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Forum: Offtopic Geometrie Lenkung Dreirad / drei Kreise


Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Hallo erst mal ans Forum, ich bin neu hier, finde die Artikel und 
Diskussionen interessant, habe aber außer einem elementaren 
Wendekreis-Thread zu meinem konkreten Problem noch nichts gefunden.

Ich stehe grade auf dem Schlauch. Ich habe ein Dreirad-Auto mit Arduino, 
mit zwei getrennt angetriebenen Hinterrädern und einem lenkbaren 
Vorderrad.

Wenn ich einen Lenkwinkel \alpha einstelle, entsteht natürlich ein 
Kreis. Also genauer gesagt drei Kreise, für jedes Rad eins. Wie liegen 
aber diese drei Kreise?

Konkret brauche ich den Geschwindigkeitsunterschied der Hinterräder bei 
gegebenem Lenkwinkel.

Ich bin nicht mal wirklich so weit vorangekommen, bei kleinen als gerade 
angenommenen Teilbewegungen (also drei Strecken) die Richtungen der 
Hinterräder rauszukriegen, wenn das Vorderrad eine Einheit in seine 
Richtung gerade fährt. Den Rest würde ich vermutlich mit Ableitung / 
Grenzwerten rausbekommen.

Ganz konkret reicht mir auch eine Faustformel Winkel -> Tempodifferenz, 
auf dem AVR werde ich eh keine genaue Sinusfunktion einbauen und die 
E-Motoren drehen schon irgendwie. Aber um nicht sinnlos Strom zu 
verpulvern sollten sie schon auf den Unterschied eingehen.

Bin für jeden Tip dankbar, kann auch komplexer sein, und eigentlich habe 
ich auch kein Problem mit höherer Mathematik.

Gruß
Marco

Autor: Werner F. (Gast)
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Hallo,
das was Du brauchst ist ein Differenzialgetriebe mit einem Antrieb für 
die Hinterräder.
Oder treibe nur ein Hinterrad an. Das wurde bei den ersten Autos so 
gemacht, als das Differenzialgetriebe noch nicht erfunden wurde.

MfG. Zeinerling

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Hm, danke für die schnelle Antwort!

Aber zu jedem festem Winkel gibt es ja eine konstante 
Geschwindigkeitsdifferenz, und da ich über den Arduino jedem Motor ganz 
einfach eine Geschwindigkeit geben kann, brauche ich "nur" noch diese 
Umrechnung.

Die billigen Motoren sind leider zu schwach, als das ich mit einem 
auskomme, und die nächststärkeren Motoren brauchen dann gleich wieder 
viel teurere oder schwerer zu findende "Verstärker".

Gruß
Marco

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Wie du schon erkannt hast, ist das ganze System überbestimmt, denn du
steuerst die zwei Freiheitsgrade des Fahrzeugs (Translation und
Rotation) mit drei Stellgrößen (Geschwindigkeit der beiden Hinterräder
und Lenkwinkel des Vorderrads).

Werner hat bereits zwei Vorschläge für mechanische Alternativen gemacht,
hier sind noch zwei weitere:

3. Treib das aktiv gelenkte Vorderrad an und lass die Hinterräder passiv
   mitrollen (wie beim Autoscooter).

4. Treib (wie schon jetzt) beide Hinterräder getrennt an und lass das
   Vorderrad passiv mitlenken, indem du es als Nachlaufrolle ausbildest
   (wie beim Einkaufswagen im Supermarkt).

Da die Mechanik aber wahrscheinlich schon feststeht, sind hier Antworten
zu deiner eigentlichen Frage:

> Wie liegen aber diese drei Kreise?

Konzentrisch und so, dass die drei Räder jeweils eine Tangente zum
entsprechenden Kreis bilden.

> Konkret brauche ich den Geschwindigkeitsunterschied der Hinterräder
> bei gegebenem Lenkwinkel.

Die Geschwindigkeiten der einzelnen Räder sind proportional zu den
zugehörigen Kreisradien. Die Kreisradien kannst du leicht anhand einer
Skizze mit den drei Kreisen und etwas Trigonometrie ermitteln. Neben dem
Lenkwinkel α gehen auch die Spurweite b und der Abstand d des Vorderrads
von der Hinterachse in die Berechnung ein.

> Aber zu jedem festem Winkel gibt es ja eine konstante
> Geschwindigkeitsdifferenz

Nicht ihre Differenz ist konstant, sondern ihr Verhältnis.

