Impedanzanpassung mit LC Gliedern

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Ich haett' gerne mal ein Problem - Unn zwar:
Es gibt Schaltungen, mit denen man eine Impedanzanpassung fuer eine 
bestimmte Frequenz vornehmen kann; z.b. hier:

http://home.sandiego.edu/~ekim/e194rfs01/jwmatcher/matcher2.html

Laesst sich auch schoen selbst nachrechnen, indem man halt ein paar 
(ggf. auch komplexe) Gleichungen loest; hier z.B. eine Moeglichkeit:

http://en.wikipedia.org/wiki/Impedance_matching#L-section

Ich bezieh' mich jetzt mal auf die gegebenen Schaltungen mit nur 2
Reaktanzen und da auch nur die Tiefpassartigen: Damit kann ich z.b. 
einen rein reellen Abschlusswiderstand in einen anderen rein reellen 
Widerstand transformieren, bei genau einer Frequenz. Bei der Frequenz 0 
wird der rein reelle Abschluss auch wieder rein reell; klaro passiver 
Tiefpass bei 0 Hz - was soll da auch sonst passieren.

Ausgehend von so einer Schaltung, glaub' ich so ausm Bauch raus, koennte 
man auch 2 dieser Anpassglieder in Kette schalten, anders 
dimensionieren, und damit zB. eine Transformation eines reellen 
Abschlusses auf 2 verschieden grosse (oder von mir aus auch gleiche) 
reelle Widerstaende fuer 2 verschiedene (vorgegebene Frequenzen) 
erreichen (Sicherlich wirds da irgendwelche Einschraenkgungen bzgl. der 
erreichbaren Uebersetzungsverhaeltnisse geben).

Noch allgemeiner: Mit N in Kette geschalteten LC Tiefpassgliedern 
koennte man eine rein reelle Widerstandstransformation bei N 
verschiedenen (oder N+1, wenn man die 1:1 Transformation 0 Hz mitzaehlt) 
Frequenzen auf N verschiedene reelle Werte erzielen. Die Anpassschaltung 
hat dann also so einen Teschebyscheff-1-artigen Frequenzgang; mit 
verschiedenen "Rippeln" im Durchlass um eben die Transformation zu 
erreichen.

Nur: Das Berechnen der Werte fuer die L und C wird zu Fuss unangenehm 
laenglich. Kennt wer zufaellig einen Trick wie's leichter geht oder 
einen Ansatz mit Octave(oder Matlab) oder Spice oder sowas?

Gruss
WK

[Gunter (Gast)]

> Impedanzanpassung fuer eine bestimmte Frequenz

> Bei der Frequenz 0 wird der rein reelle Abschluss auch
  wieder rein reell

Das widerspricht sich, außer man will wirklich nur bei
Gleichspannung (DC: f = 0) was anpassen.

Machs nicht so kompliziert, erzähl einfach:
Was soll denn nun bei deinen 2 Frequenzen mit/ohne DC
herauskommen?

Gähn.

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Gunter schrieb:
> Machs nicht so kompliziert, erzähl einfach:
> Was soll denn nun bei deinen 2 Frequenzen mit/ohne DC
> herauskommen?
>

OK, dann mit einem Beispiel mit konkreten Zahlen:
Ich hab' also mein Anpassnetzwerk; Verschaltung als Tiefpass mit 3 
Spulen und 3 Kondensatoren. An dessen Ausgang haengt eine reelle Last 
von 300 Ohm.
Die soll durch das Anpassnetzwerk auf folgende Eingangwiderstaende bei 
folgenden Frequenzen transformiert werden:

  0  Hz : 300 Ohm (Logo, was anderes geht auch nicht)
 30 MHz : 120 Ohm
 50 MHz : 100 Ohm
100 MHz : 75 Ohm

Die Werte nur mal als Beispiel und weil ich mir vorstellen koennt', dass 
das dabei auch "vernuenftige" Werte fuer die einzelnen Bauteile 
rauskommen koennten.
Haette ich jetzt nur die Forderungen:
  0  Hz : 300 Ohm
 30 MHz : 120 Ohm
Dann koennt' ich das direkt ausrechnen: Parallel zu 300 Ohm kommt ein C 
mit 21.66pF; dazu in Reihe eine Spule mit 780nH; Fertig.

