Ich habe in meinen Büchern immer dieses Zeichen > für UND oder ODER.
Zeigt die Spitze nach oben (also Hut-Form), dann ist es ein UND. Zeigt
die Spitze nach unten (also Trichter-Form), dann ist es ein logisch
ODER.
Jetzt hab ich eine Aufgabe, die so aussieht:
abc+a+b+(not)c
Dort sind abc mit mal verknüpft und abc+a mit "+". Ich weis einfach
nicht, welches Zeichen für UND steht und welches für ODER :-( Bei
Wikipedia und so vindet man nicht die Symbole +/* :-(
Logikfragender schrieb:> Dort sind abc mit mal verknüpft und abc+a mit "+". Ich weis einfach> nicht, welches Zeichen für UND steht und welches für ODER :-( Bei> Wikipedia und so vindet man nicht die Symbole +/* :-
Man kann es aber sehr einfach herleiten:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Na, was bedeutet nun wohl "*"?
Das selbe für "+":
0+0=0 ("null")
0+1=1 ("nicht null")
1+1=1 ("nicht null")
1+1=2 ("nicht null")
Logikfragender schrieb:> Dort sind abc mit mal verknüpft und abc+a mit "+". Ich weis einfach> nicht, welches Zeichen für UND steht und welches für ODER :-( Bei> Wikipedia und so vindet man nicht die Symbole +/* :-(
Das steht vorne in jedem Buch drinn was welche Smbole bedeuten.
Das wird per Konvention festgelegt ist aber letzendlich völlig
willkürlich.
Du kannst auch blaue und rote Elefantensymbole hinmalen, hauptsache es
sind zwei unterschiedliche Zeichen.
Hans Zapf schrieb:> ist aber letzendlich völlig> willkürlich.
Das wiederum würde ja bedeuten, daß es auch richtig wäre, das '+' und
den Stern zu tauschen.
Die Symbole sind schon festgelegt, genauso wie '^' und 'v'.
npn schrieb:> Hans Zapf schrieb:>> ist aber letzendlich völlig>> willkürlich.>> Das wiederum würde ja bedeuten, daß es auch richtig wäre, das '+' und> den Stern zu tauschen.> Die Symbole sind schon festgelegt, genauso wie '^' und 'v'.
Ja vorne im Buch, per Konvention nimmt oft die Belegung wie du sie
aufgezählt hast.
Ich hatte früher Bücher da war +,* vertauscht, in der Berufsschule hatte
der Lehrer auch diese Belegung verwendet obwohl es in vielen Büchern und
auch der Prüfung anders rumverwendet wird. Der Lehrer bekam deshalb u.a.
auch einen Anschiss vom Direx.
In einem reinen Algebrabuch waren wo die Boolsche Algebra neben anderen
Algebren behandelt wurde, hatte man verschiedene Dreiecke verwendet um
zu symbolisieren dass es eben völlig wurscht ist was dort steht, es muss
zu Beginn einfach definiert werden.
meckerziege schrieb:> ich kenns nur so: + ist das "oder">> a + b bedeutet "a oder b">> (a UND b UND) c ODER a ODER b ODER (not)c in deinem beispiel
Müsste es nicht eher so heißen:
(a UND b UND c) ODER a ODER b ODER (not) c
npn schrieb:> Hans Zapf schrieb:>> ist aber letzendlich völlig>> willkürlich.>> Das wiederum würde ja bedeuten, daß es auch richtig wäre, das '+' und> den Stern zu tauschen.> Die Symbole sind schon festgelegt, genauso wie '^' und 'v'.
Suche darin besser keine Logik,
Der link wurde ja schon gesetzt, ist aber etwas versteckt,
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Schreibweise
" .... Mathematiker schreiben gelegentlich · für UND und + für ODER
(wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition
anderer algebraischer Strukturen) und stellen NICHT mit einem
Überstrich, einer Tilde ~, oder einem nachgestellten Prime-Zeichen dar.
Diese Notation ist auch in der Schaltalgebra zur Beschreibung der
booleschen Funktion digitaler Schaltungen üblich; ....."
