Hallo,
seit einigen Wochen denke ich über ein Thema nach und brauche eure
Hilfe, um meine Gedanken etwas zu ordnen und ggf. zu berichtigen. Ein
TL/DR befindet sich unten :)
Es geht in ersten Linie um Endlichkeit. Wenn wir eine beliebige
Digitalkamera nehmen, hat diese einen Sensor mit einer bestimmten
Auflösung und Farbtiefe. Daraus folgt, dass es nur endliche viele
verschiedene Fotos gibt, die dieser Sensor aufnehmen könnte. Da die
Anzahl endlich ist, ist die Menge aller möglichen Fotos dieser Kamera
aufzählbar. Bei VGA-Auflösung und 256 Farben wären das beispielsweise
256^(640 * 480) mögliche Fotos, eine Zahl, deren Darstellung im
Dezimalsystem rund 700kB benötigt.
In dieser Menge sind zum Beispiel die Einzelbilder aller Filme der Welt
enthalten, wie sie durch diese Kamera gesehen wären. Da aber jedes
theoretisch denkbare Foto darin enthalten ist, sind auch Fotos von
Seiten aus allen Büchern enthalten, die in der Bibiliothek von
Alexandria verbrannt sind. Ebenfalls wäre das, was die Augen aller
Menschen im Laufe ihres Lebens sehen, in der Menge so enthalten, wie das
Leben durch die Kamera sichtbar gewesen wäre, denn schließlich wäre das
alles durch den Sensor wahrnehmbar. Ebenfalls wären alle Motive der
Fantasie enthalten, wie sie durch die Kamera gesehen wären. Es wären
Fotos von mir vor dem Eifelturm dabei - aus jeder erdenklichen
Perspektive und zu jeder Jahreszeit. Mal mit Schnee, mal mit Regen aus
Goldstücken. Natürlich wären auch sehr viele Fotos dabei, die wie
zufälliges Rauschen aussehen.
Mir ist klar, dass es eine rein theoretische Überlegung ist, weil der
Aufwand schon unmöglich wäre, überhaupt nur ein Foto von irgendwas bei
so einer Auflösung durch Aufzählung zu finden. Aber mir geht es um etwas
anderes:
1) Meine Vorstellung versagt darin, sich diese Menge als endlich
vorzustellen. Wenn ich beispielsweise überlege, auf wie vielen Fotos der
Gesamtmenge ich zu sehen bin, so muss diese einen winzigen Anteil
ausmachen - die Intuition sagt, es geht gegen Null. Dennoch muss die
Anzahl so unvorstellbar hoch sein, dass die Intuition sagt, dass schon
dies unendlich viele sein müssten.
2) Jetzt zur eigentlichen Frage: Stellt man sich diese Kamera auf
irgendeinem Punkt der Erde fixiert vor, sodass sie einen Film des
Geschehens um sich herum aufnimmt, so gibt es auch hier nur endlich
viele mögliche Einzelbilder. Die Zeit schreitet aber unendlich voran.
Sagt das Schubfachprinzip nun nicht, dass dann irgendwann Motive auf's
Pixel genau doppelt vorkommen müssen, weil der Vorrat der möglichen
Fotos aufgebraucht ist? Wenn man mit der Vergänglichkeit der Erde
argumentieren will, dann eben so: Wir lassen die Kamera stetig durch's
Universum gleiten und sehen auf den Einzelbildern viele Galaxien,
Sterne, Planeten und andere Objekte.. aber auch hier muss sich
zwangssläufig eine Wiederholung ergeben, da der Vorrat an möglichen
Motiven verbraucht ist. Ist das ein Widerspruch zur Unendlichkeit von
Zeit und / oder Raum?
TL/DR: Wenn ich die Möglichkeit hätte, jeden Ort im Universum zu
besuchen, müssten sich die Motive vor meinem Auge irgendwann
wiederholen, weil dessen Auflösung und Farbtiefe durch die Stäbchen und
Zäpfchen begrenzt ist.
Bitte helft mir, meinen Fehler zu sehen oder das zu erklären :)
Der Denkfehler ist, dass du die Begrenzung der Auflösung auf das
Original projizierst.
Wenn die Kamera nur 4 Pixel in schwarz/weiß hätte, würden auf der Welt
aber trotzdem nicht nur 16 mögliche Motive vorkommen, auch wenn die
Kamera alles auf diese 16 Möglichkeiten reduziert abbilden würde.