So und jetzt das selbe mit hoeheren Ordnungen...Wie kann man's mit 
ertraeglichem Aufwand berechnen?
Klarer?

> Gähn.
Yepp.

Gruss
WK

[Nachtaktiver (Gast)]

Also:

Ein Anpassnetzwerk ist dafür da eine bestimmte Impendanz am Eingang auf 
einen anderen Wert am Ausgang zu Transformieren. Diese Anpassung ist 
aber Frequenzselektiv und kann nur in einer Richtung erfolgen. Durch 
eine mehrstufige Transformation erhöht man die Güte der gesamten 
Schaltung und wird Schmalbandiger - Das Verhältnis von Eingangsimpendanz 
zur Ausgangsimpendanz bestimmt die Güte der einzelnen Zwischenstufen.

Wenn man das ganze zum Beispiel zwei Stufig ausführen möchte, berechnet 
man das erste L-Netzwerk so, das man mithilfe des ersten Netzwerkes die 
Impendanz auf einen Zwischenwert Transformiert. Diesen Wert benutzt man 
dann als Ein-(Aus)-gangs Wert der zweiten Stufe und Transformiert diese 
mithilfe der zweiten Stufe auf die Tatsächliche Ausgangsgröße des 
Gesamten Vierpols.


Normalerweise ist eine solche Anpassung Frequenzselektiv und gilt nur 
für eine einzelne Freqeunz. Ich habe das Gefühl das du hiermit auf den 
Holzweg bist. Du kannst ja die L-Netzwerke mal für die einzelnen Fälle 
(=Frequenzen, Transformationsimpendanzen) berechnen und schauen wie die 
Werte der Bauteile streuen.

Der gesamte Vierpol wird halt so berechnet das er für eine Freqeunz sich 
rein reell Verhält und den Eingang entsprechend auf dem Ausgang 
transformiert, für mich klingt es widersprüchlich das dies für x-beliege 
Freqeunzen möglich wäre. Spätestens bei der Zweiten Stufe bekommt du ein 
C in Reihe in deinen Netzwerk, wodurch du bei Z(f=0) ein "undefiniert" 
bekommst.

(Das ganze Widerspricht auch der Funktion eines solchen L-Netzwerkes!)

[Nachtaktiver (Gast)]

Edit: Letzter Absatz war nicht ganz richtig. Die gewünschte 
Characteristik bestimmt die Anordnung des Netzwerkes. Abhängig davon 
wäre auch theoretisch ein Wert bei Z(f=0) möglich - aber ohne 
Transformation.

[Differentialknilch (Gast)]

Also 3 Spulen und 3 Kondensatoren, macht 6 Unbekannte. Dazu kommen 4 
frequenzen, 4 Impedanzen. Dh das System hat noch gewisse Freiheitsgrade. 
Das System ist unterbestimmt. Trotzdem ist eine Loesung nicht zwingend 
moeglich. Man muss es auch bauen koennen. Und man moechte vielleicht die 
Uebertragungsfunktion stetig ableitbar haben.
Daher berechnet man nicht interpolativ, sondern approximativ. Dh, die 
Loesung muss nicht durch die Punkte gehen, in der Naehe geht auch noch.

Ich fuerchte, eien Ahnung in Mathe sollte man haben, einfach ein Tool 
anwerfen ist etwas wenig.

Ich wuerd's selbst schreiben... bis man sich in etwas eingearbeitet 
hat...

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Nachtaktiver schrieb:
> Also:
>
> Ein Anpassnetzwerk ist dafür da eine bestimmte Impendanz am Eingang auf
> ...
> mithilfe der zweiten Stufe auf die Tatsächliche Ausgangsgröße des
> Gesamten Vierpols.

Yepp. Klar soweit.

