mikrocontroller.net

Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Problem mit Aufstellen einer DGL


Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Huhu liebes Forum,

ich habe eine Frage zum Verstaendnis eines Problems bezueglich einer 
DGL. Ich bitte um KEINE Loesungsvorschlaege, sondern lediglich 
Hilfestellung, denn ich versuche seit einiger Zeit auf die Loesung zu 
kommen, bin aber nicht sicher, ob ich das richtig mache.

Die Ausgangsspannung wird wie unten gezeigt ueber C und R2 abgenommen. 
Die Eingangsspannung liegt an allen 3 Bauteilen an.

Ich will eine DGL herausbekommen, die ausschliesslich Ue(t) und Ua(t) 
und Ableitungen, also U'a(t) enthaelt.

Meine Loesung ist:

Ue(t) = Ua(t) + C*(R1+R2)*U'a(t) - C*R1*U'e(t)

Ich vertraue der Loesung nicht so recht, da auch eine Ableitung der 
Eingangsgroesse in meiner Loesung vorkommt.

Mache ich etwas falsch? Wie ist der rechte Weg, an dieses Problem 
heranzugehen?

Fuer Tips waere ich sehr dankbar.

Gruss
Andre



                 Ue(t)
    |      -------------->       |
    |                            |
    |     _       _      C1    |
    -----|R1|-----|R2|-----||-----
               |                 |
               |                 |
               |    -------->    |
                       Ua(t)

Autor: Dumdi Dum (dumdidum)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Deine Skizze wird bei mir nicht richtig dargestellt. deshalb nur: wie 
hast Du denn Deine Loesung Schritt fuer Schritt hergeleitet?

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:
Angehängte Dateien:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hey und danke fuer die Antwort,

im Anhang eine Handzeichung.Was leider nerft ist, dass tatsaechlich in 
der Aufgabenstellung der "erste" Widerstand R2 heisst, der andere R1. 
Habe ich aber beachtet in meeinen Weg:

Leider weiss ich nicht, wie man im Forum ein Integralzeichen macht. Also 
schreibe ich INT, ok? Ableiten bedeutet bei mir das ' Zeichen.

Ich bin so drauf gekommen:

1)

Uc(t) = (1/C)*INT(Ie(t))dt

2)

Ua(t) = Uc(t) + U1(t)

1) in 2)

Ua(t) =  (1/C)*INT(Ie(t))dt + R1*Ie(t)

Damit ich in der DGL ein U'a(t) habe, bastele ich mir hier eins, indem 
ich ableite und dann nach I'e(t) umstelle:

I'e(t) = (U'a(t)-(1/C)*Ie(t)) / R1

Dann brauche ich eine weitere Aussage:

3)

Ue(t) = Uc(t) + UR1(t) + UR2(t)

Ue(t) = (1/C)*INT(Ie(t))dt + R*Ie(t) + R2*Ie(t)

Hier leite ich Ue(t) ab und setze in mein entstandenes I'e(t) obige 
Aussage ein, damit ich mein U'a(t) in die Formel einbaue. Der 
(1/C)*Ie(t) verschwindet, da er einmal positiv, einmal negativ behaftet 
vorkommt. Dann sieht alles so aus:

4)

U'e(t) = U'a(t) + (R2/R1)*U'a(t) - [R2/(R1*C)]*Ie(t)

5)

Jetzt muss ich noch Ie(t) "loswerden" Dazu folgende Aussage:

Ie = (Ue - Ua)/R2

Wenn ich das in 4) einsetze, ausmultipliziere und umforme, so dass die 
Konstanten nur vor den abgeleiteten Termen stehen, und dann noch nach 
Ue(t) umstelle sieht es so aus, wie oben angegeben. Nochmals:

Ue(t) = [C*(R1+R2)]*U'a(t) + Ua(t) - C*R1*U'e(t)

Puh....

Autor: Mar. Wa. (elektrowagi78) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Kennst Du schon die komplexe Rechnung?

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ja, kenne ich. Darueber habe ich auch nachgedacht, da ich einen 
Spannungsteiler aus XC und R2 habe. Der aendert sich natuerlich. Worauf 
ich nicht zum Schluss kam war, wie ich damit rechnerisch umgehe, wenn es 
um Spruenge, anstatt um frequenzbehaftete Wechseleingangsgroessen geht. 
Wenn ich in den Eingang einen Sinus sende, dann kann ich mir das 
eventuell noch rechnerisch aufbereiten. Aber das war ja nicht die 
Aufgabenstellung.

