Lese gerade das Buch von Jäkel üer DFT. Er beschreibt das Problem
eigentlich recht simpel. Ausgegangen von der FT für diskrete
Zeitfunktionen. Diese ist ein Integral über alle n:
Hier werden aber unendlich viele diskrete Zeitwerte aufsummiert. Das
kann aber in Digitalrechnern nicht verarbeitet werden. Konkret
beschreibt Häkel das Problem so:
1 | -) Es können nur endlich viele Abtastwerte y_n verarbeitet werden, weil
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2 | der Speicherplatz in einem Rechner endlich ist.
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3 |
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4 | -) Neben der Zeitvariable muss auch die Frequenzvariable diskretisiert
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5 | werden, da der Rechner nur diskrete Zahlenwerte verarbeiten kann.
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Um diese Probleme zu lösen macht Häkel folgendes:
Er nimmt statt unendlich viele Abtastwerte nur mehr N viele. Dafür
schneidet er das diskrete Signal mit der Länge von N*T_A heraus und
setzt es periodisch fort. Er schreibt
1 | Bei insgesamt N Abtastwerten läuft der Zählindex n für den Zeitparameter
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2 | in der Summe zB von 0 bis N-1. Die Funktion ist außerhalb der N Abtastwerte
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3 | im Zeitbereich periodisch fortgesetzt. Damit ist das Spektrum auch im
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4 | Frequenzbereich abgetastet. Das erste der genannten Probleme ist gelöst.
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Und jetzt zu den Problem: Was meint Häkel wenn er schreibt
########Damit ist das Spektrum auch im
Frequenzbereich abgetastet.###########
??
Wenn ich diesen Schritt nämlich mathematisch ausführe, dann erhalte ich:
Und ich sehe irgendwie nicht, dass da irgendwas abgetastet ist. Außerdem
verstehe ich garnicht wieso man das einfach so machen kann? Ich mein, es
kann doch nicht das selbe herauskommen oder? Denn ich lasse ja alle
glieder > N-1 und < 0 einfach weg. Wie kann da das richtige Spektrum
noch rauskommen?