>
> Normalerweise ist eine solche Anpassung Frequenzselektiv und gilt nur
> für eine einzelne Freqeunz. Ich habe das Gefühl das du hiermit auf den

<fussaufstampf> :-D ich wills aber fuer N Frequenzen, nicht nur fuer 
eine.
Daher bin ich auch bereit mehr als ein L und ein C springen zu lassen, 
naemlich jeweils N Ls und Cs.

> Der gesamte Vierpol wird halt so berechnet das er für eine Freqeunz sich
> rein reell Verhält und den Eingang entsprechend auf dem Ausgang
> transformiert, für mich klingt es widersprüchlich das dies für x-beliege
> Freqeunzen möglich wäre. Spätestens bei der Zweiten Stufe bekommt du ein
> C in Reihe in deinen Netzwerk, wodurch du bei Z(f=0) ein "undefiniert"
> bekommst.
>
> (Das ganze Widerspricht auch der Funktion eines solchen L-Netzwerkes!)

Seh' ich noch anders. Nochmal mein Beispiel im 3. Post:
300 Ohm werden durch ein Serien-C=21.66pF und ein parallel L=780nH bei 
einer Frequenz von 30 MHz also auf 120 Ohm transformiert. Schoene 
Anpassschaltung mit dem L und dem C.

Jetzt setz' ich meinen Anpass-Hut ab und setz meinen Tschebyscheff-Hut 
auf und sag': Diese Anpassschaltung ist ein Tschebyscheff(Typ1, Ripple 
im Durchlass)-Filter 2. Ordnung. Ripple ist 10*log(300 Ohm/120 Ohm)=3.98 
dB; Grenzfrequenz ist irgendwo ein bisschen ueber 30MHz. Einwaende?

So, und jetzt koennt ich sagen: Ich konstruier' mir mal ein 
Tschebyscheff mit hoeherer Ordnung, z.b. 4; aber gleichem Ripple und 
fast gleicher Grenzfrequenz - also mit je 2 Spulen und Kondensatoren. 
Das hat dann 2 "Buckel" im Durchlassbereich, der eine noch wie vorher 
bei 30MHz, aber drunter ist dann noch ein Buckel.
Und bei diesem Buckel setz' ich wieder meinen Anpasshut auf und sag: Da 
hab' ich eine 2. Frequenz, bei der das Anpassnetzwerk meine 300 Ohm auf 
120 Ohm transformiert.
Das Spiel koennt' ich noch mit hoeheren Ordnungen machen: Mehr Buckel-> 
Mehrfaches treffen der 120 Ohm...
So - und jetzt seh' ich das mal nicht so eng wie beim Tschebyscheff, wo 
alle Buckel gleich hoch sind, sondern da koennte mal einer hoeher oder 
niedriger sein, und die Position (Frequenz) wuerd' ich auch gerne selbst 
bestimmen. Dafuer waere mir aber das Verhalten zwischen den Buckeln und 
im "Sperrbereich", also irgendwo oberhalb meiner hoechsten Frequenz 
voellig wumpe.
Und jetzt fehlt mir halt "nur" noch eine aufwandsarme Rechenvorschrift, 
wie ich auf die L,C Werte komme, bei gegebenen Frequenzen/Widerstaenden.
Fuer 2. Ordnung ist es kein Ding. Fuer 4. Ordnung werd' ich 
wahrscheinlich noch auf DIN-A4 Karopapier hinkriegen, aber bei 3. bis 
Nter Ordnung seh' ich leichte Probleme...

Differentialknilch schrieb:
> Daher berechnet man nicht interpolativ, sondern approximativ. Dh, die
> Loesung muss nicht durch die Punkte gehen, in der Naehe geht auch noch.

Ich glaub', das geht analytisch und auch exakt durch die Punkte. 
Zumindest wenn man keine zu grossen Faxen bei den Forderungen macht; 
also mein obiges Beispiel sollte da funktionieren. Die 
Uebertragungsfunktion ist immer ein Bruch mit Zaehler- und 
Nennerpolynom. Dank Passivitaet von L und C kanns auch nicht anfangen zu 
schwingen, d.h. Pole und Nullstellen sind da, wo sie hingehoeren.