/Hannes
Wie du richtig dargestellt hast, ist der Inhalt dessen, was wir als
beliebiges Bild auf den Monitor zaubern können, nichts weiter als eine
spezifische, eindeutige Zahl aus diesem Zahlenraum, der von 0 bis
256^307200 reicht.
Die Zahl der Teilchen im Universum wird aufgrund der beobachteten,
durchschnittlichen Teilchendichte auf gerade mal 10^100 geschätzt. Das
sieht aufgrund der exponentiellen Darstellung nach sehr wenig aus, aber
wir haben diesbezüglich eben ein Imaginationsdefizit, da wir im Alltag
in linearen Grössenordnungen denken und zählen.
Jetzt stell dir mal vor, wie groß der Zahlenraum ist, der durch die
Bildschirmpixel als eine grosse Zahl dargestellt werden kann. Er ist in
diesem Fall mit einem Stellenwertsystem zur Basis 256 (Jede einzelne
Ziffer kann Werte von 0 bis 255 annehmen) zu vergleichen, wobei die
jeweils links stehende Ziffer einen um 1 höheren Exponenten zur
vorherigen Ziffer repräsentiert. Und diese Zahl ist 307200 Stellen
breit.
Eine Zahl die also 307200 Bytes breit ist, oder eine "Adressraum"
darstellt, der 2.457.600 Bits breit ist und an jeder stelle ein anderes
Bild enthält. Wobei die optische Redundanz (Ähnlichkeit) unzähliger
Bilder enorm ist.
Wenn 10^100 schon die gesamte Teilchenzahl des Universums annähert, dann
sind 256^307200 Möglichkeiten diese 10^100 Teilchen als VGA-Bild
darzustellen schon eher in ihrer ungeheuren Dimension zu verstehen.
Das ganze Universum ist aber so gesehen ein mehrdimensionaler Monitor
mit einer "Auflösung" im Bereich der subatomaren, kleinsten
Teilchengrösse und mit einer mehrdimensionalen "Bildschirm"grösse in
hunderten Milliarden von Lichtjahren... Nun kann man rechnen, wie gross
dessen kombinatorischem Möglichkeiten sind, dort ein Bild zu erzeugen,
das wir dann "Realität" nennen... :D
Rüdiger Meinhard schrieb:> Die Zeit schreitet aber unendlich voran.> Sagt das Schubfachprinzip nun nicht, dass dann irgendwann Motive auf's> Pixel genau doppelt vorkommen müssen, weil der Vorrat der möglichen> Fotos aufgebraucht ist? Wenn man mit der Vergänglichkeit der Erde> argumentieren will, dann eben so: Wir lassen die Kamera stetig durch's> Universum gleiten und sehen auf den Einzelbildern viele Galaxien,> Sterne, Planeten und andere Objekte.. aber auch hier muss sich> zwangssläufig eine Wiederholung ergeben, da der Vorrat an möglichen> Motiven verbraucht ist. Ist das ein Widerspruch zur Unendlichkeit von> Zeit und / oder Raum?
Bei der Länge des Zeitraums, in dem die Bilder geschossen werden, und
der Größe des Universums könnte ich mir vorstellen, dass ziemlich viele
der Bilder (genauer gesagt: praktisch alle) einfach komplett schwarz
sind. Das sind die Wiederholungen, nach denen du suchst.
Rüdiger Meinhard schrieb:> TL/DR: Wenn ich die Möglichkeit hätte, jeden Ort im Universum zu> besuchen, müssten sich die Motive vor meinem Auge irgendwann> wiederholen, weil dessen Auflösung und Farbtiefe durch die Stäbchen und> Zäpfchen begrenzt ist.
Du siehst ein Bild des Universums dass nicht dem Universum entspricht
dass du siehst, sondern von den Laufzeiten der Signale abhängig/geprägt
ist.
Selbst wenn du ein Bild sehen würdest dass identisch mit einem anderem
Bild ist, so widerspiegelt es doch nicht den Zustand des Universums,
dieses war nämlich unterschiedlich, auch wenn die beiden Bilder Gleiches
aufzeigen.
Denn die beiden Bilder sind zu einem unterschiedlichem "Zeitpunkt"
entstanden.
