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Forum: Offtopic Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls von zwei Pumpen


Autor: Holger D. (hodoe)
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mmm. Wo ist meine Frage hin. Also noch einmal...


Moin,

ich habe 15 Pumpen, die alle 15 unterschiedliche Becken leer pumpen. Das 
Wasser dieser 15 Pumpen fließt nicht zusammen. Alle sind somit nicht von 
einander in irgend einer Art und Weise abhängig. Als Betreiber der 
Pumpen kann ich nur sagen, dass hin und wieder eine defekt ist. Es kam 
aber noch nicht vor, dass zwei zeitgleich defekt waren.

Die Verfügbarkeit auf ein Jahr gesehen beträgt 97 % für alle 15 Pumpen.

Nun meine Frage: Kann man die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall von 2 
von 15 Pumpen berechnen, wenn man lediglich die Gesamtverfügbarkeit von 
97 % kennt?


Gruß
Holger

Autor: Mani W. (e-doc)
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Meiner Meinung nach kannst Du wahrscheinlich zwei Pumpen auf
Lager legen für den Fall der Berechnungslosigkeit...


Was soll eine Berechnung bringen?

Wann theoretisch die nächste Pumpe ausfällt?


Es gibt Pumpen, die laufen jahrelang Tag und Nacht und hin und
wieder ist eine davon dahin, wann das passiert ist leider nicht
vorherzusehen...

Autor: Joe F. (easylife)
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Ausfallwahrscheinlichkeit 1 Pumpe = 0.03
Ausfallwahrscheinlichkeit 2 Pumpen = 0.03 * 0.03 = 0.1%
Oder anders ausgedrückt: Verfügbarkeit von mindestens 14 Pumpen = 99.9%

Soweit der Mathematiker.

Der Praktiker sagt: eine Pumpe fällt nicht einfach so aus.
Wenn sie ausfällt gibt es meistens einen Grund, z.B. Blitzeinschlag, 
Serienfehler, verunreinigtes Pumpmedium etc.
Und das erhöht in diesem Moment schlagartig die Wahrscheinlichkeit für 
den Ausfall weiterer Pumpen. Daher stimmt so eine Berechnung eh nie.

: Bearbeitet durch User
Autor: Rick McGlenn (rick-nrw)
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Joe F. schrieb:
> Ausfallwahrscheinlichkeit 1 Pumpe = 0.03
> Ausfallwahrscheinlichkeit 2 Pumpen = 0.03 * 0.03 = 0.1%
> Oder anders ausgedrückt: Verfügbarkeit von mindestens 14 Pumpen = 99.9%

Vorsicht, je nach dem, wie genau man das sieht.
97% ist die Verfügbarkeit aller 15 Pumpen!

3% ist die Ausfallwahrscheinlichkeit von MIND. 1 Pumpe,
also eventuell auch 2,3,4 oder ev. aller Pumpen.

Die Ausfallwahrscheinlichkeit NUR einer Pumpe liegt etwas kleiner, bei 
0,0292.

1 Pumpe 0,0292
2 Pumpen 0,0292*0,0292
3 Pumpen 0,0292*0,0292*0,0292
4 Pumpen ....
.
.
15 Pumpen .....

Die Summe aus allen Prudukten sollte dann die vorgegebenen  0,03 sein.

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit das genau 2 Pumpen ausfallen bei:
0,0292*0,0292=0,085%

Ist das eine Matheaufgabe oder ein reales Problem?

: Bearbeitet durch User
Autor: A. K. (prx)
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Hausaufgabe.

Autor: Alexander T.-Z. (Firma: Arge f. t. abgeh. Technologie) (atat)
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Holger D. schrieb:

Vorweg, ich finde diese Angabe mal wieder denkbar dämlich, da sie 
wichtige Informationen oder Annahmen nicht enthält und verschiedene 
Themen mischt.

> ich habe 15 Pumpen, die alle 15 unterschiedliche Becken leer pumpen.

Hier fehlt schon mal jeder Hinweis darauf, ob diese Becken jemals leer 
werden und was dann passiert. Haben diese Pumpen vielleicht 
unterschiedliche Duty Cycles oder sind diese von Witterung und anderen 
Faktoren abhängig? Dann kommt man nämlich in die Thematik von erhöhter 
Fehleranfälligkeit beim Anlaufen hinein und das ist erstens ein 
Himmelfahrtskommando und zweitens fehlen dafür die Angaben. Daher:

"1. Da die Angabe nicht spezifiziert, mit welchem Duty Cycle die Pumpen 
betrieben werden und wie sich der auf deren Standzeit auswirkt, wird 
angenommen, daß alle Pumpen im Dauerbetrieb laufen sollen."


