Möbiustransformation - Konforme Abbildung

[Kelek2 (Gast)]

Moin, da mir in anderen Foren kaum geholfen werden kann, denke ich das 
meine frage definitiv hierhin gehört. Ich bedanke mich im voraus.

Mir ist zwar klar wie die Möbiustransformation funktioniert, jedoch habe 
ich ein paar Verständnisprobleme. Vor allem quäle ich mich damit zu 
verstehen, was denn nun eine Konforme Abbildung sein soll und wozu denn 
die Möbiustransformation gut ein soll. Bitte betrachtet das ganze nicht 
sooo mathematisch.

Meine Idee:

Konforme Abbildung:

Eine Konforme Abbildung ist eine holomorphe Funktion. Veranschaulicht 
handelt es sich um ein orthogonales Kurvennetz (z.b. Radialfeld oder 
homogenes Feld). Betrachtet man das etwas aus naturwissenschaftlicher 
sicht kommt man zum Ergebnis das die (Äquipotential)-linien immer 
Senkrecht zu den Feldlinien stehen (90° das ist äquivalent zum Begriff 
der Winkeltreue). Mit konformen Abbildungen kann man nun z.B. Felder 
beschreiben.

Möbiustransformation:

Sie ist gegeben als Funktion f(z):=(az+b)/(cd+d) und ist eine Konforme 
Abbildung, wobei z € Komplexe Zahlen (C). So eine Funktion nennt man 
Möbiustransformierte. Nun kann man bestimmte Bereiche eines 
Koordinatensystems die man zuvor abgrenzt hat durch 3 oder 6 Randpunkte 
(Orientierung beachten!) die Möbiustransformierte berechnen. Der in der 
Ausgangsebene (z-Ebene) Bereich ink. deren Randpunkte werden nun in 
einer anderen Ebene (sogenannte w-Ebene) anders dargestelt. Aus einem 
Bereich, der zuvor durch einen Kreis begrenzt war, wird nun ein Bereich, 
der durch eine Gerade abgegrenzt wird.

So eine Transformation behält die ursprünglichen Originaleigenschaften 
und gibt außerdem eventuell ,,neue Einblicke".

In der Praxis nutzt man die Möbiustransformation z.B. in der 
Signalverarbeitung, die hier angewendete Transformation heißt Bilineare 
Transformation. Mit ihr kann man zwischen dem s-Bereich (Laplacebereich) 
und z-Bereich (z-Transformationierter Bereich) hin- und her wechseln.

Bitte korrigiert mich bzw. klärt mich auf. Es ist doch etwas relativ 
komplex, dennoch denke ich, dass ich das meiste schon verstanden habe 
(größtenteils). Ich würde mich sehr freuen wenn mich jemand bestätigen 
bzw. korrigieren kann.

Gruß!

[Alexander S. (alesi)]

Kelek2 schrieb:
> Moin, da mir in anderen Foren kaum geholfen werden kann, denke ich das
> meine frage definitiv hierhin gehört.
> ...
> Mir ist zwar klar wie die Möbiustransformation funktioniert, jedoch habe
> ich ein paar Verständnisprobleme.

Hallo,

hast Du es schon auf dem Matheplaneten http://www.matheplanet.de
probiert?

Dort im Forum gibt es schon einige Fragen zur Möbiustransformation.

http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/searchbb.php?term=M%F6biustransformation&forum=all&odirection=desc&sortby=t.topic_title

[Uranhexafluorid (Gast)]

Kelek2 schrieb:
> Betrachtet man das etwas aus naturwissenschaftlicher
> sicht kommt man zum Ergebnis das die (Äquipotential)-linien immer
> Senkrecht zu den Feldlinien stehen (90° das ist äquivalent zum Begriff
> der Winkeltreue).


Ohne jetzt die Frage zu beantworten - die habe ich nämlich nicht 
verstanden / gefunden - dazu ein Kommentar:

Die Äquipotentiallinien stehen nicht als irgendein 'Ergebnis' auf den 
Feldlinien.
Die Feldlinien sind eine Veranschaulichung der wirkenden Kräfte, und die 
wirkende Kraft ist die Divergenz (sprich: die dreidimensionale Ableitung 
nach den Raumrichtungen) des Potentials.
Das Potential ist da und verursacht die Kraft. Nicht andersherum.

[transfo (Gast)]

Was genau ist deine Frage?

Schau dir z.B. das Smith-Chart in der Elektrotechnik an. Da kannst du 
auf einer "endlichen / begrenzten" arbeiten anstelle in einem unendlich 
ausgedehnten Bereich zu arbeiten.

In beiden Darstellungsweisen kannst du die selben operationen eindeutig 
ausführen da die Abbildung dazwischen konform ist.

Die Transformation bietet sich immer dann an wenn du im Ursprungsbereich 
nicht mehr weiter kommst aber im Bildbereich einfach Operationen 
anwenden kannst.

[Christoph G. (uranhexafluorid)]

Uranhexafluorid schrieb:
> Kraft ist die Divergenz [...] des Potentials.

Ich meine natürlich Gradient und nicht Divergenz - sorry!