Aber ich denke den Weg muss ich einbauen. Nur wie?

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Danke Jonas, ich habe oben eine als Foto angehaengt. Siehe mein 2. 
Beitrag ;)

Autor: Jonas G. (jstjst)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Tipp: Die Skizze wird richtig dargestellt wenn sie in
 [code] 
 [/ code] Tags steht

Autor: Markus Hehn (markushehn)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Habs mal schnell nachgerechnet, Ergebnis aus deinem 1. Post stimmt 
soweit.
Meine Vorgangsweise ist die ganz normale Netzwerkanalyse.
Also hier hab ich 2 Maschengleichungen gebildet und eine 
Knotengleichung.

Das wäre für deinen Fall:

Du willst am Ende nur eine Gleichung mit U_e und U_a, also musst du I 
und U_c eliminieren...

Hab hier einfach einen Strom I angenommen, und dadurch den Spannungsfall 
über R1 und R2 gebildet.
Die Knotengleichung ist zufließender - abfließender Strom.

Geht bestimmt auch einfacher und schneller, so ist es aber 
systematischer.

Dass am Ende was mit Ableitung von U_e rauskommt ist nicht weiter 
tragisch, da es ja durch U_e selbst schon bekannt ist (Ableitung kann 
einfach ausgerechnet werden).

: Bearbeitet durch User
Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Danke erstmal Markus,

am Ende soll eine Simulation mit Simulink gebildet werden. Ich will 
darum sicher gehen, dass ich die DGL richtig habe.

Autor: Joe G. (feinmechaniker) Benutzerseite
Datum:
Angehängte Dateien:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Andre Bentrup schrieb:
> Mache ich etwas falsch? Wie ist der rechte Weg, an dieses Problem
> heranzugehen?

Deine Rechnung stimmt (siehe Anlage). Die Berechnung geht sehr gut über 
ein Elementar-Zweitor.

Autor: dbdb (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ist übrigens ein interessantes System wie ich finde, weil es sprungfähig 
ist, also Nenner- = Zählerordnung :-)

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich find's auch total geil, mir geht einer ab ;) :D :D

Autor: Mar. Wa. (elektrowagi78) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Mir ist immer noch nicht klar, wozu man das mit einer DGL lösen will. 
DOch nur Selbstzweck? Oder Einbindung in einer komplexeren Umgebung?

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Weil das die Aufgabenstellung war. Wir sollten die DGL für das System 
aufstellen.

Autor: Systemtheoretiker (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Sers,

ich persönlich finde die Schreibweise mit der Laplace-Transformation am 
schönsten:
U' -> sU
INT(U) -> 1/s * U

(1)  U_e = I*R_2 + 1/s * 1/C * I + I*R_1
(2)  U_a = 1/s * 1/C * I + I * R_1

=> U_a / U_e = (1 + R_1*C * s) / (1 + (R_1 + R_2)*C * s)

Zusätzliche Info:
Das System hat eine Pol- und eine Nullstelle. Wobei die Nullstelle 
"schneller" ist als die Polstelle. (Lag-Compensator)
Du kannst dir übrigens (hast ja Simulink erwähnt) den Bode-Plot und die 
Sprungantwort ganz einfach mit MATLAB erstellen:
s = tf('s');
sys = (1 + R_1*C*s) / (1 + (R_1 + R_2)*C*s );
figure(1);
bode(sys);
figure(2);
step(sys);

Die Variablen (R_1 usw.) müsstest du vorher definieren.

Du wirst dann feststellen, dass die Sprungantwort nicht bei Null, 
sondern bei einem Wert zwischen 0 und 1 beginnt. Dieser Wert ist in 
deinem Bode-Plot die Hochfrequenzverstärkung. Ein reiner Tiefpass ( R_1 
= 0 ) ist übrigens nicht sprungfähig; die Sprungantwort startet 
entsprechend bei 0.

Anm: Reale (physikalische) Systeme sind nie Sprungfähig.

Autor: Lernender (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Also, meine Herangehensweise ist so:

1.) Strom durch alle drei Bauteile muss gleich sein (kein 
Ausgangsstrom). Strom wird durch die Widerstände bestimmt. Also:

  I = (Ue - Uc) / (R1 + R2)


2.) Der Kondensator ist der spannende Teil und seine Spannung die 
Zustandsvariable:

  Uc' = I / C


3.) Ausgangsspannung ist die Eingangsspannung ohne die Spannung über R2:

  Ua = Ue - R2 * I


Das war's. Jetzt kann man natürlich noch #1 in #2 und #3 einsetzen. Aber 
wozu? Das macht's nur unübersichtlich, und für die Simulation 
umständlich.

