Aufgabe Messtechnik Widerstandsmessung

[J.T. (flyleaf83)]

Hallo,

könnte mir vielleicht jemand, wenn er gerade oder in den nächsten Tagen 
Zeit hat, bei dieser Messtechnikaufgabe helfen? Komme da einfach nicht 
weiter...

Zur Aufgabe:

Die Schaltung im Bild ist zur Widerstandsmessung gedacht. Das 
Amperemeter hat eine Genauigkeitsklasse von 1%, einen Bereichsendwert 
Iend von 1mA und zeigt 0,3mA an. Die Stromstärke I0 beträgt 1mA (1±0,01) 
und der Widerstand RN 10kOhm (1±0,01).

Gesucht ist RK in der Form RK = RKnom (1+fRK), wobei fRK den relativen 
Fehler von RK bezeichnet.


Ich hab so gerechnet:

Delta Imess = (G/100%) * Iend = 1/100 * 1mA = 0,01 mA

Dann habe ich die Gleichung für RK aufgestellt:

RK = (Imess * RN) / (I0 - Imess) (ich hoffe, die stimmt so)

Diese Gleichung habe ich dann differentiell abgeleitet (nach Imess, RN 
und I0) und jeweils noch mit dem maximal Fehler multipliziert. Zum 
Schluss habe ich dann noch diese Einzelbeträge aufsummiert:

[(RN*I0)/(I0-Imess)^2 * Delta Imess] + [Imess/(I0-Imess) * Delta RN] + 
[(-Imess * RN)/I0-Imess)^2 * Delta I0]

Das Ergebnis soll sein 4,286kOhm (±0,0719). Ich bekomme leider riesen 
Schwachsinn raus. Wahrscheinlich habe ich da ein oder mehrere Böcke 
geschossen.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Bis hierher ist fast alles richtig. Du musst nur noch von den
Einzelfehlern die absoluten Beträge nehmen, also

Delta RK =
|(RN*I0)/(I0-Imess)^2 * Delta Imess| +
|Imess/(I0-Imess) * Delta RN| +
|(-Imess * RN)/(I0-Imess)^2 * Delta I0|

Wie hast du weitergerechnet?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Noch eine Anmerkung:

Bei dem angewandten Verfahren zur Fehlerabschätzung wird die Funktion RK
von Imess, RN und I0 um die Nominalwerte linearisiert, was aber nur eine
Näherung darstellt.

In diesem Beispiel kann man die Fehlergrenzen aber auch leicht exakt
berechnen. Man schreibt dazu die Formel für RK etwas um:

RK = RN / (I0 / Imess - 1)

Man sieht nun sofort, dass die Fehler von RN und Imess positiv und der
Fehler von I0 negativ in den Gesamtfehler eingehen.

Die maximale Abweichung nach oben entsteht also, wenn RN und Imess
jeweils den größtmöglichen und I0 den kleinstmöglichen Wert annimmt. Das
ergibt einen relativen Gesamtfehler nach oben von +0,0744. Entsprechend
errechnet sich der maximale relative Fehler nach unten zu -0,0696.

Es ist deswegen unsinnig, das Ergebnis der Näherungsmethode (±0,0719)
auf drei Stellen genau anzugeben, da nur die erste Ziffer tatsächlich
stimmt. Besser wäre es deswegen, ±0,07 als Lösung anzugeben.

[J.T. (flyleaf83)]

Wow, vielen Dank schon mal für Deine Antwort!!!
Die Anmerkung ist wirklich sehr gut und hilfreich. So geht das wirklich 
viel einfacher.

Nur kurz zu der anderen Gleichung:
Wenn ich jetzt die Zahlenwerte in meine Gleichung (+Beträge) einsetze, 
bekomme ich aber was komisches raus:

Delta RK =
|(10k*1mA)/(1mA-0,3mA)^2 * 0,01mA| +
|0,3mA/(1mA-0,3mA) * 100Ohm| +
|(-0,3mA * 10k)/(1mA-0,3mA)^2 * 0,01mA|

= 265,3 Ohm

Habe ich da irgendwo falsche Werte eingesetzt? Ich verstehe diesen Wert 
nicht.

Sorry, ich steh da etwas auf dem Schlauch...

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Jan T. schrieb:
> Delta RK =
> |(10k*1mA)/(1mA-0,3mA)^2 * 0,01mA| +
> |0,3mA/(1mA-0,3mA) * 100Ohm| +
> |(-0,3mA * 10k)/(1mA-0,3mA)^2 * 0,01mA|
>
> = 265,3 Ohm
>
> Habe ich da irgendwo falsche Werte eingesetzt? Ich verstehe diesen Wert
> nicht.

Nein, du hast den zweiten Term (|... * 100Ω|) unterschlagen. Zusammen
mit diesem kommen 308,2Ω heraus. Das ist der absolute Fehler. Diesen
musst du jetzt nur noch durch das nominale RK dividieren, und schon
steht der relative Fehler als Ergebnis der Aufgabe da :)

Jan T. schrieb:
> Die Anmerkung ist wirklich sehr gut und hilfreich. So geht das wirklich
> viel einfacher.

Das ist aber nicht immer so. Ist die Formel für den gesuchten Widerstand
etwas komplizierter, sieht man nicht sofort, welche Einzelfehler positiv
und welche negativ in den Gesamtfehler eingehen. Dann bleibt einem
nichts anderes übrig, als die Ober- und Untergrenzen der 3 Größen in
allen 8 Möglichkeiten miteinander zu kombinieren und aus den 8
Ergebnissen das Maximum und das Minimum zu herauszusuchen. Bei nur 3
Größen ist das gerade noch machbar, aber bei 10 Größen müssen schon 1024
Kombinationen durchgerechnet werden. Da ist es einfacher, die Funktion
zehnmal partiell abzuleiten.

[J.T. (flyleaf83)]

Perfekt! Tausend Dank für die Antwort und den Tipp! :)