: Bearbeitet durch Moderator
Autor: Jetzt ist G. (hacky)
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> ..und eigentlich habe ich auch kein Problem mit höherer Mathematik.

Aber trotzdem Probeleme mit trivialer Geometrie ?

Die ungelenkte Hinterachse ergibt eine Gerade, zu der senkrecht sich die 
beiden Hinterraeder bewegen. Das Vorderrad, ohne Schlupf, ergibt eine 
weitere Achse, zu der senkrecht sich das vorderrad bewegt. Schnittpunkt 
der beiden Achsen ist der Drehpunkt, um den sich das Fahrzeug bewegt.

Autor: Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne) Benutzerseite
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Viel einfacher wäre ein elektrisches Differential aka 
Motorreihenschaltung  für die beiden Hinterräder nur eine H-brücke und 
Gleichstrommotore.
I1=I2, U=U1+U2, Kein Schlupf kein Über- oder Untersteuern.

bei zwei Brushlessmotoren müsten die Regler die Kommutation  aus dem 
Ankerwinkel sebst ermitteln  und der Sollwert des 2. Motors aus dem 
Summensollwert und dem Istwert des 1. Motors abgeleitet werden um das 
elektronische Differenzialäquivalent abzubilden.

Namaste

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Das bedeutet, das Vorderrad ist auf dem Wendekreis, und der Mittelpunkt 
des Wendekreises ist auf der gedachten Hinterachse und auf der 
Lenkachse. Bei zu großem Einschlag liegt der Wendekreismittelpunkt 
theoretisch im Fahrzeug (da müsste ich dann vermutlich ein Rad rückwärts 
drehen), ansonsten habe ich ein rechtwinkliges Dreieck zwischen 
Mittelpunkt Hinterachse (im Wendekreis), Vorderrad und 
Wendekreismittelpunkt.

Das hilft schon mal, danke.

Die Änderung der Mechanik ist nicht so einfach, da ich an das Vorderrad 
keinen Antrieb kriege. Die andere Lösungsidee ist auch gut, habe ich 
ausprobiert, aber wegen der leistungsschwachen Motoren leider nicht gut 
genug. Aber auch da braucht man für eine vernünftige Lenkung ja eine 
Vorstellung, wie sich die Verhältnisse der Geschwindigkeiten ändern.

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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OK, wenn die Hinterachse und die Vorderradachse genau auf den 
Mittelpunkt zeigen, ist es wirklich nicht so schwer.

Länge des Autos sei
, Abstand der Hinterräder vom gedachten Achsenmittelpunkt
. Einschlagwinkel
.

Radius des Kreises Vorderachse

Radius des Kreises zur hinteren Mitte

Dann haben wir den linken und den rechten Radius (hier mal Linkslenkung) 
als

Das probier ich mal aus, vermutlich nehme ich noch den Tangens 
auseinander und ersetze durch geeignete Sinus (Integer-Arithmetik).

Auf jeden Fall danke, ich wusste nicht, wie sich die Hinterachse bei dem 
ganzen verhält und wo sie hinzeigt.

: Bearbeitet durch User
Autor: Rahul D. (rahul)
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Der Fachbegriff ist "Momentanpol".

Autor: Werner F. (Gast)
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Yalu X. schrieb:
> Treib (wie schon jetzt) beide Hinterräder getrennt an und lass das
>    Vorderrad passiv mitlenken, indem du es als Nachlaufrolle ausbildest
>    (wie beim Einkaufswagen im Supermarkt).

Das geht auch.
Allerdings sitzt bei einem Auto oder Fahrrad die senkrechte Achse des 
Vorderrads "VOR" der senkrechten Lenkachse, sodass zuerst das Vorderrad 
durch die Kurve fährt. Das restliche Fahrzeug wird dann durch die 
dadurch entstehende Fahwergsgeometrie "zwangsläufig durch die Kurve 
gezogen". Wäre das nicht so, könnte man mit einem Fahrzeug auch keine 
Kurven fahren.
Bei einem Einkaufswagen wird die Kurvenfahrt dadurch eingeleitet, indem 
man durch die Griffstange den Wagen durch die Kurve zwingt. Bei einem 
Auto oder Fahrrad wird die Kurvenfahrt durch die Schrägstellung der 
Vorderräder erzwungen.
An einem Fahrrad kann man das gut sehen. Denn die Vorderradgabel ist im 
unteren Bereich nach vorne gebogen.

