Endlich habe ich herausgefunden, wie man Messwerte mit einem Polynom beliebigen Grades annähert. Das wollte ich euch nicht vorenthalten. Da bietet sich nätürlich Excel an (V2007). Wie das geht, habe ich mir aus dem Internet zusammengesucht. Im Anhang ist ein Beispiel. Ich habe mir also ein Polynom 4.Grades erstellt: die Koeffizienten stehen in Zeile 5 und das Ergebnis in Spalte Y. Die Funktion RGP() liefert die Regression - aber leider ohne Tricks nur den linearen Koeffizienten A1. Trick 1: Unter der Tabelle habe ich dargestellt wir man die weiteren Koeffizieten erhält (so beschreibt es Microsoft). 1.: Man markiert die Formeln zusammen mit den rechts daneben liegenden Zellen und 2.: drückt man F2. Dann 3.: drückt man Strg+Shift+Return Und siehe da ... es erscheit der konstante Koeffizient A0. Mehr als lineare Regression macht RGP nicht ohne Trick 2: Für A2, A3, .... macht man hinter der x-Spalte weitere Spalten mit X^2, X^3,... Jetzt gibt man für die X-Werte in RGP den gesamten Bereich mit den X^2...-Werten an, also z.B. A12:D32. Und schon liefert RGP Polynome beliebigen Grades, man muss nur genügend Zellen in Trick 2 markieren. Im Diagramm sieht man die Ergebnisse. Die Regressionen 4.Grades habe ich nicht dargestellt - man sieht an den Koeffizienten, dass sie genau passt. Vielleicht kennt ihr noch bessere Möglichkeiten.
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Es geht noch viel mehr: ein Polynom passt ja nicht für jeden Verlauf. Deshalb noch ein Beispiel für Y=f(1/x). Man schreibt einfach für den x-Bereich z.B. 1/A12:D32 und schon liefert RGP die Koeffizienten für das Kehrwert-Polynom. Man kann auch noch logarithmische Regression machen, wenn man für den x-Bereich ln(A12:A32) schreibt. Übrigens finde ich die Microsoft-Methode für die Ausgabe der Array-Werte recht umständlich. Mir ist die Index-Funktion sympatischer. Unter welchem Index die Koeffizienten zu finden sind, habe ich unter der Tabelle dargestellt. So kommt man auch besser an die ganzen Kennwerte. Z.B. liefert der "Bestimmtheitswert" R2 (0...1), wie gut die Regression geklappt hat. Hier noch die passende Microsoft-Seite: http://office.microsoft.com/de-de/excel-help/rgp-HP005209155.aspx
Hermann schrieb: > Vielleicht kennt ihr noch bessere Möglichkeiten. Ja, gnuplot kann beliebige Funktionen in beliebig vielen Parametern numerisch fitten. Das funktioniert mehr oder weniger gut, je nach dem, wie der Kern gewählt wurde. Manchmal muss man mit Startwerten nachhelfen, wenn der Algorithmus ansonsten in in falsches (lokales) Optimum läuft. Deine Polynome eignen sich außerdem und im allgemeinen eher schlecht, um unbekannte Messwertverläufe anzunähern. Wenn man von vornherein weiß, dass es etwas Polynom-ähnliches wird, dann geht es. Oder beim allgemeinen numerischen Fitten, wenn man den Kurventyp kennt und nur die Parameter optimieren möchte (z.B. irgendeine Halbleiterkennlinie). Ansonsten neigen höhergradige Polynome gern zum Oszillieren. Zum Glätten gibts geeignetere Methoden mit Splines und so.
Nase schrieb: > gnuplot kann beliebige Funktionen in beliebig vielen Parametern > numerisch fitten Naja, je nachdem wofür man es braucht. gnuplot ist doch die command-line-Geschichte. Ich kenne es nicht, aber die Einarbeitung ist wohl schon mal nicht von Pappe. Ich hab mir mal die absoluten Basics in youtube angesehen. Zum Glätten von Messwerten ist Spline sicherlich gut. Meine Intension ist aber eher das Berechnen von Zwischenwerten, oft auch im Mikroproz. Da brauche ich eine Näherungsfunktion. Dafür scheint mir gnuplot und spline eher ungeeignet. Wenn die Funktion nicht passt, nehme ich lieber eine Wertetabelle und interpoliere. Vielleicht sehe ich das auch falsch.