Kurt
Kurt Bindl schrieb:> Du siehst ein Bild des Universums dass nicht dem Universum entspricht> dass du siehst, sondern von den Laufzeiten der Signale abhängig/geprägt> ist.> Selbst wenn du ein Bild sehen würdest dass identisch mit einem anderem> Bild ist, so widerspiegelt es doch nicht den Zustand des Universums,> dieses war nämlich unterschiedlich, auch wenn die beiden Bilder Gleiches> aufzeigen.>> Denn die beiden Bilder sind zu einem unterschiedlichem "Zeitpunkt"> entstanden.>> Kurt
wiedermal voll am Thema vorbeigeschossen ;-)
Rüdiger Meinhard schrieb im Beitrag
>Da aber jedes theoretisch denkbare Foto darin enthalten ist,> sind auch Fotos von Seiten aus allen Büchern enthalten, die> in der Bibiliothek von Alexandria verbrannt sind.> Ebenfalls wäre das, was die Augen aller Menschen im Laufe ihres> Lebens sehen, in der Menge so enthalten,
Mal überschlagen:
Angenommen wir machen seit Anbeginn der Erde (≤ 5e9 Jahre) von jedem
Quadratmeter ihrer Oberfläche aus — und zwar bis zu einer Höhe von
1000km auf jedem Quadratmeter (≤ 1e21 m³) pro Millisekunde (≤ 1e20 ms)
tausend Bilder in unterschiedliche Richtungen, also insgesamt
Bildchen.
Dann überlegst du dir, wieviel Bilder noch übrig bleiben, wenn du diese
Bilder aus der Bildgesamtheit entfernst. Das sind
=>
D.h. durch Entfernen all dieser Bilder hat sich der Exponent 307200 von
256 an der 739766. Nachkommastelle geändert.
Rüdiger Meinhard schrieb:> 2) Jetzt zur eigentlichen Frage: Stellt man sich diese Kamera auf> irgendeinem Punkt der Erde fixiert vor, sodass sie einen Film des> Geschehens um sich herum aufnimmt, so gibt es auch hier nur endlich> viele mögliche Einzelbilder. Die Zeit schreitet aber unendlich voran.> Sagt das Schubfachprinzip nun nicht, dass dann irgendwann Motive auf's> Pixel genau doppelt vorkommen müssen, weil der Vorrat der möglichen> Fotos aufgebraucht ist? Wenn man mit der Vergänglichkeit der Erde> argumentieren will, dann eben so: Wir lassen die Kamera stetig durch's> Universum gleiten und sehen auf den Einzelbildern viele Galaxien,> Sterne, Planeten und andere Objekte.. aber auch hier muss sich> zwangssläufig eine Wiederholung ergeben, da der Vorrat an möglichen> Motiven verbraucht ist. Ist das ein Widerspruch zur Unendlichkeit von> Zeit und / oder Raum?>
Erstmal muss ich erwähnen, dass ich deine Fragestellung wirklich sehr
interessant finde.
Nun zum Thema: Einen Widerspruch zur Unendlichkeit sehe ich nicht
zwingend. Die Zeit an sich ist ja eine stetig wachsende Größe und als
vierte Dimension zu sehen. Ob die Anzahl der im Raum zu beobachtenden
Bilder endlich ist bzw. sich somit auch irgendwann wiederholt, ist dann
ja für die Aussage der Unendlichkeit hinfällig, da die Zeit sich ja
stetig weiterbewegt.
Oder hab ich deine Fragestellung missverstanden?
Rüdiger Meinhard schrieb:> Ist das ein Widerspruch zur Unendlichkeit von> Zeit und / oder Raum?
Hallo,
nein, Du verwechselst nur die Realität mit der Abbildung; mal auf etwas
möglicherweise begreifbareres umformuliert (und um den Zusammenhang mit
Mikrocontrollern zu knüpfen):
Ich kann das Ergebnis von sin(x) durch Multiplikation mit 127, Addition
von 128 und runden auf ganze Zahlen auf ein einzelnes Byte abbilden.
Mit Deiner Formulierung ist also in einem Byte der ganze Sinus
enthalten. Deine Frage ist nun, ob das im Widerspruch zu der
Unbeschränktheit von x steht. Und da wirst Du vermutlich schnell
antworten können, dass dies nicht der Fall ist, x also unendlich viele
Werte annehmen kann.
Das Kamerabild ist eben keine bijektive Abbildung der Wirklichkeit, was
ja auch durch das Schubfachprinzip bestätigt wird: Zwei unterschiedliche
Motive müssen das exakt gleiche Kamerabild erzeugen, was ja durchaus
plausibel ist - eine komplett weiße Wand wird das gleiche Bild erzeugen
(alles 255) wie die Oberfläche der Sonne aus wenigen Kilometern
Entfernung.