+/- Ebbes schrieb:> npn schrieb:>> Hans Zapf schrieb:>>> ist aber letzendlich völlig>>> willkürlich.>>>> Das wiederum würde ja bedeuten, daß es auch richtig wäre, das '+' und>> den Stern zu tauschen.>> Die Symbole sind schon festgelegt, genauso wie '^' und 'v'.>> Suche darin besser keine Logik,>> Der link wurde ja schon gesetzt, ist aber etwas versteckt,> http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Schreibweise>> " .... Mathematiker schreiben gelegentlich · für UND und + für ODER> (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition> anderer algebraischer Strukturen) und stellen NICHT mit einem> Überstrich, einer Tilde ~, oder einem nachgestellten Prime-Zeichen dar.> Diese Notation ist auch in der Schaltalgebra zur Beschreibung der> booleschen Funktion digitaler Schaltungen üblich; ....."
Das habe ich schon gesehen und bin auch der gleichen Meinung. Es ist
eben nicht egal und auch nicht willkürlich festgelegt. Ich weiß zwar
nicht, ob das in irgendeiner "offiziellen" Norm oder sowas steht, aber
der Sinn ergibt sich ja schon aus der mathematischen Herleitung, wie es
P. M. (o-o)
(12.01.2015 00:15) gezeigt hat. Völlig richtig und auch nicht "einfach
so mal" festgelegt.
+/- Ebbes schrieb:> Der link wurde ja schon gesetzt, ist aber etwas versteckt,> http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Schreibweise>> " .... Mathematiker schreiben gelegentlich · für UND und + für ODER> (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition> anderer algebraischer Strukturen)
In dem Kontext wird man + für XOR verwenden. Die einzige Struktur, auf
der man sinnvoll Bool'sche Algebra definieren kann, ist Z mod 2Z (oder
etwas das isomorph dazu ist oder direkte Produkte davon).
In Z/2Z gilt eben
1 + 1 = 0 + 0 = 0
1 + 0 = 0 + 1 = 1
und des entspricht einem XOR; ditto für mehr als 2 Operanden.
· entspricht UND
ODER kann man darstellen als
a OR b = 1-(1-a)(1-b) = a + b + ab
d.h. als NOT ((NOT a) AND (NOT b)) bzw. a XOR b XOR (a AND B). Diese
Identität ist in Z/2Z direkt ersichtlich, währen man es in der üblichen
Darstellung mit NOT, AND, XOR erst "mühsam" nachrechnen muss.
Merke: (Auch wenns haarsträubend ist, wie ein Kalauer)
In der Booleschen Algebra spricht man ODER in zwei Silben und schreibt
es mit zwei Strichen; "O" als waagerecht ; "der" als senkrecht ergibt
"+"
Der Punkt klingt ähnlich wie "und" bzw. Wer Oder als Kreuz schreibt,
kann auch gleich UND als Punkt schreiben, klingt ja ähnlich.
Es ist eigentlich recht einfach herleitbar.
1 + 0 = 1
1 ODER 0 = 1
1 * 0 = 0
1 UND 0 = 0
1 + 1 = 2
1 ODER 1 = 1
(hier muss man 2 als gleichwertig mit 1 ansehen, eben nicht 0)
1 * 1 = 1
1 UND 1 = 1
Damit ist recht offensichtlich, daß * (bzw. der Punkt) dem UND
entspricht, und daß + dem ODER entspricht.
Rufus Τ. Firefly schrieb:> Damit ist recht offensichtlich, daß * (bzw. der Punkt) dem UND> entspricht, und daß + dem ODER entspricht.
Nicht nur das, auch das Distributiv-Gesetz lässt sich damit 1:1 auf die
Boolsche Algebra übertragen (neben so etwas eher verständlichem wie dem
Kommutativ- und Assoziativ-Gesetz).