>Vielleicht sehe ich das auch falsch.
Polynom-Regressionen sind tükisch. Es wimmelt hier nur so von
Fallstricken. Fast immer ist die stückweise lineare Interpolation oder
sogar eine simple "Look-Up"-Tabelle völlig ausreichend. Man kommt
schneller zum Ziel und hat nicht mit einem Sack voller Flöhe zu kämpfen.
Hermann schrieb: > Endlich habe ich herausgefunden, wie man Messwerte mit einem Polynom > beliebigen Grades annähert. Sehr gut, das ist ein schöner Anfang! Wenn Du mehr lernen möchtest und deutlich mächtigere Dinge machen möchtest, solltest Du Deine Energie nicht weiter mit dem Excel-Mist verschwenden und statt dessen Dich auf SciPy konzentrieren: http://www.scipy.org bzw., konkreter: http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.polynomials.polynomial.html und mit deutlich mehr Möglichkeiten: http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.html
Mathelehrling schrieb: > Wenn Du mehr lernen möchtest und deutlich mächtigere Dinge machen > möchtest, solltest Du Deine Energie nicht weiter mit dem Excel-Mist > verschwenden und statt dessen Dich auf SciPy konzentrieren: +1, Excel ist zur Datenauswertung ziemlich ungeeignet und SciPy ist eine feine Sache.
Um ein Polynom n-ter Ordnung durch n Punkte zu faedeln, braucht man nur ein lineares Gleichungssystem n-ter Ordnung loesen. Das ist nun wirklich keine Raketenwissenschaft... (Und ein Excel braucht man dazu auch nicht unbedingt.) Im allgemeinen wird das damit erzeugte Polynom aber nicht den Anspruechen gerecht, die man gemeinhin an eine "nutzbare" Approximation stellt. Deswegen werden dort eher Splines und Bezierkurven verwendet.
Splines und Bezierkurven sind für wissenschafftliche Zwecke Unfug. Du musst ein Modell des zugrundeliegenden Prozesses haben und das fitten. Einen Spline durchfitten ist total bedeutungslos, was willst du damit erreichen, außer dass die Kurve hübsch aussieht?
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Kai Klaas schrieb: > Polynom-Regressionen sind tükisch. Es wimmelt hier nur so von > Fallstricken Ihr scheint ja alle was gegen Polynome zu haben. Ich weiß auch, das die nicht immer passen. Das war ja nur ein Beispiel. Wenn man sich mit RGP() beschäftigt, merkt man irgend wann, dass man der Funktion alles unterjubeln kann - also belibig unterschiedliche Funktionsteile gespickt mit Bedingungen und sonstwas. Ich bin nun mal ein Excel-Fan und muss euch noch beweisen, dass das Schimpfen über Polynome das Einrennen von offenen Türen ist. Also habe ich im Anhang mit Exp()-Funktionen einen krummen Verlauf hingebastelt, der am Schluss über eine Wenn()-Funktion abschmiert. Hierfür soll RGB jetzt eine Regression zaubern. Dazu muss ich RGP etwas passendes anbieten: ein bisschen sieht die Kurve wie zwei Parabeln aus, eine nach oben und eine nach unten geöffnet und auf der x-Achse verschoben. Also biete ich RGP zwei Parabeln mit einem x-Offset an, wobei die zweite über eine Bedingung erst ab dem Offset einsetzt. Ein bisschen am Offset gespielt, und die Regession sieht schon mal ganz gut aus. Mathelehrling schrieb: > mit dem Excel-Mist > verschwenden und statt dessen Dich auf SciPy konzentrieren Meckern kann jeder, aber es wäre mir lieber, wenn du dich als Mathelehrer gemeldet und mal ein Beispiel vorgeführt hättest. Aber nichts für ungut, ich gucke mir das SciPy mal an. Das Gnuplot und Splines waren für meine Zwecke schon mal nichts. Aber über Excel lasse ich nichts kommen - damit habe ich bisher fast alles hingekriegt.