> Das
> Wasser dieser 15 Pumpen fließt nicht zusammen. Alle sind somit nicht von
> einander in irgend einer Art und Weise abhängig.

Ob das Wasser zusammenfließt oder nicht wird die Pumpen wenig kümmern 
(überhaupt frage ich mich, wie das Setting ausschauen soll - hat diese 
Stadt 15 Kläranlagen?). Wesentliche Faktoren aber, die einen allfälligen 
Ausfall begünstigen würden, wie Spannungsspitzen, Vibrationen, 
Temperatureinflüsse, werden nicht erwähnt.

Daher folgt der zweite Satz keineswegs zwingend aus dem ersten. Da der 
zweite Satz aber als wahr gegeben ist, ist die Implikation auch völlig 
wurscht, man hätte den ersten auch ersatzlos weglassen können. 
Interpretieren wir also, worauf die Angabe mit ihrer linkischen 
Darstellungsweise vermutlich hinausmöchte:

"2. Die Angabe enthält keine umfassenden Informationen über Faktoren, 
die zu Ausfällen führen können und mehrere Pumpen gemeinsam betreffen. 
Es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, daß diesem Punkt für einen 
realen Einsatz Beachtung geschenkte werden muß. Die Aussage, die Pumpen 
wären in ihrem Betrieb voneinander unabhängig, wird daher zum Erlangen 
einer vorläufigen Einschätzung insofern aufgegriffen, als unter 
ausdrücklichem Hinweis auf die bestehende Unschärfe Ausfälle von Pumpen 
als unabhängige Ergeignisse im Sinne der Stochastik betrachtet werden."


> Als Betreiber der
> Pumpen kann ich nur sagen, dass hin und wieder eine defekt ist. Es kam
> aber noch nicht vor, dass zwei zeitgleich defekt waren.
>
> Die Verfügbarkeit auf ein Jahr gesehen beträgt 97 % für alle 15 Pumpen.

"3. In Ermangelung gesicherter oder gerantierter Spezifikationen über 
das Aufallsverhalten der Pumpen wird in der vorliegenden Abschätzung auf 
einen einjährigen Erfahrungszeitraum zurückgegriffen. Es wird 
ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die Zuverlässigkeit technischer 
Komponenten nicht als konstant angesehen werden kann, sondern stets 
einem zeitlichen Verlauf unterliegt und daher vergangene Erfahrungen 
nicht zur Prognose zukünftigen Verhaltens herangezogen werden sollten. 
Mit diesem Vorbehalt wird daher den folgenden Betrachtungen eine 
Verfügbarkeit des Gesamtsystems aller n = 15 Pumpen von Vsys = 0,97 
zugrundegelegt."


> Nun meine Frage: Kann man die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall von 2
> von 15 Pumpen berechnen, wenn man lediglich die Gesamtverfügbarkeit von
> 97 % kennt?

Klar: Pfzwei = 1. Natürlich werden irgendwann 2 Pumpen ausfallen, das 
ist ein sicheres Ereignis!

Hier werden zwei Dinge gemischt: Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls - das 
ist, wenn die Pumpe "Zgroink!" macht und auf Störung geht und damit ein 
instantanes Ereignis - und Verfügbarkeit die angibt, ob mit welcher 
Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen, zufälligen Beobachtungszeitpunkt 
die Pumpe funktioniert.

Wenn man sich nun bemüht, dem unkohärenten Gestammel aus der Angabe 
einen Sinn zu entnehmen, kann die Frage doch noch gerettet werden.

"3. Die Frage nach einer Ausfallswahrscheinlichkeit ist im vorliegenden 
Zusammenhang in zweierlei Hinsicht problematisch: Sie ist ohne Vorgabe 
einer Menge von Beobachtungen oder eines Zeitraums nicht definiert; 
darüberhinaus fehlen Angaben über MTTR, die einen Rückschluß von der 
Verfügbarkeit auf die Ausfallshäufigkeit und danach die 
Ausfallswahrscheinlichkeit ermöglichen würden.

Es wird daher angenommen, daß mit der Auftraggeber dieser Aufgabe 
tatsächlich erfahren möchte, wie hoch unter Heranziehung der obigen 
Annahmen die Wahrscheinlichkeit Pf2 ist, daß zu einem beliebigen, 
zufälligen Zeitpunkt genau zwei Pumpen ohne Funktion sind."


4. Lösung

a. Verfügbarkeit V1 einer Pumpe

Da für das Funktionieren des Gesamtsystems die Funktion jeder Pumpe 
erforderlich ist, ergibt sich die Gesamtverfügbarkeit aus dem Produkt 
der Verfügbarkeiten der Komponenten.