> Ich fuerchte, eien Ahnung in Mathe sollte man haben, einfach ein Tool
> anwerfen ist etwas wenig.

Naja, das werden erst recht laengliche komplexe Brueche, die man in Re 
und Im aufsplitten darf und am Schluss wirds ein Gleichungssystem Nter 
Ordnung geben, was sich im Normalfall loesen lassen wird.
Aber das ist die Holzhammer-Methode und auf Karopapier fuer hoehere 
Ordnungen nicht praktikabel. Schoen waer's "wenn's da auch was von 
Ratiopharm gaeb" -

> Ich wuerd's selbst schreiben... bis man sich in etwas eingearbeitet
> hat...
Ich halt' dich nicht davon ab... :-D

Gruss
WK

[Christoph db1uq K. (christoph_kessler)]

Früher (TM) hat man für diese Berechnungen ein Smith-Diagramm benutzt.

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Christoph Kessler (db1uq) schrieb:
> Früher (TM) hat man für diese Berechnungen ein Smith-Diagramm
> benutzt.

Das taet' ich glatt auch heute noch hernehmen, aber ich weiss da nicht, 
wie ich das dann fuer mehrere Frequenzen gleichzeitig malen kann...

Gruss
WK

[foo (Gast)]

Christoph Kessler (db1uq) schrieb:
> Früher (TM) hat man für diese Berechnungen ein Smith-Diagramm benutzt.

Zirkel nicht vergessen.

derguteweka schrieb:
> aber ich weiss da nicht,
> wie ich das dann fuer mehrere Frequenzen gleichzeitig malen kann

Due Betriebsgüte hinreichend niedrig wählen, z.B. QL=6, und dann sehen, 
wo man landet.

[derguteweka (Gast)]

Moin,

foo schrieb:
> Due Betriebsgüte hinreichend niedrig wählen, z.B. QL=6, und dann sehen,
> wo man landet.

Ich vermute mal, da will ich nicht landen. Die Anpassung soll/muss nicht 
breitbandig sein, sondern nur bei bestimmten, vorgegebenen Frequenzen. 
Das kann dann auch jeweils sehr schmalbandig sein.

Gruss
WK

[derguteweka (Gast)]

Moin,

Hier mal eine Idee, wo ich ungefaehr hin will - vielleicht sagt ein Bild 
mehr als 1000 Worte...

Ich hab' mir hier http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/lcfilter/ mal 
einen Tschebyschefftiefpass 8. Kajuete mit 100MHz Grenzfrequenz, 3dB 
Ripple und 75 Ohm rechnen lassen. Das Ergebnis in ein File gepackt und 
ngspice drauf losgelassen.

matching network

v1  1 0 ac  1
r1  1 2 75
l1  2 3 421n
c1  3 0 16.4p
l2  3 4 555n
c2  4 0 17.2p
l3  4 5 561n
c3  5 0 17.0p
l4  5 6 537n
c4  6 0 12.9p

r2  6 0 436

.ac dec 500 1Meg  300Meg

Dann mal die Eingangsimpedanz ueber die Frequenz; getrennt nach 
Imaginaer- und Realteil malen lassen.
Da kann man jetzt schoen erkennen, dass zB. bei ganz niedrigen 
Frequenzen die Impedanz logischerweise gegen den Wert von r2 strebt.
Weiterhin kann man sehen, dass der Imaginaerteil fuer 7 Frequenzen 0 
wird.
(ca. 20MHz: ca. 75 Ohm;
 ca. 42MHz: ca. 400 Ohm;
 ca. 55Mhz: ca. 75 Ohm;
 ca. 77Mhz: ca. 300 Ohm; usw...)

Sprich: So eine Transformation, wie ich mir's vorstell, ist prinzipiell 
moeglich. Bloss wuerd' ichs eben ganz gerne rueckwaerts rechenen 
koennen: Ausgehend von Frequenzen und Widerstaenden dann die Werte fuer 
Ln und Cn.

Gruss
WK