Hallo allerseits hier eine schwierige Frage, aber sie passt am besten ins Offtopic, denke ich. Es geht um eine partielle Differentialgleichung. Ich habe eine Geometrie wie im Anhang. Im Wesentlichen ist es ein Hohlzylinder, in dessen Inneren ein kleinerer Zylinder ist. Die Konstruktion sei aus perfekt leitendem Material. Der grosse Zylinder habe Innenradius rc und Länge l, der kleine Zylinder (der auf dem "Boden" leitend befestigt ist) habe Länge l-d und den Aussenradius rr. Also sowas wie im Photo. Nun möchte ich im Innern dieser Struktur die Wellengleichung lösen, um bestimmen zu können, wie das elektromagnetische Feld in dieser Anordnung aussehen könnte. Aus numerischen Simulationen weiss ich ungefähr, was ich erwarte, aber ich möchte es noch versuchen, analytisch zumindest Ansatzweise zu lösen. So weit bin ich gekommen: man stellt die Helmholtzgleichung in Zylinderkoordinaten auf (Helmholtz.png) und hat dann für das elektrische Feld die Komponenten Psi_r, Psi_phi, Psi_z, die alle dieser Helmholtzlgleichung genügen müssen. Ich habe nun versucht, das mit einer Separation zu lösen. Ich bin so weit gekommen, dass ich die Gleichung zwar separieren konnte, aber mein Problem ist jetzt, wie ich meine Randbedingungen dort einbringe. Ich habe folgende Randbedingungen gewählt: (Randbedingungen.png) Und die separierten Gleichungen lauten: (separiert.png) (die Abkürzung a ist a^2 = k^2 - k_z^2 ) Fraglich ist nun, was ich da mit den Randbedingungen machen soll. Ich habe mir überlegt, ich versuche zuerst die z-Komponente des elektrischen Felds zu finden, weil für diese weniger Randbedingungen gelten. Und zwar muss diese z-Komponente entlang der Innenwand des äusseren Zylinders verschwinden, und sie muss entlang der Aussenwand des inneren Zylinders verschwinden. Aber wie bringe ich das in meine 3 gewöhnlichen DGLn mit ein? Ich weiss nicht, ob sich mein Problem hier überhaupt analytisch lösen lässt, aber in einem IEEE Paper habe ich in einem Nebensatz gelesen, dass es möglich sei, und mich interessiert die Lösung. Daher wollte ich es versuchen, habe jetzt eine weile geknobelt und komme nicht ganz weiter ;-) Dass die letzte DGL die Lösung R = J_n(a * rho) haben sollte, habe ich schon heraus gefunden, es ist die Besselfunktion 1. Gattung. Aber was mache ich mit den Randbedingungen für z? PS: Gleichungen als Bilder angefügt, weil LaTeX noch nicht wieder zu funktionieren scheint.
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Die gezeigte Form ist ein Resonator. Der uebliche Mode hat das E-Feld senkrecht im Luftspalt, und das H-Hals im, entlang dem umlaufenden Kanal, rotationssymmetrisch zur Bauteilachse. Die Wandstroeme sind in der Schnittebene, senkrecht zum gezeigten Schnitt, und umfassen zusammen mit dem Verschiebungsstrom durch den Luftspalt das H-Feld. Die Verschiebungsstroeme sind auch rotationssymmetrisch zur Bauteilachse. Das erste was nicht analytisch geloest werden kann, ist das E-Feld im Luftspalt. Ich wuerde erst mal einen Sektor mit dem Winkel dphi nehmen, der Wandstrom zusammen mit dem Verschiebungsstrom laeuft innerhalb des Hohlraumes rund rum und sonst nirgendwo, dh kein Austausch mit ausserhalb des Sektors. Das Problem ist geloest durch eine periodische Fortsetzung davon auf 2Pi. Aussen haben wir mehr Flaeche, daher ist dort die Stromdichte geringer. dH das H-Feld in innen groesser als aussen im Sektor. Falls erwuenscht, koennte ich Resultate einer FEM Simulation hier einstellen.
