Phasenwinkel RL Hochpass mit Vorwiderstand

[Phasenwinkel (Gast)]

Hallo zusammen,

Mir ist grad kein aussagekräftiger Titel eingefallen.
Wir sind momentan in der Abendschule bei Zeigerdiagrammen, wir haben 
dazu auch Übungsaufgaben bekommen.
Eine ist davon auf meinem Bild abgebildet.

In der Aufgabe ist der Vorwiderstand R1 gesucht, dieser soll so gewählt 
werden, dass der Phasenwinkel Ue zu Uab 30 Grad beträgt.

Ich habe daneben versucht dieses Zeigerdiagramm darzustellen. Ich bin 
mir jedoch nicht sicher, ob das korrekt ist, vielleicht hat da jemand 
einen Tipp.

Zeichnerisch ablesen kann ich(Maßstab:0.5cm/Ohm) Ca 8,4Ohm ablesen. 
Rechnerisch wäre dies ja:

R1 = Z * Tan phi (Z = sqrt(x^2+r2^2))
R1 = 8,755 Ohm

Scheint ja zu passen.

Jedoch Trau ich dem Braten nicht so recht, weil das Zeigerdiagramm sieht 
echt merkwürdig aus.

Im Internet findet man auch nirgendwo mal eine Erklärung zu solchen 
Schaltung, immer nur die einfache Variante.

Vielleicht habt ihr ja Tipps für mich.

Vielen Dank!

Gruß

[Helmut S. (helmuts)]

Wie groß sind denn R2 und X?
In deiner Zeichnung kann man die Ziffern nicht genau erkennen.

[Phasenwinkel (Gast)]

R2=5ohm,x=15ohm

[Helmut S. (helmuts)]

Dann hatte ich ja doch richtig geraten.

Beim Zeichnen muust du einen Strom, z. B. 1A annehmen.
Dann miz der Spannung an R2 und X anfangen.


Uab/Ue = (R2+jX)/(R1+R2+jX)
Uab/Ue = (R2+jX)*(R1+R2-jX)/((R1+R2)^2+X^2)
Uab/Ue = (R1*R2+R2^2-jR2*X+jR1*X+jR2*X+X^2)/((R1+R2)^2+X^2)

Uab/Ue = (R1*R2+R2^2+X^2+jR1*X)/((R1+R2)^2+X^2)

phi = atan(Imaginärteil/Realteil)

phi = atan(R1*X/(R1*R2+R2^2+X^2))

tan(phi) = R1*X/(R1*R2+R2^2+X^2)

1/Wurzel(3) = R1*X/(R1*R2+R2^2+X^2)

R1*(X-R2/Wurzel(3)) = (R2^2+X^2)/Wurzel(3)


R1 = (R2^2+X^2)/(X*Wurzel(3)-R2)


-->R1 = (R2^2+X^2)/(X*sqrt(3)-R2)
   R1 = 11.915678


Im Anhnag ist zur Kntrolle die Simulation mit LTspice.

[Phasenwinkel (Gast)]

Vielen Dank Helmut!

Ich hätte die Übungsaufgabe mal besser lesen sollen. Da stand sogar 
explizit drinne, voreilen.

Deine Herleitung verstehe ich Nichtse ganz, weil wir noch nicht das 
Thema komplexe Rechnung haben, deswegen verwirrt mich das j etwas.

Ich werde mir das mal zur Gemüte führen, was du da hergeleitet hast, 
auch wenn ich nur 1% davon verstehe..

Gruß

[Helmut S. (helmuts)]

Das Problem bei der Beantwortung der Fragen ist halt immer welchen 
Wissensstand bzw. welche Ausbildung der Fragende macht.

j steht für den komplexen Faktor Wurzel(-1). Oft wird j auch mit i 
bezeichnet. Damit kann man in der Wechselstromrechnung viel leichter und 
auch beliebig komplizierte Anordnungen berechnen im Vergleich zu der 
Berechnung mit Bildern, Betrag und Winkeln.

In der Ausbildung für Elektriker gibt es diese komplexe Rechnung mit j 
eher nicht. Bei der Technikerausbildung und Ingenieursausbildung ist das 
Rechnen mit komplexen Zahlen dann Pflicht.

[Sascha_ (Gast)]

Helmut S. schrieb:
>
> In der Ausbildung für Elektriker gibt es diese komplexe Rechnung mit j
> eher nicht.

Stimmt, da eiert man extrem verwirrend mit sin und cos rum, mit der 
Begründung dass die Lehre von komplexen Zahlen den zeitlichen Rahmen des 
Unterrichts sprengen würde.

[Phasenwinkel (Gast)]

Technikerschule et - Automatisierungstechnik 2. jahr(abendform)

Gerade angefangen mit ET. Vorher hatten wir das Thema sinusförmige 
wechselgrößen, jetzt fangen wir mit Zeigerdiagrammen an, vorab haben wir 
diese Übung als Einstieg bekommen.

[Helmut S. (helmuts)]

@Phasenwinkel

Du kannst ja mal an Hand meines Zeigerbildes versuchen die Aufgabe zu 
lösen. Ich denke mit guten Kenntnissen aus der Geometrie von Dreiecken 
kann man die die Aufgabe auch lösen.

