Partialbruchzerlegung bei Komplexer Nullstelle

[axi (Gast)]

Wie rechnet man bei einer komplexen Nullstelle eine PZB? Habe eineiges 
probiert führt nichts zum richtigen Weg.

hier die Funktion:

4*s/((s^2+2*s+8)*(s-1))

[axi (Gast)]

A*s+B/(s^2+2*s+8) +C/(s-1)

soweit komme ich habe irgendwo mal was von einsetzen von verschiedenen 
werten gelesen? Wieviele werte, und welche werte und warum!?

[GuybrushThreepwood (Gast)]

axi schrieb:
> A*s+B/(s^2+2*s+8) +C/(s-1)
>
> soweit komme ich habe irgendwo mal was von einsetzen von verschiedenen
> werten gelesen? Wieviele werte, und welche werte und warum!?

Hinter einer PZB steckt keine komplizierte Theorie. Angenommen, dein 
Ansatz ist richtig, dann setzt du ihn mit deinem ursprünglichen 
Ausdruck, den du ersetzen möchtest, gleich:

4*s/((s^2+2*s+8)*(s-1)) = Dein Ansatz

Jetzt einfach nur vergleichen. Es bietet sich hier an, erst mal mit 
(s^2+2*s+8)*(s-1) zu multiplizieren.

Wenn du das gemacht hast, siehst du ja, dass nur ein 4s übrig bleiben 
darf.
A, B und C musst du hier also bloß so wählen, dass es passt. Ggf. 
schreibst du eben einfach ein kleines lin. Gleichungssystem auf.
(Alle s^2-Terme müssen sich gegenseitig auslöschen sowie alle Terme ohne 
s, denn es soll ja nur 4s ergeben.)

[nfet (Gast)]

-(4 s)/(11 (s^2+2 s+8))+32/(11 (s^2+2 s+8))+4/(11 (s-1))

wow, das war einfach:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions++4*s%2F((s%5E2%2B2*s%2B8)*(s-1))

Heutzutage muss sich niemand mehr wirklich mit sowas rumärgern. Zum 
Rechnen wurden Computer erfunden!

[nfet (Gast)]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions++4*s%2F((s%5E2%2B2*s%2B8)*(s-1))

entschuldige, das Forum zerstört den Link

[Axi (Gast)]

Aber das brimgt mich nicht weiter da es sowas nicht in einrlaplace 
tabelle gibt also sowas > A*s+B/(s^2+2*s+8)

Ich möchte ja die dgl lösen und zurück in den zeitbereich 
transformieren. Ich kann es bei doppeter ns oder bei dem c/s-1 weiss ich 
was zu tun ist wie ist denn das vorgehen mit komplexer nullstelle so das 
es immer klappt?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Das sollte weiterhelfen:

  http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/laplace-transformation-zeitkontinuierlicher-signale/ruecktransformation/ruecktransformation-ueber-partialbruchzerlegung.html

[GuybrushThreepwood (Gast)]

Kleiner Tipp: Dein Ansatz ist falsch, bzw. nur "fast richtig". Guck mal 
wegen Klammern.

Wenn du es aber so machst, wie ich dir vorgeschlagen habe, kommst du von 
alleine auf die Lösung. Mehr als 5min Arbeit ist das nicht.

[Axi (Gast)]

Yalu X. schrieb:
> Das sollte weiterhelfen:
>
>   http://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeit...

Warum rd hier bei punkt 4.1.3.9 die null eingesetzt ich verstehe es 
einfach nicht wer was warum einsetzt.

@Guybrush habe mal ein bild hochgeladen so wie ich das normallerweise 
mache aber am ende stet dsnn immernoch der polynom zweizen grades im 
nenner, das ist die Vorgehensweise die ich immer ausser bei komplexen NS 
klappt.

[Forist (Gast)]

axi schrieb:
> PZB

AküFi?

[GuybrushThreepwood (Gast)]

Warum z.B. A+B=0 sein muss? Weil doch sonst dein s^2 nicht verschwindet. 
Einfach nur Vergleichen.

...Sieht doch schon fast nach der Lösung aus, die auch der Kollege hier 
mit Wolfram Alpha raushatte. Fass das nochmal ordentlich zusammen.

Ok, jetzt verstehe ich, wo dein Problem liegt.
Dein Polynom zweiten Grades im Nenner zerlegst du am besten in zwei 
Faktoren s^2+as+b = (s-c)*(s-d) und machst damit einfach nochmal eine 
Partialbruchzerlegung.

[LostInMusic (Gast)]

>Dein Polynom zweiten Grades im Nenner zerlegst du am besten in zwei
>Faktoren s^2+as+b = (s-c)*(s-d) und machst damit einfach nochmal eine
>Partialbruchzerlegung.

Nein. Es geht um s² + 2s + 8 und das hat keine reellen Nullstellen und 
damit bleibt das in der PBZ so stehen.

[axi (Gast)]

LostInMusic schrieb:
>>Dein Polynom zweiten Grades im Nenner zerlegst du am besten in
> zwei
>>Faktoren s^2+as+b = (s-c)*(s-d) und machst damit einfach nochmal eine
>>Partialbruchzerlegung.
>
> Nein. Es geht um s² + 2s + 8 und das hat keine reellen Nullstellen und
> damit bleibt das in der PBZ so stehen.

Genau das ist mein Problem, wie transformiere ich dann diesen Teil 
zurück?
Also (B*S+C)/(S^2+2*s+8) nach dem ich die werten eingesetzt habe die ich 
durch koefizientenvergleich bekommen habe für A, B und C.

[LostInMusic (Gast)]

@axi: Schlepp doch um Himmels willen nicht die dämliche 4 durch die 
ganze Rechnung. Führ die PBZ von s/((s^2+2*s+8)*(s-1)) durch und vergiss 
nicht, am Ende das Ergebnis mit dem Faktor 4 zu verzieren.

[LostInMusic (Gast)]

>wie transformiere ich dann diesen Teil zurück?

Dazu schreibst Du s² + 2s + 8 = s² + 2s + 1 + 7 = (s + 1)² + 7.

Für Brüche der Form  1/((s + ...)² + ...) und s/((s + ...)² + ...) 
findest Du Einträge in Deiner Laplace-Trafo-Tabelle.

[Axi (Gast)]

Jetzt macht es Sinn. Aber wie sieht man sowas, gibt es vielleicht noch 
sndere solcher Standard tricks die man sich merken sollte?

[LostInMusic (Gast)]

Freut mich.

>noch sndere solcher Standard tricks die man sich merken sollte?

Jede Menge. Um alle kennenzulernen, brauchst Du ein ganzes Studium... 
:-)