Hermann schrieb: > Meckern kann jeder, aber es wäre mir lieber, wenn du dich als > Mathelehrer gemeldet und mal ein Beispiel vorgeführt hättest. Gerne. Folgendes Progrämmchen findet die Parameter exakt:
1 | from numpy import * |
2 | from scipy import * |
3 | from scipy.optimize import curve_fit |
4 | |
5 | @vectorize |
6 | def f(x, a0, a1, a2, a3): |
7 | if x > 4: |
8 | return a0 + a1*e**(x-2) + a2*e**(-x) + a3*(x-4)**2 |
9 | else: |
10 | return a0 + a1*e**(x-2) + a2*e**(-x) |
11 | |
12 | |
13 | x = arange(0, 5, 0.2) |
14 | y = f(x, 5, 0.5, 5, -20) |
15 | |
16 | popt, pcov = curve_fit(f, x, y, ones(4)) |
17 | |
18 | print(popt) |
Mir ging es aber gar nicht darum, irgendwie zu meckern. Ja, mir ist auch bekannt, dass ganze Unternehmen auf Excel basieren. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es deutlich mächtigere Software für solche Aufgaben gibt, die auch noch OpenSource und völlig kostenlos ist. Klar, am Anfang ist es etwas schwieriger als Excel. Aber sobald man sich damit regelmäßig beschäftigt will man nie wieder zu Excel zurück.
./. schrieb: > Um ein Polynom n-ter Ordnung durch n Punkte zu faedeln, > braucht man nur ein lineares Gleichungssystem n-ter Ordnung > loesen. [...] > > Im allgemeinen wird das damit erzeugte Polynom aber nicht > den Anspruechen gerecht, die man gemeinhin an eine "nutzbare" > Approximation stellt. Es ist nicht verwunderlich, dass ein Interpolationspolynom nicht die an eine Approximation gestellten Ansprüchen genügt, in der Tat. Ein Fahrrad erfüllt auch nicht unbedingt die an eine Schubkarre gestellten Ansprüche.
Mathelehrling schrieb: > Folgendes Progrämmchen findet die Parameter exakt: Vielen Dank, da kann man sich wenigstens etwas vorstellen. Habe ich schon festgestellt: Scipy ist eine Programmiersprache mit einer großen Bibliothek. Die Einarbeitung, bis ich die Lösung schnell mal hinschreiben kann, tue ich mir erstmal nicht an. Dann kann ich ja auch VBA in Excel nehmen, da kenn ich mich schon aus. Man kann das ja halbwegs lesen was da passiert. Ist das so richtig?: - Def definiert die Funktion - X=arange und Y=f(x...) füllt die Testdaten - curve_fit optimiert die Parameter Es müsste dann das herauskommen, was in y=f(x...) angegeben ist Das macht einen sehr guten Eindruck!! Aber leider kostet das die Einarbeitung. Wenn ich ständig unterschiedliche Probleme lösen muss, würde sich das lohnen. Andenfalls fange ich wieder von vorne an. Und dann müsste ich noch Gnuplot, Splines, Simulink, .... Ich bleibe erstmal bei meinem geliebten Allerwelts-Tool Excel. Nochmal Danke Mathelehrer
Hermann schrieb: > Ich bin nun mal ein Excel-Fan und muss euch noch > beweisen, [...] Nee. Missionieren führt nur zu Glaubenskriegen. Davon hat keiner 'was.
