Für Mathematik: "von a erzeugte Untergruppe"

[Dennis S. (eltio)]

Hallo zusammen,
ich habe ein paar Verständnisschwierigkeiten bei dem oben genannten 
Thema. Definition:

$$<a>={a^i | i \in Z}$$

Beispiel: Ist

$$G=Z/30Z$$

dann 1×12=12, ..., 5×12=0 also ord (12 )=5 und  <12>={0,12,24,6,18}

Woher kommt die Multiplikation? Was ist das "Abbruchkriterium"?

Gruß Dennis

[Alexander S. (alesi)]

Dennis S. schrieb:
> ich habe ein paar Verständnisschwierigkeiten bei dem oben genannten
> Thema.

Die Wahrscheinlichkeit eine Antwort zu bekommen ist wahrscheinlich z.B.
auf dem Matheplaneten höher:

http://www.matheplanet.de/index.html

Matheplanet Foren -> Mathematik -> Strukturen und Algebra
http://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewforum.php?forum=20

[lalala (Gast)]

Multiplikation ist normale Multiplikation modulo 30. 'Abbruchkriterium' 
ist sobald keine neuen Elemente mehr erzeugt werden/dazukommen.

[Dennis S. (eltio)]

Alexander S. schrieb:
> Die Wahrscheinlichkeit eine Antwort zu bekommen ist wahrscheinlich z.B.
> auf dem Matheplaneten höher:
Schon klar.. aber ich habe von diesem Forum die Zugangsdaten im Kopf! 
:-D Außerdem brauche ich eine leicht verständliche Erklärung...

lalala schrieb:
> Multiplikation ist normale Multiplikation modulo 30.
> 'Abbruchkriterium'
> ist sobald keine neuen Elemente mehr erzeugt werden/dazukommen.
Okay, aber in der Definition ist ja nicht von a mal i die Rede sondern 
von a hoch i! In einem anderen Beispiel wird auch tatsächlich die Potenz 
genommen.

Gruß
Dennis

[T. P. (thp)]

Dennis S. schrieb:
> Alexander S. schrieb:
>> Die Wahrscheinlichkeit eine Antwort zu bekommen ist wahrscheinlich z.B.
>> auf dem Matheplaneten höher:
> Schon klar.. aber ich habe von diesem Forum die Zugangsdaten im Kopf!
> :-D Außerdem brauche ich eine leicht verständliche Erklärung...
>
> lalala schrieb:
>> Multiplikation ist normale Multiplikation modulo 30.
>> 'Abbruchkriterium'
>> ist sobald keine neuen Elemente mehr erzeugt werden/dazukommen.
> Okay, aber in der Definition ist ja nicht von a mal i die Rede sondern
> von a hoch i! In einem anderen Beispiel wird auch tatsächlich die Potenz
> genommen.
Das sollte man hier eher Abstrakt sehen, schaue mal bei Wikipedia nach. 
Addition und Multiplikation sind nur angewandte Spezialfälle von 
Verknüpfungen.

Also a hoch i, heißt i a's mit der zur Gruppe zugehörigen Verknüpfung 
verknüpft. Insofern ist dein Beispiel oben unvollständig, denn es fehlt 
die Angabe der Verknüpfung.
Thomas

[Dennis S. (eltio)]

Thomas P. schrieb:
> Also a hoch i, heißt i a's mit der zur Gruppe zugehörigen Verknüpfung
> verknüpft. Insofern ist dein Beispiel oben unvollständig, denn es fehlt
> die Angabe der Verknüpfung.
> Thomas

Ahh.. okay! Mir ist klar, dass eine Verknüpfung in der Gruppe nicht das 
"landläufige" + oder * sein muss. Nur die Potenz in der Definition habe 
ich zu genau genommen. Danke für die Erklärung und den einprägsamen 
Satz.

Gruß
Dennis

[T. P. (thp)]

Bei der Gruppe hat es auch den Vorteil das wir ja sonst eine 
Multiplikation (positive Zahl mit Gruppenelement) brauchen, die dann 
aber einer Multiplikation (Gruppenelement mit Gruppenelement) sehr 
ähnlich sieht, aber verschiedene Operationen sind. Man möchte hier 
Verwechslungen vermeiden und abstrakte Gruppen werden oft mit einer 
"Multiplikation" definiert und somit passt es hier auch.

Wenn man selber damit arbeitet muss man sich dem Kontext anpassen, dass 
es nicht zu Missverständnissen kommt. Wenn man Addition und 
Multiplikation hat, z. B., einen Körper, würde ich die Benutzung der 
Potenz für die Verknüpfung von Additionen als Falsch ansehen (Aber man 
kann sie als genau das definieren und dann wird es technisch wieder 
korrekt, aber unlesbar).



Etwas ähnliches wirst auch bei der Komposition von Funktionen sehen, wo 
die Potenz die Anzahl der Komposition angibt (also quasi wie häufig man 
sie Verschachtelt).

$$f^a(x)=f\circ f\circ\ldots\circ f(x)=f(f(f(...f(x))...)$$

[Dennis S. (eltio)]

Thomas P. schrieb:
> Etwas ähnliches wirst auch bei der Komposition von Funktionen sehen, wo
> die Potenz die Anzahl der Komposition angibt (also quasi wie häufig man
> sie Verschachtelt).

Stimmt... das erinnert ja auch wiederum stark an mehrfache Ableitungen!

[lalala (Gast)]

mein Fehler. Die Verknüpfung der Gruppe ist die normale Addition modulo 
30. (sonst wäre es ja auch keine Gruppe). a hoch 2 ist dann a *g a= a+a 
mit *g als Gruppenverknüpfung.

[Dennis S. (eltio)]

lalala schrieb:
> mein Fehler. Die Verknüpfung der Gruppe ist die normale Addition
> modulo
> 30. (sonst wäre es ja auch keine Gruppe). a hoch 2 ist dann a *g a= a+a
> mit *g als Gruppenverknüpfung.

Danke für deine Ergänzung! :-)