Diskrete Fouriertransformation

[Enret (Gast)]

Lese gerade das Buch von Jäkel üer DFT. Er beschreibt das Problem 
eigentlich recht simpel. Ausgegangen von der FT für diskrete 
Zeitfunktionen. Diese ist ein Integral über alle n:

$$F_{d}(j\omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} f(nT_A) e^{-j\omega n T_A}$$

Hier werden aber unendlich viele diskrete Zeitwerte aufsummiert. Das 
kann aber in Digitalrechnern nicht verarbeitet werden. Konkret 
beschreibt Häkel das Problem so:

-) Es können nur endlich viele Abtastwerte y_n verarbeitet werden, weil 
der Speicherplatz in einem Rechner endlich ist.

-) Neben der Zeitvariable muss auch die Frequenzvariable diskretisiert 
werden, da der Rechner nur diskrete Zahlenwerte verarbeiten kann.

Um diese Probleme zu lösen macht Häkel folgendes:
Er nimmt statt unendlich viele Abtastwerte nur mehr N viele. Dafür 
schneidet er das diskrete Signal mit der Länge von N*T_A heraus und 
setzt es periodisch fort. Er schreibt

Bei insgesamt N Abtastwerten läuft der Zählindex n für den Zeitparameter 
in der Summe zB von 0 bis N-1. Die Funktion ist außerhalb der N Abtastwerte
im Zeitbereich periodisch fortgesetzt. Damit ist das Spektrum auch im 
Frequenzbereich abgetastet. Das erste der genannten Probleme ist gelöst.

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Und jetzt zu den Problem: Was meint Häkel wenn er schreibt
########Damit ist das Spektrum auch im
Frequenzbereich abgetastet.###########
??
Wenn ich diesen Schritt nämlich mathematisch ausführe, dann erhalte ich:

$$F_d(j\omega) = \sum_{n = 0}^{N-1} f(nT_A) e^{-j\omega n T_A} = f(0) e^0 + f(T_A) e^{-j\omega T_A}+ f(2T_A) e^{-j\omega 2 T_A} + ... +f((N-1) T_A)e^{-j\omega (N-1) T_A}$$

Und ich sehe irgendwie nicht, dass da irgendwas abgetastet ist. Außerdem 
verstehe ich garnicht wieso man das einfach so machen kann? Ich mein, es 
kann doch nicht das selbe herauskommen oder? Denn ich lasse ja alle 
glieder > N-1 und < 0 einfach weg. Wie kann da das richtige Spektrum 
noch rauskommen?

[Kai K. (klaas)]

Na, daß es eben kein kontinuierliches Frequenzspektrum gibt.

[Enret (Gast)]

Kai Klaas schrieb:
> Na, daß es eben kein kontinuierliches Frequenzspektrum gibt.

Das:

$$F_d(j\omega) = \sum_{n = 0}^{N-1} f(nT_A) e^{-j\omega n T_A} = f(0) e^0 + f(T_A) e^{-j\omega T_A}+ f(2T_A) e^{-j\omega 2 T_A} + ... +f((N-1) T_A)e^{-j\omega (N-1) T_A}$$

ist aber kontinuirlich in der Frequenz.