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Hallo hallo, vielen Dank für das Angebot mit der FEM-Simulation. Ich habe bereits selber eine FEM-Simulation gemacht und weiss eigentlich, wie das Resultat aussehen wird. Ich möchte aber versuchen, es analytisch zu lösen um a) einen Vergleich mit der Simulation machen zu können b) um analysieren zu können, welche höheren Moden es noch gibt und wie diese aussehen. Ich glaube aber mittlerweile, dass mein Separationsansatz nicht richtig ist, ich denke mit diesen Gleichungen ist es gar nicht möglich, die Randbedingungen allesamt zu erfüllen - ich müsste also vmtl. meinen Separationsansatz ändern, aber wie?
Betrachte die Wansstroeme fuer einen duennen Sektor. Die Wandstrome sind dann in der Ebene, Das H-Feld senkrecht dazu. Das E-Feld im Spalt nimmst du mal in erster Naeherung als senkrecht zum Luftspalt an. Wenn du dann die radiale Stomdichte gegen das Zentrum des Luftspaltes betrachtest, muss die dann dort gegen Null gehen, weil die Schichtdichte gegen Null geht. Ich wuerde die E-Felddichte im Luftspalt erst mal als konstant pro Oberflaeche annehmen. Dh der die Wandstromdichte nimmt vom Zentrum her quadratisch zu, hat das Maximum am ausseren ende des Luftspaltes, und nimm dann wieder quadratisch ab, wie die Flaeche zunimmt. Dann rechnet man aufgrund dieser Stromdichte das H-Feld. Vom H-Feld dann wieder die Stromdichteverteilung, bis es hinreichend konvergiert hat. Alles auf einem duennen Sektor.
Hallo hallo, ich habe mich nochmals mit dem Problem befasst. Ich habe aber meine Geometrie vereinfacht. Der kleine Zyliner in der Mitte soll nun durchgehend sein, d.h. die Geometrie ist ähnlich wie ein Koaxkabel, das an beiden Enden metallisch verschlossen ist. In dieser Geometrie will ich nun die Helmholtzgleichung lösen. Meine Lösung für das elektrische Feld ist im Bild e_feld.png ersichtlich. Damit das nun funktioniert, müssen aber noch die unbekannten Koeffizienten c gefunden werden. Dazu bilde ich davon die Divergenz. Die zugehörige Gleichung ist in divergenz_1.png ersichtlich. Wenn ich das ausrechne, erhalte ich das Resultat in divergenz_2.png, weil die Divergenz des E-Felds ja 0 sein soll. Die beiden Konstanten a und b sind bekannt (sie hängen von den Radien der beiden Zylinder ab). Die Zahl n ist eine Modennummer und ist ebenfalls bekannt. Sie muss ganzzahlig sein. Der Wert k_z ist auch bekannt, er hängt von der Länge des Zylinders ab. Mein Problem ist jetzt: kann ich irgendwie durch einen Koeffizientenvergleich die c so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist? meiner Meinung nach müsste das gehen, ich kenne mich aber zu wenig gut mit Besselfunktionen aus.
Tragen die Koeffizienten c4 und b physikalische Lösungen bei? Ich frage, weil Y_n einen Pol bei 0 hat und ich nicht sehe, was verhindert, dass für entsprechende Argumente auch E singulär wird -- es sei denn c4 = b = 0.
Hallo Johann, definitiv braucht man auch Y_n. Im Anhang ein Auszug aus dem "Harrington" wo es um koaxiale Wellenleiter geht. Dort wird die allgemeine Lösung angegeben. Der Punkt ist, dass der Radius rho nur von r bis R geht, d.h. man kommt gar nie in die Nähe des Pols von Y_n, weil man im Innern des grossen Zylinders ja noch einen kleinen Zylinder hat. Der Koeffizient b hängt vom grossen und vom kleinen Radius ab. Er muss (zusammen mit dem Koeffizienten a) so gewählt werden, dass eine Nullstelle von a*J_n + b*Y_n bei rho = r ist, und die andere Nullstelle muss bei rho = R sein. PS: in dem Buch wird die Besselfunktion zweiter Gattung mit N bezeichnet statt mit Y.
