Hallo zusammen, ich beschäftige mich derzeit in meinem Studium mit der digitalen Signalverarbeitung und bin da auf eine Frage bezüglich der Transformationen gestoßen für die ich noch keine plausible Antwort finden konnte. Wenn ich ein aperiodisches Signal hinsichtlich des Frequenzverhaltens untersuchen möchte, muss ich dieses per Fouriertransformation (zeitkontinuierlich) bzw. DTFT (zeitdiskret) in den Bildbereich, also den Frequenzbereich, transformieren. Sowohl DTFT als auch FT sind allerdings aufgrund ihrer Integrationsgrenzen (- / + Unendlich) nicht für die rechnerbasierte Verarbeitung geeignet. Also muss ich zunächst mein Signal abtasten (wie bei DTFT) und dann mittels diskreter Fouriertransformation (DFT) der Länge N in einem bestimmten Bereich, der Fenstersequenz, transformieren. Auf der anderen Seite steht die LaPlace-Transformation die man für kausale Systeme anwendet, also für eine Betrachtung bei t>0. Alles was dort bei t<0 passiert, ist nicht relevant. Möchte ich das ganze zeitdiskret betrachten, verwende ich die Z-Transformation, welche im Grunde der LaPlace-Transformation für abgetastete Signal entspricht. Meine Frage ist nun: Warum gibt es im Falle der Laplace- und der Z-Transformation keine weitere Transformation als Analogie zur DFT im Bezug auf die Fourier-Transformation zur rechnerbasierten Verarbeitung? Die LaPlace- und Z-Transformation sind zwar einseitige Transformationen, aber die oberen Integrationsgrenzen liegen dennoch bei "Unendlich". Wie kann der Rechner sowas verabeiten? Ich habe bislang lediglich eine Vermutung: Wenn ich es richtig verstanden habe, wird der Dämpfungsfaktor e^a*t, aus der die LaPlace-Transformation letztendlich entsteht, hinzugefügt, damit die Funktion konvergiert, also gegen einen Grenzwert läuft. Ist es so, dass dieser Grenzwert für t->unendlich erreicht wird und der Rechner bei genügend Iterationen den Rechenvorgang unterbricht? Ich hoffe Ihr könnte meine Frage verstehen und mir weiterhelfen. Vielen Dank!
Es gibt natürlich weitere Transformationen. Aber leichter werden die nicht und im Grunde brauchst du auch nicht mehr. Übrigends gibt es auch eine beitseitige Laplacetransformation. Diese ist allerdings, wie du bereits sagtest nicht verbreitet.
Hallo, zunächst vielen Dank für die Antwort. Allerdings bringt mich das bezüglich meiner eigentlichen Frage nicht weiter. Es muss ja irgend eine Möglichkeit geben die Z-Transformation rechnerbasiert berechnen zu können. In meiner weiteren Recherche bin ich noch darauf gestoßen, dass die Z-Transformation in die DFT übergeht, wenn |Z| = 1 ist, also auf dem Einheitskreis in der s-Ebene liegt. Mir stellt sich jetzt nur die Frage, was ist wenn |Z| ungleich 1 ist? Lässt sich die Z-Transformation dann berechnen? LG
krxpfgqil schrieb: > Hallo, > > zunächst vielen Dank für die Antwort. Allerdings bringt mich das > bezüglich meiner eigentlichen Frage nicht weiter. > Es muss ja irgend eine Möglichkeit geben die Z-Transformation > rechnerbasiert berechnen zu können. > > In meiner weiteren Recherche bin ich noch darauf gestoßen, dass die > Z-Transformation in die DFT übergeht, wenn |Z| = 1 ist, also auf dem > Einheitskreis in der s-Ebene liegt. Mir stellt sich jetzt nur die Frage, > was ist wenn |Z| ungleich 1 ist? Lässt sich die Z-Transformation dann > berechnen? > > LG Ich meine, dass der Einheitskreis verschoben ist (um 1 nach links meine ich) im z-Bereich.
