Frage zum Parseval'schen Theorem

[Samuel J. (capstrovor)]

Hallo,
ich lerne im Moment für meine Matura.
Ein Sub-Thema ist das Parseval'sche Theorem.
Dabei geht es hauptsächlich um die Herleitung über die Autokorrelation.
Ich verstehe den Ansatz der Herleitung nicht wirklich.

Zuerst wird die Autokorrelierte fourier-transformiert. Wieso wird hier 
überhaupt die Autokorrelierte verwendet? Was hat das mit dem 
Energiegehalt des Spektrums zu tun?

Beim Bild ansatz.png verstehe ich Gleichung 3 nicht... Wieso ergibt 
dieses Integral X-quer? Was bedeutet X-quer in diesem Zusammenhang (das 
wird in meinem Skript nicht erklärt (ELV)).

Anschließend wird das Betragsquadrat der Transformierten wieder 
rücktransformiert. Ist die Energie eines Spektrums als iFT des 
Betragsquadrats definiert?

Vielen Dank für die Hilfe!

[Pascal Chevron (Gast)]

Hallo

Samuel J. schrieb:
> Zuerst wird die Autokorrelierte fourier-transformiert. Wieso wird hier
> überhaupt die Autokorrelierte verwendet? Was hat das mit dem
> Energiegehalt des Spektrums zu tun?

Naja, die Spektrale Leistungsdichte ist als die Fouriertransformierte 
der Autokorrelationsfunktion eines Signales definiert.

Samuel J. schrieb:
> Beim Bild ansatz.png verstehe ich Gleichung 3 nicht... Wieso ergibt
> dieses Integral X-quer? Was bedeutet X-quer in diesem Zusammenhang (das
> wird in meinem Skript nicht erklärt (ELV)).

X-quer ist die komplex konjugierte von X. Wenn du die 
Fouriertransformierte X(j\omega) konjugierst, ändert das nur das 
vorzeichen vor i im Integral.

Grüsse Pascal

[Samuel J. (capstrovor)]

Danke für die Antwort, war sehr hilfreich!

[Domi F. (dfx_06)]

Samuel J. schrieb:
> Anschließend wird das Betragsquadrat der Transformierten wieder
> rücktransformiert. Ist die Energie eines Spektrums als iFT des
> Betragsquadrats definiert?
>
> Vielen Dank für die Hilfe!

Naja, es wurde nur nochmal zusammenfassend dargestellt, dass die 
Fouriertransformierte der Autokorrelation dem Leistungsdichtespektrum 
entspricht und natürlich auch die inverse Fouriertransformierte des 
Leistungsdichtespektrums der Autokorrelation entspricht.
Durch die im anderen Bild hergeleitete Tatsache, dass das 
Leistungsdichtespektrum dem Betragsquadrat des Amplitudenspektrums 
entspricht (d.h. Autofaltung im Zeitbereich bedeutet Quadratur im 
Frequenzbereich) kann man so weitere Zusammenhänge erkennen.
(Und in etwaigen Prüfungsaufgaben dezent nichttrivial-lösbare Faltungen 
über die quadratur des Spektrums und anschließendes rücktransformieren 
lösen ;) )

Gruß