MfG. Zeinerling

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Du musst noch aufpassen, wenn α in die Nähe von 90° kommt. Das ist der
Fall, wo das Vorderrad quer steht und das Fahrzeug um den Mittelpunkt
der Hinterachse dreht. Da dann tan(α) sehr groß wird, enstehen
numerische Probleme.

Ein anderer kritischer Fall ist tan(α) ≈ d/s. Das ist der Fall, wo das
Fahrzeug um das linke Hinterrad dreht. Dadurch hat dieses eine
Geschwindigkeit nahezu 0, und damit ist der Faktor zwischen den beiden
Geschwindigkeiten riesig bis unendlich.

Wenn der Lenkwinkelbereich deutlich kleiner ist, sollte das kein Problem
sein. Andernfalls ist es günstiger, die Geschwindigkeit der Hinterräder
nicht auf das jeweils andere Rad zu beziehen, sondern bspw. auf die
Geschwindigkeit des (unangetriebenen) Vorderrads.

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Danke für die Grenzfälle, hatte ich als Mathematiker auch gleich 
durchgerechnet, bei mir sind das 63° für Hinterachse.

Da ich sin, cos und tan nicht wirklich abbilden will im Arduino 
(Rechenzeit/Speicherplatz), habe ich versucht, den tan zu approximieren.

Bis mir dann aufgefallen ist, dass ich doch gleich mein gesamtes 
Verhältnis approximieren könnte.

Herausgekommen ist dann ein sehr erfreuliches

Mal das Sheet:
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1aSdWZZiLQh...

Wenn man sich das kopiert, kann man die eigene Geometrie auch eintragen.

@Forum: falls diese am Ende ja doch nicht ganz naheliegende  Lösung 
irgendwo anders interessant sein sollte, kann ich das Ganze auch noch 
mal "didaktischer" aufbereiten, dann bitte Bescheid geben.

Das Auto selbst sind nur zwei Getriebemotoren mit Holzknubbeln in 
Legoräder "montiert", eine L9110 H-Bridge, ein TowerPro MicroServer 9G 
und ein Arduino. Mit Infrarot fernbedient (Jaja, ich weiß, alles andere 
als optimal, aber 2,45 Euro inklusive Sensor ist für ein allererstes 
Bastelprojekt im fortgeschrittenen Alter einfach ein Einstieg). Plus 
drei alte Kugellager eines Skateboards, ein Schalter und eine Batterie.

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Zwölf M. schrieb:
>> ..und eigentlich habe ich auch kein Problem mit höherer Mathematik.
>
> Aber trotzdem Probeleme mit trivialer Geometrie ?

Ja, vor allem da ich nicht wusste, wie die (virtuelle) Hinterachse bei 
dem Ganzen steht. Da hilft auch kein Mathe-Diplom. :-P

Autor: Thomas E. (tmomas)
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Marco G. schrieb:
> Wenn ich einen Lenkwinkel \alpha einstelle, entsteht natürlich ein
> Kreis. Also genauer gesagt drei Kreise, für jedes Rad eins. Wie liegen
> aber diese drei Kreise?
>
> Konkret brauche ich den Geschwindigkeitsunterschied der Hinterräder bei
> gegebenem Lenkwinkel.

Die Traktrix könnte ein Startpunkt sein für weitere Berechnungen.
Am Beispiel der Anwendung im Straßenbau wird der Zusammenhang zu deinem 
Problem IMHO am deutlichsten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Traktrix#Anwendung_i...

Autor: Marco G. (flaschenpost)
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Winfried J. schrieb:
> Viel einfacher wäre ein elektrisches Differential aka
> Motorreihenschaltung  für die beiden Hinterräder nur eine H-brücke und
> Gleichstrommotore.
> I1=I2, U=U1+U2, Kein Schlupf kein Über- oder Untersteuern.

Das klingt sehr verlockend, aber ich verstehe nicht, wieso das 
funktioniert.

Hier mal das Verständnis mit billiger Schulphysik.

Wenn ich zwei simple Gleichstrommotoren in Reihe schalte und eine 
Linkskurve fahre, wächst der mechanische Widerstand des linken Motors, 
weil das linke Rad langsamer fährt. Damit wächst ja auch der elektrische 
Widerstand. Das wiederum sollte doch dazu führen, dass dort mehr 
Spannung abfällt und damit mehr Leistung - mir klingt das eher nach 
einer sehr cleveren Geradeaus-Stabilisierung auf schwierigem Gelände.