Autor: Andre B. (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Sehr nette Info. Nochmals erwähnt: es war die Aufgabenstellung zuerst 
eine DGL anzugeben, die NUR Ue und Ua odet deren Ableitung enthält. DAS 
war der Teil, der Probleme beteitete ;))

Autor: Kai Uwe (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hallo liebe Mikrocontroller.net-Forenmitglieder,

ich bin Elektrotechnikstudent im zweiten Semester an der Hochschule 
Bremen und knoble jetzt schon seit Wochen an einer ähnlichen Aufgabe.

Ich habe im Internet sehr ausführlich recherchiert, aber mit Ausnahme 
von der hier geposteten Aufgabe keine andere gefunden, bei der die 
Ausgangsspannung über zwei Bauteilen abgenommen wird. Außerdem ist in 
meiner Aufgabe der Kondensator durch eine Spule zu ersetzen, alle 
anderen Angaben sind gleich.

Nach längeren Überlegungen, habe Maschengleichungen und Knotensatz 
aufgestellt bzw. angewendet, komme ich auf die Gleichung

Ue(t)=Ua(t)+(R2/R1)Ua(t)+(L/R1)Ua''(t)-(L/R1)Ue'(t)

Nehme ich aber die selbe Berechnung über ein Elementar-Zweitor vor, wie 
in einem vorherigen Post erwähnt, dann erhalte ich den Term

Ue(t)=Ua(t)+(R2/R1)Ua(t)+(L/R1)Ua'(t)-(L/R1)Ue'(t)

wobei mit Ausnahme von (L/R1)Ua'(t) alle anderen Summanden gleich sind.

Darf ich denn in diesem Fall die Berechnung über ein Elementar-Zweitor 
überhaupt vornehmen?

Ich wäre sehr froh darüber, wenn mir jemand sagen könnte, was ich falsch 
mache.

Autor: Joe G. (feinmechaniker) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Kai Uwe schrieb:
> Ich wäre sehr froh darüber, wenn mir jemand sagen könnte, was ich falsch
> mache.

Dein Maschen- und Knotenpunktsatz ist falsch.
L/R ist eine Zeitkonstante, hat also die Einheit Sekunde. Somit darf nur 
die erste Ableitung von Ua im Produkt stehen, ansonsten ergibt sich 
keine Spannung.

Warum sollte die Berechnung über ein Elementar-Zweitor nicht möglich 
sein, zumal ich ja einfach Z als komplexe Impedanz eingesetzt habe?

: Bearbeitet durch User
Autor: Kai Uwe (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hallo Joe,

vielen Dank für die Antwort. Ich habe die Aufgabe gerade eben nochmal 
kontrolliert und sehe nun, wo ich mich verrechnet habe. Das Ergebnis 
hier über die Einheiten zu überprüfen war naheliegend gewesen.

Ich war mir wegen meinen verschiedenen Lösungen aber nicht sicher, ob 
der Fehler bei der Berechnung über das Elementar-Zweitor entstanden ist.

Antwort schreiben

Die Angabe einer E-Mail-Adresse ist freiwillig. Wenn Sie automatisch per E-Mail über Antworten auf Ihren Beitrag informiert werden möchten, melden Sie sich bitte an.

Wichtige Regeln - erst lesen, dann posten!

  • Groß- und Kleinschreibung verwenden
  • Längeren Sourcecode nicht im Text einfügen, sondern als Dateianhang

Formatierung (mehr Informationen...)

  • [c]C-Code[/c]
  • [avrasm]AVR-Assembler-Code[/avrasm]
  • [code]Code in anderen Sprachen, ASCII-Zeichnungen[/code]
  • [math]Formel in LaTeX-Syntax[/math]
  • [[Titel]] - Link zu Artikel
  • Verweis auf anderen Beitrag einfügen: Rechtsklick auf Beitragstitel,
    "Adresse kopieren", und in den Text einfügen




Bild automatisch verkleinern, falls nötig
Bitte das JPG-Format nur für Fotos und Scans verwenden!
Zeichnungen und Screenshots im PNG- oder
GIF-Format hochladen. Siehe Bildformate.
Hinweis: der ursprüngliche Beitrag ist mehr als 6 Monate alt.
Bitte hier nur auf die ursprüngliche Frage antworten,
für neue Fragen einen neuen Beitrag erstellen.

Mit dem Abschicken bestätigst du, die Nutzungsbedingungen anzuerkennen.