Auf der anderen Seite bedeutet das jedoch auch, dass Du aus der
Abbildung nicht das Motiv eindeutig rekonstruieren kannst. Ob der
abgebildete Felsbrocken auf der Erde ist oder auf dem Mars, lässt sich
nur mit dem Bild nicht sagen.
Um wirklich esoterisch zu werden, musst Du aber entweder zwei unendliche
"Dinge" miteinander verknüpfen, oder die endliche Menge aus der
unendlichen heraus ziehen (und nicht anders herum wie bei der Kamera).
Beispiel: Verbrannte Bibliothek von Alexandria. Diese findet sich in der
Champernowne-Zahl (und vermutlich auch in Pi oder e) tatsächlich
irgendwo als ASCII-Code-Sequenz (oder als JPG-Bilder, oder...) - es ist
nur nicht ganz einfach, die Stelle zu bestimmen, ab der die Sequenz
beginnt (genauso schwer ist es übrigens herauszufinden, welches der
256^307200 Bilder der Kamera die erste Seite des ersten Bandes der
Bibliothek darstellt).
Betrachtet man das große Ganze, so befindet sich sogar das komplette
Universum zu jedem Zeitpunkt und in jeder beliebigen Detailgenauigkeit
in der Champernowne-Zahl (bzw. wahrscheinlich auch in Pi, also im
Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser jeden Kreises des gleichen
Universums). Allerdings kann man physisch nicht angeben, ab welcher
Stelle die Informationen zu finden sind, da das Universum nicht reicht,
die Information über die Anfangs-Stelle zu speichern.
Das zu Verstehen führt zu Knoten im Gehirn ;-)
Schöne Grüße,
Martin
Martin L. schrieb:> Betrachtet man das große Ganze, so befindet sich sogar das komplette> Universum zu jedem Zeitpunkt und in jeder beliebigen Detailgenauigkeit> in der Champernowne-Zahl (bzw. wahrscheinlich auch in Pi,
Zumindest kann Pi nicht sich selbst enthalten, denn sonst wäre Pi ab
einer bestimmten Stelle periodisch, was nicht der Fall ist. D.h. jede
reele Zahl, die sich selbst "enthält", ist rational — also in gewissem
Sinne langweilig.
> so befindet sich sogar das komplette Universum zu jedem Zeitpunkt> und in jeder beliebigen Detailgenauigkeit in der [...]-Zahl.
Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen: Nimmt man die klassische
Beschreibung eines Teilchens, z.b. dessen Ort und Impuls als reelle
Zahl, und die Zeit ebenfalls als reele Zahl, dann sehe ich nicht, wie
man diese überabzählbar vielen reelen Zahlen in einer X-Zahl
unterbringen könnte.
Johann L. schrieb:> Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen: Nimmt man die klassische> Beschreibung eines Teilchens, z.b. dessen Ort und Impuls als reelle> Zahl, und die Zeit ebenfalls als reele Zahl, dann sehe ich nicht, wie> man diese überabzählbar vielen reelen Zahlen in einer X-Zahl> unterbringen könnte.
Danke, den Gedanken hatte ich auch, traute mich nur nicht es laut zu
sagen ;)
Tal Seto schrieb:> Auch wenn ich mich damit jetzt in die Nesseln setze, würde ich Euch doch> mal die Eine oder Andere anständige Tüte empfehlen.
Das hier ist so wie das mit den Stehwellen, da glauben doch so allerlei
an Theoretikern dass diese tatsächlich existieren und bauen darauf
irrwitzige Umstände auf die sie dann auf Teufel_komm_raus verteidigen.
Kurt
Tal Seto schrieb:> Auch wenn ich mich damit jetzt in die Nesseln setze, würde ich Euch doch> mal die Eine oder Andere anständige Tüte empfehlen.
Tüten — so anständig sie auch sein mögen — haftet leider ebenfalls der
Makel der Endlichkeit an :o)
Johann L. schrieb:> Tüten — so anständig sie auch sein mögen — haftet leider ebenfalls der> Makel der Endlichkeit an :o)
irgendwann ist die Tüte zur Asche geworden...
