eigentlich auf dieses Ergebnis gekommen? Bei mir taucht kein ln(...) im Ergebnis auf. Mein Ergebnis lautet: R = ((ROHr*ROH*pi))/((b-a)*c) Und eine andere Frage: Wieso soll die Näherungsrechnung von Paul in dem Fall nicht funktionieren, aber für b-a << a schon? Denn in meinem Ergebnis kann bzw. sollte ich für ROH=(b-a)/2 wählen. wie Paul es vorgeschlagen hat. Ich bin irgendwie schon der Ansicht, dass Pauls Ansatz des Problem richtig war. Denn in deinem Ergebnis steht ROH einfach dort, was ist aber sein Wert bzw. Zusammenhang mit den angegebenen Variablen?
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Linus J. schrieb: > Denn in deinem Ergebnis steht ROH einfach dort, was ist aber sein Wert > bzw. Zusammenhang mit den angegebenen Variablen? Ja, vielleicht sollten wir mal klären, was jede der verwendeten Variablen genau bedeutet. Ich habe die Aufgabe folgendermaßen interpretiert: Der Körper, dessen Widerstand bestimmt werden soll, hat die Form eines halben Hohlzylinders. Gegeben sind - der innere Radius a des Hohlzylinders, - der äußerere Radius b des Hohlzylinders, - die Höhe c des Hohlzylinders (wie in deiner Skizze eingezeichnet) und - der spezifische Widerstand ρ (rho) des Leitermaterials (bei dir ROHr genannt). K und L sind die Kontaktflächen, über die der Strom hinein bzw. herausfließt. Sie haben jeweils die Größe (b-a)·c. Es soll der Widerstand zwischen diesen beiden Kontaktflächen bestimmt werden. Bei dir tauchen zusätzlich die Variablen l, A, ROH, Z und z auf, bei denen mir nicht klar ist, was sie genau bedeuten. Deswegen kann ich deine Berechnung auch nicht ganz nachvollziehen.
Linus J. schrieb: > Ich bin irgendwie schon der Ansicht, dass Pauls Ansatz des Problem > richtig war. Wenn die Formel richtig und allgemeingültig ist, dann funktioniert sie auch wenn a gegen Null geht. Mal kurz nachgedacht: eine Formel mit (b-a)/2 kann das nicht... > Denn in meinem Ergebnis kann bzw. sollte ich für ROH=(b-a)/2 wählen. In welchem "Ergebnis"?
Lothar Miller schrieb: > Mal kurz nachgedacht: eine Formel mit > (b-a)/2 kann das nicht... Denk noch mal kurz nach... Siebzehn Für Fuenfzehn schrieb: > Der mittlere Durchmesser ist natuerlich nicht (b-a)/2, sondern (b+a)/2 Vielleicht kommt dabei das Gleiche raus? MfG Paul
Paul Baumann schrieb: > Siebzehn Für Fuenfzehn schrieb: >> Der mittlere Durchmesser ist natuerlich nicht (b-a)/2, sondern (b+a)/2 > > Vielleicht kommt dabei das Gleiche raus? ??? Setz doch mal b=10 und a=4 cm ein. (b-a)/2 = 3 (b+a)/2 = 7
Linus J. schrieb: > Mein Ergebnis lautet: R = ((ROHr*ROH*pi))/((b-a)*c) Und wie ist deine Rechnung. Yalu hat dir den wichtigen Beweis geliefert, dass der Strom immer nur tangential fliesst. Dadurch kannst du den Hohlzylinder in unendlich viele infinitesimal dünne hohlzylinderscheiben zerschneiden. Also musst du über diese unendlich vielen infitesimal dünnen Hohlzylinder integrieren. Deine Annahme Linus J. schrieb: > R = (ROHr * l) / A > > l: hier c l = constant ist nämlich falsch und der Knackpunkt der Aufgabe. L hängt nämlich von dem Radius ab. Er ist erst für die unendlich dünnen Scheiben konstant. Jetzt solltest du genug Tipps haben um weiterzukommen. Mit LaTeX Formatierung kannst du hier übrigens auch Formeln posten.
aaaah, eine herrliche Standardaufgabe :-) - also wenns nicht detaillierter sein muss (wo genau fliesst der Strom mit welcher Dichte), würde ich das Ding gerade biegen und einen Näherungswert für lange Leiter nehmen; wurde ja schon vorgeschlagen. Sollte in jedem gut sortierten Formelbuch stehen. - Wenn du Integrale üben willst, musst du dir leider nochmal ein abi-buch (o.ä.) greifen, um das grundsätzliche Vorgehen zu kennen; z.B. Integral von (1/x) dx = ln |x| Beispiel: Die Fläche unter einer gebogenen Kurve (z.B. Parabel) kann man sich zerschneiden in eine Menge Rechtecke der Breite delta-x (dies griechische Delta, welches man für (sehr) kleine Differenzen benutzt). Wenn man jetzt diese Breite als unendlich klein denkt, erhält man unendlich viele Rechtecke der Breite dx und voila, da hast du das infinitesimale Element. Die exakte Berechnung läuft dann über das (bestimmte, weil Grenzen da sind) Integral. Die Standards dafür stehen ja auch in Formelbüchern. - Meine Frage wäre als erstes welche Koordinaten du benutzen willst, bzw. wie heissen die? Raumkoords: x, y, z Kugelkoords: Radius und 2 Winkel Zylinderkoords: Radius, Länge (=Tiefe in z) und 1 Winkel uG = untere Grenze oG = obere Grenze also Integral der Variablen Radius von uG=a bis oG=b und Integral der Variablen z von uG=0 bis oG=c und Integral der Winkel-Variablen Phi von uG=0 bis oG= 180°= Pi Bei Winkel erinnere ich noch, dass beim Integral eines Vollkreises (also von null bis 2 Pi) immmer 2 Pi als konstanter Vorfakor ergab, d.h. hier muesste dann gleich nur Pi heraus kommen, da Halbkreis. Du bist also auf jeden Fall bei einem 3-fach-Integral ;-) mmh, muesste ich mal nachrechnen, in jedem Fall ist die obigens erwähnte Näherung sympatischer ;) - klugscheiss äh ich dachte immer ein zum Kreis gebogener Zylinder heisst Torus, nun ja , der hier hat auch noch eine rechteckige Grundfläche. Ist die Querschnittsfläche, wenn es denn genau sein muss, nun rechteckig oder kreisförmig? - Abschlussbemerkung: Mathematisch muesste man nur Funktionen für die Kurven, die man integrieren will aufstellen, dann wäre ich mit obigen Grenzen bei 3-fach-Integral (r * z) dr dz dPhi aber dabei hab ich n komisches Bauchgefühl, nochmal nachdenken.... sorry, wenn ich durchgebrannt bin, allen eine schöne weihnachten - Jesusi
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