Frank M. schrieb:> Nicht nur das, auch das Distributiv-Gesetz lässt sich damit 1:1 auf die> Boolsche Algebra übertragen (neben so etwas eher verständlichem wie dem> Kommutativ- und Assoziativ-Gesetz).>
1
> a * (b + c) = a * b + a * c
2
> a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Dadurch sind + und * aber keineswegs festgelegt! Fordert man von den
Operationen, dass sie
1) Assoziativ sind und
2) Kommutativ sind und
3) Nicht identisch sind (also + != *) und
4) Nicht trivial sind (nicht immer 0 oder immer 1)
Dann gibt es für +, * 4 Möglichkeiten, das Distributivgesetz zu
erfüllen:
1
+ = XOR * = AND # + und * wie in Z2
2
+ = OR * = AND
3
+ = AND * = OR
4
+ = <=> * = OR # "<=>" = Äquivalenz bzw. XNOR bzw. a + b + 1 in Z2
> a * (b + c) = a * b + a * c
Dafür muss * stärker binden als +. Falls das nicht der Fall ist, z.B.
wie allgemein üblich mit + = AND und * = OR, dann ist das NICHT das
Distributivgesetz, auch wenn * und + das Distributivgesetz erfüllen!
Beispiel: * = OR und + = AND erfüllt das Distributivgesetz, aber mit a
= b = 0 und c = 1 ist
Johann L. schrieb:>> a * (b + c) = a * b + a * c>> Dafür muss * stärker binden als +. Falls das nicht der Fall ist, z.B.> wie allgemein üblich mit + = AND und * = OR, dann ist das NICHT das> Distributivgesetz, auch wenn * und + das Distributivgesetz erfüllen!
Wir hatten doch oben schon festgestellt, dass "allgemein üblich" die
Notation
1
+ = OR
2
* = AND
gilt. Ich bezog mich doch genau _darauf_:
Rufus Τ. Firefly schrieb:> Damit ist recht offensichtlich, daß * (bzw. der Punkt) dem UND> entspricht, und daß + dem ODER entspricht.
Und damit (und nur damit) gilt das Distributivgesetz:
1
a * (b + c) = a * b + a * c
2
a AND (b OR c) = a AND b OR a AND c
wobei AND stärker bindet als OR.
Wie kommst Du jetzt darauf, dass gerade das umgekehrte
Frank M. schrieb:> Johann L. schrieb:>>> a * (b + c) = a * b + a * c>>>> Dafür muss * stärker binden als +. Falls das nicht der Fall ist, z.B.>> wie allgemein üblich mit + = AND und * = OR, dann ist das NICHT das>> Distributivgesetz, auch wenn * und + das Distributivgesetz erfüllen!>> Wir hatten doch oben schon festgestellt, dass "allgemein üblich" die
Das "allgemein üblich" bezog sich auf die Bindungsregel. D.h. wenn man
die übliche Bindungsregel nimmt und + = AND und * = OR setzt, dann darf
man im Distributivgesetz die Klammern nicht weglassen. Das
Distributivgesetz sieht dann so aus:
1
a + b * c = (a + b) * (a + c)
und das stimmt. Bitte nachrechnen.
> Rufus Τ. Firefly schrieb:>> Damit ist recht offensichtlich, daß * (bzw. der Punkt) dem UND>> entspricht, und daß + dem ODER entspricht.
Wie gesagt, es ist verbreitete Konvention. Aber es ist nicht
offensichtlich ...
+/- Ebbes schrieb:> Suche darin besser keine Logik,> Wie kommst Du jetzt darauf, dass gerade das umgekehrte>
1
> + = AND
2
> * = OR
> "allgemein üblich" sei?
Eben das habe ich nicht geschrieben; lies meinen Beitrag nochmals
aufmerksam durch.
1) Üblich ist, dass * stärker bindet als +
2) Das Distributivgesetz gilt auch mit + = AND und * = OR
3) Nicht unüblich ist die Notation * = AND und + = OR
4) Nicht unüblich ist, dass AND stärker bindet als OR.
Es gilt das Distributivgesetz mit 3) und wahlweise 1) oder 4) und
schreibt sich damit als
1
a * (b + c) = a * b + a * c
Obwohl das Distributivgesetz auch mit 2) gilt und dem üblichen 1) wird
mit dem üblichen 3)
1
a * (b + c) = a * b + a * c
eben falsch. Darauf wollte ich nur hingewiesen haben. Dennoch gilt
offenbar das Distributivgesetz mit 2)
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