Ausprobieren kann ich es aber leider nicht, da meine 9V Batterie die 
zwei Motoren in Reihe nicht auf Trab bringt.

> bei zwei Brushlessmotoren müsten die Regler die Kommutation  aus dem
> Ankerwinkel sebst ermitteln  und der Sollwert des 2. Motors aus dem
> Summensollwert und dem Istwert des 1. Motors abgeleitet werden um das
> elektronische Differenzialäquivalent abzubilden.

Das klingt nach irgendwie geregelten Motoren, die habe ich bisher nicht 
angeschaut. Meine Motoren sind Fingerkuppengroß und ganz einfache 
Gleichstrommotoren, denen ich über die H-Bridge und PWM einfach 
unterschiedlich viel Spannung gebe. Wahrscheinlich ist die PWM auch weit 
davon entfernt, linear in die Geschwindigkeit einzugehen.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Marco G. schrieb:
> Wenn ich zwei simple Gleichstrommotoren in Reihe schalte und eine
> Linkskurve fahre, wächst der mechanische Widerstand des linken Motors,
> weil das linke Rad langsamer fährt. Damit wächst ja auch der elektrische
> Widerstand.

Nein, umgekehrt: Wird der Motor abgebremst, sinkt sein Widerstand.

Bei einem idealen DC-Motor (also ohne ohmsche Wicklungswiderstände, ohne
magnetische Verluste, ohne Lagerreibung usw.) ist das Drehmoment
proportional zum Strom und die Drehzahl proportional zur Spannung.

Schaltet man zwei dieser Motoren in Reihe, ist der Strom und damit das
Drehmoment bei beiden gleich, genau wie das auch beim mechanischen
Differential der Fall ist.

Des Weiteren ist die Summe der beiden Spannungen gleich der angelegten
Spannung. Bei konstanter angelegter Spannung ist also die Summe der
beiden Drehzahlen konstant. Beim mechanischen Differential ist bei
konstanter Antriebsdrehzahl die Summe der beiden Abtriebsdrehzahlen
ebenfalls konstant. Auch hier haben wir also gleiches Verhalten.

Bei einer Kurvenfahrt wird das innere Rad abgebremst, d.h dessen
Drehzahl sinkt. Damit sinkt auch die Spannung am inneren Motor. Bei
konstanter Gesamtspannung muss dadurch die Spannung am äußeren Motor und
damit auch dessen Drehzahl steigen. Das Ergebnis ist eine (zumindest
theoretisch) schlupffreie Kurvenfahrt.

Da reale Motoren verlustbehaftet sind, stimmt dort diese Rechnung nicht
exakt, aber wahrscheinlich mit einer für deine Anwendung ausreichenden
Genauigkeit. Ich würe es einfach mal ausprobieren.

Autor: Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne) Benutzerseite
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exakt, wie Yalu es beschrieben hat war es von mir gemeint. Der 
mechanische Widerstand am einen Motor bewirkt eine Drehzahlerhöhung am 
anderen Motor.
Bei Motoren mit gleichen ohmschen Verlusten kompensiert sich die 
schaltung selbst.

Wenn du nur vorwärts fahren willst genügt ein Akku mit der doppelten 
Nennspannung der Motoren (+1V für Verluste am Leistungstransistor/ 
Darlingtontransistor)  den Transistor benutzt du als Lowsideswitch und 
machst die Geschwindigkeit via PWM.

Die Fahrtrichtung kannst du dann mit einem Relais mit 2 
Wechslerkontaktsätzen( Wendepolschaltung) umschalten aber bitte nur im 
Stilltand sonst brennen die Kontakte schnell ab.

Namaste

Autor: Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne) Benutzerseite
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Marco G. schrieb:
> Damit wächst ja auch der elektrische
> Widerstand.

Nein er sinkt, da die Gegenspannung welche durch die (drehzahlabhängige) 
Gegeninduktion aufgebaut wird sinkt.
Aber das ist Theorie. Sie passt und wichtig für dich ist, dass es 
funktioniert.

Namaste

Autor: Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne) Benutzerseite
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Übrigens funktioniert das elektrische differenzial auch für ein seriöses 
Vierradfahrzeug  mit gelenkter Vorder-(Hinterachse)Achse.

Namaste und viel spass beim spielen damit.

Autor: Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne) Benutzerseite
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Einziger Nachteil der Sache wie beim mechanischen differential auch 
sinkt der Reibwert ein einem Rad so dreht dieses durch und das Ander 
bekommt kaum Drehmoment.

Namaste

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