krxpfgqil schrieb: > Meine Frage ist nun: Warum gibt es im Falle der Laplace- und der > Z-Transformation keine weitere Transformation als Analogie zur DFT im > Bezug auf die Fourier-Transformation zur rechnerbasierten Verarbeitung? > Die LaPlace- und Z-Transformation sind zwar einseitige Transformationen, > aber die oberen Integrationsgrenzen liegen dennoch bei "Unendlich". Wie > kann der Rechner sowas verabeiten? Weil die Laplace- und Z-Transformation Hilfsmittel zur Lösung von Differential- bzw. Differenzengleichungen sind. Durch die Integration bzw. Summation bis Unendlich wird es möglich, die Systemantwort in eine algebraisch berechenbare Form zu überführen - und so Pole und Nullstellen zu bestimmen, die die Impulsantwort eines Systems charakterisieren. Oder - mit den Worten von Steven W. Smith ("Digital Signal Processing") ausgedrück - mit der Laplace-Transformation wird eine andere Strategie verfolgt. Hier gilt das Interesse nicht, wie bei Fourier und Verwandten, dem Signal und seiner Abbildung in die Frequenzdomäne sondern vielmehr der Beschreibung eines signalverarbeitenden Systems. Das kann z.B. ein IIR-Filter, ein Delta-Sigma-Modulator oder PID-Regler sein. Berechnen muss man das Integral bzw. die Summe eigentlich gar nicht - tatsächlich wird eine ursprüngliche Differenzengleichung durch die Transformation in die z-Ebene abgebildet und dann nach Y(z) aufgelöst. Dabei ist Y(z) eine Abkürzung für die Summe aller y[k]*(z**-k) von 0 bis unendlich. Am Beispiel eines einfachen Integrators: Aus y(k) = y(k-1) +x(k) wird: Y(z) = 1/z *Y(z) +X(z) nach Y(Z) aufgelöst: Y[z] = z/(1-z) +X(z) woraus sich dann die jeweiligen Pole und Nullstellen ermitteln lassen.
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krxpfgqil schrieb: > Auf der anderen Seite steht die LaPlace-Transformation die man für > kausale Systeme anwendet, also für eine Betrachtung bei t>0. Alles was > dort bei t<0 passiert, ist nicht relevant. Möchte ich das ganze > zeitdiskret betrachten, verwende ich die Z-Transformation, welche im > Grunde der LaPlace-Transformation für abgetastete Signal entspricht. das ist so nicht richtig. Auch die Laplace-Transformation hat definitionsgemäss ihre Integrationsgrenzen bei -unendlich und +unendlich. Jedoch willst du in der Praxis Systeme analysieren, die kausal sind, d.h. da dein System ab dem Zeitpunkt 0 erst beginnt zu arbeiten, hast du inhärent alles mit einem Einheitssprung multipliziert. Damit wird zwar die untere Integrationsgrenze der LT nicht verändert, von -unendlich bis 0 verschwinden aber deine Signale, weshalb man den Einheitssprung auch weglassen und erst ab 0 integrieren kann. Das wird dann als unilaterale LT bezeichnet. Das darf man aber nur, wenn man weiss, dass alles vor dem Zeitpunkt t=0 eh verschwindet. Bei der z-Transformation kannst du einfach stur diese unendliche Reihe beginnen aufzusummieren und irgendwann abbrechen. Mit z=exp(-j*Omega) wird daraus dann die zeitdiskrete Fouriertransformation, welche für aperiodische, abgetastete Signale gilt. (ich hoffe ich habe mich jetzt nicht getäuscht. Es gibt 4 Fälle: periodisch und nichtperiodisch, zeitdiskret und zeitkontinuierlich. Jede Kombination davon hat ihre eigene Fouriertransformation.)
Burkhard K. schrieb: > nach Y(Z) aufgelöst: > Y[z] = z/(1-z) +X(z) soll heißen Y[z] = z/(1-z) * X(z)
krxpfgqil schrieb: > Meine Frage ist nun: Warum gibt es im Falle der Laplace- und der > Z-Transformation keine weitere Transformation als Analogie zur DFT im > Bezug auf die Fourier-Transformation zur rechnerbasierten Verarbeitung? > Die LaPlace- und Z-Transformation sind zwar einseitige Transformationen, > aber die oberen Integrationsgrenzen liegen dennoch bei "Unendlich". Wie > kann der Rechner sowas verabeiten? Überlege mal was passiert wenn du die Laplace / Z Transformation, Fenstern würdest. Also der Schritt von der DTFT zur DFT. Und überlege mal was durch die Fensterung in Bezug auf Stabilität mit dem System passiert.
Hallo zusammen, danke zunächst für eure zahlreichen Antworten! Die Antworten haben mich zumindest bei meinem Verständnis bezüglich Anwendung LaPlace und Z-Transf. noch weitergebracht. Einiges davon war zwar schon bekannt, habe ich aber in dem Kontext soweit noch nicht betrachtet. Tim schrieb: > Überlege mal was passiert wenn du die Laplace / Z Transformation, > Fenstern würdest. Also der Schritt von der DTFT zur DFT. Und überlege > mal was durch die Fensterung in Bezug auf Stabilität mit dem System > passiert. Habe gerade versucht mir Gedanken darüber zu machen, allerdings komme ich da auf keine schlüssige Lösung. Was wäre denn das Problem wenn ich das Eingangssignal fenstern würde? Das System würde doch zunächst ganz normal reagieren nach dem Fenster (also Eingangssignal wieder 0) abklingen, oder sehe ich das falsch? Ich stehe hier gerade wohl auf dem Schlauch.
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