Vsys = V1 ^ n

=> V1 = Vsys ^ (1/n)

V1 ~ 0,993

(n: Anzahl der Pumpen im System)


b. Fehlerwahrscheinlichkeit einer Pumpe

Die Wahrscheinlickeit Pf1, daß eine gegebene Pumpe zu einem beliebigen, 
zufälligen Zeitpunkt ohne Funktion ist, folgt trivial aus der 
Verfügbarkeit.

Pf1 = 1 - V1

Pf1 ~ 0,007


c. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in zwei gegebenen Pumpen 
gleichzeitig

Der Ausfall von genau zwei Pumpen a und b bedeutet, daß die Pumpen a und 
b ausgefallen sind und die übrigen Pumpen funktionieren. Daraus ergibt 
sich eine Wahrscheinlichkeit Pf(a,b) von:

Pf(a,b) = Pf1  Pf1  V1 ^ (n-2).

Pf(a,b) ~ 0,0000447

Interpretation: Da Pf1 sehr klein und V1 sehr nahe bei 1 ist, war Pf1 ^ 
2  0,000049 ~ als gute Näherung zu erwarten. Die Unschärfe der Angabe, 
ob die Wahrscheinlichkeit der Fehlfunktion von genau zwei oder 
mindestens zwei Pumpen gefordert ist, fällt daher nicht ins Gewicht, 
zumal andere Faktoren die Genauigkeit der vorliegenden Abschätzung viel 
stärker beeinträchtigen.


d. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in genau zwei Pumpen

Der Ausfall von genau zwei beliebigen Pumpen kann durch jede Kombination 
von Pumpen a und b (mit a != b) erzielt werden, sodass sich die 
Wahrscheinlichkeit Pf2 durch Oder-Kombination berechnet:

1 - Pf2 = ( 1 - Pf(1,2) ) * ( 1 - Pf(1,3) ) * ... * ( 1 - Pf(14, 15) )

  = ( 1 - Pf(a,b) ) ^ ( n über 2 )


=> Pf2 = 1 - ( 1 - Pf(a,b) ) ^ ( n über 2 )


Pf2 ~ 1 - ( 1 - 0,0000447 ) ^ 105 )

somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, daß zu einem beliebigen, 
zufälligen Zeitpunkt genau zwei Pumpen ausgefallen sind

=============
Pf2 ~ 0,00468
=============
"

So tät ich an die Geschichte herangehen, wenn ich mich noch irgendwie an 
das, was ich vor Jahrzehnten mit Verfügbarkeit und MTBF und Stochastik 
lernen mußte, erinnern würde und wenn ich mich damals schon getraut 
hätte, den idiotischen Angaben in Schule und Uni die passenden Antworten 
entgegenzuwerfen.

Autor: Thomas W. (thomas_v2)
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An welcher Stelle spielt die Ausfalldauer / Reparaturdauer einer 
defekten Pumpe in deinen Ausführungen mit hinein?
Denn es macht einen Unterschied, ob eine defekte Pumpe innerhalbe einer 
halben Stunde z.B. durch ein Ersatzaggregat getauscht wird und dann 
wieder betriebsbereit ist, oder ob die Pumpe einen Monat lang ausfällt 
(weil Sonderanfertigung).

Autor: Alexander T.-Z. (Firma: Arge f. t. abgeh. Technologie) (atat)
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Thomas W. schrieb:
> An welcher Stelle spielt die Ausfalldauer / Reparaturdauer einer
> defekten Pumpe in deinen Ausführungen mit hinein?

Es geht mir hier also nur darum, den Sinngehalt der Angabe zu 
interpretieren und eine mögliche Deutung dadurch auszuschließen, daß sie 
eben nicht lösbar ist.


Angenommen, ich habe eine Verfügbarkeit von 0.5. Dann kann ich 
ausrechnen:

 * bei MTTR ein halbes Jahr -> 1 Ausfall pro Jahr
 * bei MTTR ein Monat -> 6 Ausfälle pro Jahr

etc. Man kann also aus Verfügbarkeit und MTTR die Ausfallshäufigkeit 
berechnen. Gefragt war die Ausfallswahrscheinlichkeit, die in dem 
Zusammenhang noch etwas wie "... im Verlauf eines Jahres" benötigen 
würde. Da im Text ein Jahr als Periode angegeben war, könnte man 
annehmen, daß die Ausfallswahrscheinlichkeit darauf zu beziehen sei.

Da wir aber keine MTTR haben, muß eine andere Interpretation richtig 
sein (indirekte Schlußfolgerung).

Autor: Liam Zeno (liz)
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Welche, man weiss nur dass im Jahr an 11 Tagen das System nicht 
verfügbar ist. Wieviele Ausfälle, 1 oder 30, da ist keine Angabe. Und 
auch eine Mttr Angabe ist irreführend und nur ein Indiz, ob ein anderes 
Problem vorhanden sein könnte oder nicht.

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