[Phasenwinkel (Gast)]

Hallo Helmut,

Ja mit Hilfe des Sinussatzes komme ich auf rund 12 Ohm, Winkel Beta habe 
ich mit rund 41 Grad abgelesen.

Gruß

[Helmut S. (helmuts)]

Nimm mein Zeigerdiagramm und diese Definition des Kosinussatzes.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz

a^2 = b^2 + c^2 -2*b*c*cos(alpha)

alpha=30°
a = R1
b_ = R2+jX
b = Wurzel(R2^2+X^2)
c_ = R1+R2+jX
c = Wurzel((R1+R2)^2+X^2)
cos(alpha) = Wurzel(3)/2

a^2 = b^2 + c^2 -b*c*Wurzel(3)

R1^2 = R2^2 + X^2 +(R1+R2)^2 +X^2 -Wurzel((R2^2+X^2)*((R1+R2)^2 +X^2)*3)

R1^2 = R2^2 +R1^2 + 2*R1*R2 + R2^2 +2*X^2 
-Wurzel(3*(R2^2+X^2)*((R1+R2)^2 +X^2))

2*R2^2 + 2*R1*R2 +2*X^2 = Wurzel(3*(R2^2+X^2)*((R1+R2)^2 +X^2))

Quadrieren
(2*R2^2+2*X^2)^2 +4*(2*R2^2+2*X^2)*R1*R2 +4*(R1*R2)^2 = 
3*(R2^2+X^2)*R2^2 +3*(R2^2+X^2)*R1^2 +2*3*(R2^2+X^2)*R1*R2 
+3*(R2^2+X^2)*X^2

R1^2*(4*R2^2 -3*(R2^2+X^2)) +R1*(4*(2*R2^2+2*X^2)*R2-2*3*(R2^2+X^2)*R2) 
+(2*R2^2+2*X^2)^2 -3*(R2^2+X^2)*R2^2 -3*(R2^2+X^2)*X^2 = 0

R1^2 +R1*(4*(2*R2^2+2*X^2)*R2-2*3*(R2^2+X^2)*R2)/(4*R2^2 -3*(R2^2+X^2)) 
+((2*R2^2+2*X^2)^2 -3*(R2^2+X^2)*R2^2 -3*(R2^2+X^2)*X^2)/(4*R2^2 
-3*(R2^2+X^2)) = 0

R1 = 11,915678 Ohm

Diese Berechnung mit dem Kosinussatz ist unheimlich fehlerträchtig da 
sehr aufwendig.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Es geht auch etwas geradliniger:

Ich habe das Zeigerdiagram mal so gezeichnet, dass R1 und R2 direkt
beieinander liegen (s. Anhang). Man sieht jetzt zwei rechwinklige
Dreiecke, in denen gilt:

$$\begin{align*} \tan\alpha&=\frac{R_2}X \\ \tan(\alpha+\beta)&=\frac{R_2+R_1}X \end{align*}$$

Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung:

$$\tan(\arctan\frac{R_2}X+\beta)=\frac{R_2+R_1}X$$

Auflösen nach R1:

$$R_1=X\tan(\arctan\frac{R_2}X+\beta)-R_2$$

Das war's auch schon. Hier kann man die Werte einsetzen und das Ganze
dem Taschenrechner übergeben.

Schöngeister werden allerdings noch mit Hilfe des Additionstheorems für
den Tangens den hässlichen Arcustangens wegzaubern:

$$R_1=\frac{(X^2+R_2^2)\tan\beta}{X-R_2\tan\beta}$$

Für X=15Ω, R2=5Ω und β=30° ergibt sich also

$$R_1=\frac{25}{13}(1+3\sqrt 3)\,\Omega\approx 11{,}9\,\Omega$$

[Helmut S. (helmuts)]

@Yalu,
Deine Lösung ist geradezu genial. Einfacher geht es bestimmt nicht mehr.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Helmut S. schrieb:
> Deine Lösung ist geradezu genial. Einfacher geht es bestimmt nicht mehr.

Danke für die Blumen!

Trotzdem hast du als Erster das richtige Ergebnis gepostet :)

[Phasenwinkel (Gast)]

Hallo ihr Lieben,

Helmut deine zweite Lösung, sieht unheimlich komplex aus, erinnert mich 
gerade an eine Aufgabe, wo wir nur mit Maschen und Knoten 
Widerstandsnetzwerke ausrechnen..

Das man dann nix ablesen braucht ist natürlich genial, aber dann doch 
lieber deine Komplexe "Lösung", wenn ich die irgendwann mal verstehen 
sollte ;-)

Yalu, deine Lösung ist natürlich der Knüller. Kann man das 
Zeigerdiagramm so malen? Ich dachte bisher wenns nach unten geht, wird 
es kapazitiv. Gut zwar zeigt der Pfeil nach oben, naja da muss ich wohl 
nochmal nachschauen.

Ist natürlich dann einfacher zu rechnen, weil man dann die Standard 
trigo Funktionrn anwenden kann und nix ablesen muss.

Vielen Dank ihr beiden !

Gruß