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Tobias P. schrieb: > Der Punkt ist, dass der Radius rho nur von r bis R geht, d.h. man > kommt gar nie in die Nähe des Pols ah, ok. Zu den Koeffizienten: c0 kann o.E. zu 1 gesetzt werden wenn c1 und c2 entsprechend angepasst werden. Dito für c5, das in c6 und c7 gesteckt werden kann. Für die Lösung ist nur das Verhältnis E_z:E_rho:E_phi maßgeblich (bzw. das Verhältnis E_rho:E_phi weil E_z=0 ist). Die absolute Größe von E ist wegen der Linearität weniger interessant und wird i.d.R. als Amplitude bezeichnet. Man könnte E durch Anpassung von c1, c2, c6, c7 z.B. so normieren, dass c7=1 ist. Problem ist dann aber der Fall c7=0, daher ist besser c6²+c7²=1 zu verlangen falls das eine Vereinfachung bringt. Jedenfalls ist c6²+c7²=1 nur noch 1-dimensional (über R), und man könnte es parametrisieren als c6 = sin u und c7 = cos u. Ebenso kann c1²+c2²=1 gesetzt werden, den dazu notwendigen Normierungsfaktor schiebt man einfach in c3 und c4 rein. Das alles verringert die Dimension des Parameterraumes (incl. a und b) schon mal von 10 auf 6; vielleicht ist das ja hilfreich. Etwas andere Sicht auf den Term c6·sin(n·phi) + c7·cos(n·phi) ist, diesen darzustellen als sin(n·phi-phi_0) wobei phi_0 wegen der Rotationssymmetrie ohne weitere Randbedinungen frei wählbar ist. Bei der Vorgabe (konsistenter) Randbedingungen wird die Formel jedoch i.d.R. nicht lösbar sein, oder anders ausgedrückt: die Koeffizienten sind durch die Randbedingungen überbestimmt. Grund ist, dass man durch einen (Separations)Ansatz Lösungen verliert. War der Ansatz nicht zu restriktive und ist das Problem linear, dann erhält man als Lösungen zunächst linear unabhängige Eigenfunktionen, die den Hilbert-Raum aller durch den Operator gegebenen Lösungen aufspannen. Um die Randbedinungen zu erfüllen, reicht dann eine einzelne Eigenfunktion nicht aus; sondern es braucht eine Linearkombination von Eigenfunktionen, um die Randbedingungen zu befriedigen. Das ist dann eine (un)endliche Summe von Eigenfunktionen mit geeigneten Koeffizienten (bei abzählbar vielen Eigenfunktionen) oder eben ein entsprechendes Integral.
Das sehe ich auch so, dass c1 und c2 bzw. c6 und c7 so wählen kann, dass c_i^2 + c_{i+1}^2 = 1 ist. Bei meinem Separationsansatz habe ich jeweils die allgemeinen Lösungen der separierten gewöhnlichen DGLn genommen, d.h. meiner Meinung nach sind da alle Lösungen mit drin. Wieso das Problem unlösbar sein soll, sehe ich da erstmal nicht ein, aber es kann natürlich sein :-) was weniger toll wäre. Wie geht man da weiter vor?
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Hallo, nochmal was interessantes. Ich habe das jetzt versucht über das Vektorpotential zu lösen. Und zwar habe ich ein A gesucht, welches die Helmholtzgleichung erfüllt. Das habe ich dann als z-Komponente des Vektorpotentials benutzt. Zwei verschiedene E-Felder erhält man dann mit E_1 = rot( rot( A ) ) sowie E_2 = rot( A ). Ich habe das irgendwo gelesen, dass man das machen kann. Ich frage mich nur grade: mein E_1 oder mein E_2 müssen ja beide die Helmholtzgleichung auch erfüllen. Wenn A eine Lösung der Helmholtzgleichung ist, sind es E_1 und E_2 dann auch?
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