Hermann schrieb: > Scipy ist eine Programmiersprache mit einer großen > Bibliothek. Genau genommen ist die Programmiersprache Python. Python hat nun schon fast 25 Jahre auf dem Buckel: https://www.python.org/ SciPy ist in der Tat im Prinzip eine große Bibliothek. Die ersten Anfänge von SciPy liegen knapp 15 Jahre zurück. Die Module setzen teilweise auf richtig gute abgehangene Software die z.B. in Fortran geschrieben ist und sich schon seit Jahrzehnten bewährt. > Die Einarbeitung, bis ich die Lösung schnell mal > hinschreiben kann, tue ich mir erstmal nicht an. Dann kann ich ja auch > VBA in Excel nehmen, da kenn ich mich schon aus. Excel ist nicht schlecht. Für Formulare die auch noch ein bisschen rechnen und hübsch aussehen sollen, super. Sobald man aber VBA anwirft, sollte man darüber nachdenken, ob Excel noch das richtige Vehikel ist. > Man kann das ja halbwegs lesen was da passiert. Ist das so richtig?: > - Def definiert die Funktion Exakt. > - X=arange und Y=f(x...) füllt die Testdaten Genau. arange(0, 5, 0.2) erzeugt ein Array mit den Werten 0, 0.2, 0.4 etc. Und dann wird die Funktion 'f' mit dem Array aus den X-Werten aufgerufen (und den Parametern). Das '@vectorize' bei der Funktionsdefinition sorgt dafür, dass 'f' als ersten Parameter ein Array verwenden kann und für jeden Wert im Array durchlaufen wird. > - curve_fit optimiert die Parameter Richtig. curve_fit bekommt die Funktion für die die Parameter gesucht werden sollen, ein Array mit den X-Werten, ein Array mit den dazu passenden Y-Werten. Zusätzlich benötigt curve_fit noch ein Array mit der ersten "Schätzung" für die zu suchenden Parameter. Hier habe ich einfach 'ones(4)' genommen, das wiederum ein Array bestehend aus vier Einsen erzeugt. > Es müsste dann das herauskommen, was in y=f(x...) angegeben ist curve_fit() sucht die Parameter a0 bis a3 und gibt ein Array mit den Parametern zurück (und noch einigen anderen Werten die uns hier nicht interessieren). > Aber leider kostet das die Einarbeitung. Wenn ich ständig > unterschiedliche Probleme lösen muss, würde sich das lohnen. Andenfalls > fange ich wieder von vorne an. Naja. Python + SciPy ist sehr mächtig. Man lernt es nur einmal, und kann damit einen haufen Kram berechnen, analysieren etc. > Und dann müsste ich noch Gnuplot, Splines, Simulink, .... Gnuplot brauchst Du nicht. Plotting ist in SciPy integriert und malt viel schönere Diagramme. Splines kannst Du, wenn Du willst, natürlich auch mit SciPy rechnen. Das ist ja das schöne an Python + SciPy: Ein Schweizer Taschenmesser auf Steroide. Heute einfache Polynome oder ein curve_fit. Morgen willst Du vielleicht Tschebyscheff-Polynome berechnen. Übermorgen Daten statistisch untersuchen und nächste Woche Filtern designen.
Mathelehrling schrieb: > Sobald man aber VBA anwirft, sollte man darüber nachdenken, > ob Excel noch das richtige Vehikel ist. Also doch Missionierung. Ein Einäugiger missioniert den anderen, doch mal das andere Auge zu benutzen. Naja.
Possetitjel schrieb: > Mathelehrling schrieb: > >> Sobald man aber VBA anwirft, sollte man darüber nachdenken, >> ob Excel noch das richtige Vehikel ist. > > Also doch Missionierung. > > Ein Einäugiger missioniert den anderen, doch mal das andere > Auge zu benutzen. > > Naja. Nee das sehe ich ganz und gar nicht so. Der Lehrling hat da Recht, warum? Ganz einfach: Eine Tabellenkalkulation (es gibt durchaus andere, auch freie Produkte, die das gleiche können wie der genannte MARKENNAME) hat da seine Vorteile, wenn es mal eben schnell gehen soll/muss. Spätestens wenn man mit VBA anfängt oder anfangen muss, ist es mit schnell und einfach ganz schnell vorbei. Und VBA ist für mathematische Aufgabenstellungen sicher nicht optimal geeignet. Von daher sehe ich die Aussage des Lehrlings nicht als Missionierer sondern als jemanden, der was von der Sache versteht.
Mathelehrling schrieb: > from numpy import * > from scipy import * > from scipy.optimize import curve_fit > > @vectorize > def f(x, a0, a1, a2, a3): > if x > 4: > return a0 + a1*e**(x-2) + a2*e**(-x) + a3*(x-4)**2 > else: > return a0 + a1*e**(x-2) + a2*e**(-x) > > x = arange(0, 5, 0.2) > y = f(x, 5, 0.5, 5, -20) > > popt, pcov = curve_fit(f, x, y, ones(4)) > > print(popt) Nur mal so zum Verständnis: die Funktion f ist eine frei erfundene Funktion, die keinen Zusammenhang hat zu dem Original-Post Polygon? Denn ich bin hier etwas ratlos.
Das zitierte ist auch nicht gerade numpy-Code, den ich als Referenz empfehlen würde (das @vectorize ist völlig unsinnig, stattdessen np.exp benutzen, und from numpy import * ist auch Murks). Schau dich lieber woanders um, wenn du ein Beispiel suchst.
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