Johann L. schrieb:> Angenommen wir machen seit Anbeginn der Erde (≤ 5e9 Jahre) von jedem> Quadratmeter ihrer Oberfläche aus — und zwar bis zu einer Höhe von> 1000km auf jedem Quadratmeter (≤ 1e21 m³) pro Millisekunde (≤ 1e20 ms)> tausend Bilder in unterschiedliche Richtungen, also insgesamtBildchen.>> Dann überlegst du dir, wieviel Bilder noch übrig bleiben, wenn du diese> Bilder aus der Bildgesamtheit entfernst. Das sind=>> D.h. durch Entfernen all dieser Bilder hat sich der Exponent 307200 von> 256 an der 739766. Nachkommastelle geändert.
Angesichts dieser Beschreibung weiß ich, dass ich nichts weiß...
Hallo,
Johann L. schrieb:> Martin L. schrieb:>> Betrachtet man das große Ganze, so befindet sich sogar das komplette>> Universum zu jedem Zeitpunkt und in jeder beliebigen Detailgenauigkeit>> in der Champernowne-Zahl (bzw. wahrscheinlich auch in Pi,>> Zumindest kann Pi nicht sich selbst enthalten, denn sonst wäre Pi ab> einer bestimmten Stelle periodisch, was nicht der Fall ist. D.h. jede> reele Zahl, die sich selbst "enthält", ist rational — also in gewissem> Sinne langweilig.
Korrekt - ich meinte allerdings das physische Universum - Pi als Konzept
ist damit nicht Bestandteil des gemeinten Universums. Allerdings muss
ich mich insofern korrigieren, dass wenn man die unten beschriebene
Argumentation anwendet, in unserem Universum auch kein Verhältnis
zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises existiert, der Pi
entspricht.
>> so befindet sich sogar das komplette Universum zu jedem Zeitpunkt>> und in jeder beliebigen Detailgenauigkeit in der [...]-Zahl.>> Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen: Nimmt man die klassische> Beschreibung eines Teilchens, z.b. dessen Ort und Impuls als reelle> Zahl, und die Zeit ebenfalls als reele Zahl, dann sehe ich nicht, wie> man diese überabzählbar vielen reelen Zahlen in einer X-Zahl> unterbringen könnte.
Da alle Parameter des Universums mit hinreichender Genauigkeit in (im
Fall der Masse, Ladung und Temperatur abgewandelten) ganzzahligen
Plank-Einheiten dargestellt werden könnten, und wenn man von der
gängigen Interpretation ausgeht, dass das Universum endlich viel Energie
(und damit Masse) enthält, dann sind keine reelen, sondern nur rationale
Zahlen notwendig. Mithin entfällt auch die Überabzählbarkeit. Mit
weiteren Einschränkungen im Bereich "nutzbare Auflösung" und falls sich
das Volumen des Universums ebenfalls als endlich herausstellt wäre der
Parametersatz noch nicht einmal unendlich groß. In beiden Fällen wäre er
damit in jeder normalen Zahl enthalten.
Ein praktischer Nutzen erschließt sich allerdings auch mir nicht ;-)
Schöne Grüße,
Martin
Edit: Das Pi auch bzw. doch nicht im Verhältnis von Umfang zu
Durchmesser realer Kreise enthalten ist erkannt und hinzugefügt.
Es sollte leicht sein ein Programm zu schreiben, welches alle möglichen
Bilder in VGA-Auflösung produziert. Muss sich nur mal jemand die Zeit
nehmen die Fotos durchzusehen. Sind bestimmt tolles Schnappschüsse
dabei!
Ich brauch mehr Speicherplatz und Zeit...
Andreas B. schrieb:> Da stellt sich mir natürlich jetzt die Frage:> Ist Pi als Zahlenfolge in e enthalten oder ist es umgekehrt?
Weder noch, beide sind transzendent.
Frank M. schrieb:> Andreas B. schrieb:>> Da stellt sich mir natürlich jetzt die Frage:>> Ist Pi als Zahlenfolge in e enthalten oder ist es umgekehrt?>> Weder noch, beide sind transzendent.
Zwar sind beide transzendent, das ist jedoch keine Begründung dafür,
dass die eine Zahl nicht in der anderen "enthalten" ist. Wobei
"enthalten" bedeutet, dass die n-adische Darstellung der einen Zahl die
andere enthält.
Beispiel: e enthält e-2 obwohl beide transzendent sind.
Da e und π beide nicht-rational sind, haben beide nicht-abbrechende
n-adische Darstellung, und daher ist die eine Zahl nicht in der anderen
enthalten falls beide inkommensurabel sind. Dies wiederum ist laut
Onkel Wiki lediglich eine Vermutung:
https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number#Open_questions
Die Umkehrung ist allerdings weniger klar...
