DFT und Z-Transformation

krxpfgqil schrieb:
> Meine Frage ist nun: Warum gibt es im Falle der Laplace- und der
> Z-Transformation keine weitere Transformation als Analogie zur DFT im
> Bezug auf die Fourier-Transformation zur rechnerbasierten Verarbeitung?
> Die LaPlace- und Z-Transformation sind zwar einseitige Transformationen,
> aber die oberen Integrationsgrenzen liegen dennoch bei "Unendlich". Wie
> kann der Rechner sowas verabeiten?

Weil die Laplace- und Z-Transformation Hilfsmittel zur Lösung von 
Differential- bzw. Differenzengleichungen sind. Durch die Integration 
bzw. Summation bis Unendlich wird es möglich, die Systemantwort in eine 
algebraisch berechenbare Form zu überführen - und so Pole und 
Nullstellen zu bestimmen, die die Impulsantwort eines Systems 
charakterisieren.

Oder - mit den Worten von Steven W. Smith ("Digital Signal Processing") 
ausgedrück - mit der Laplace-Transformation wird eine andere Strategie 
verfolgt. Hier gilt das Interesse nicht, wie bei Fourier und Verwandten, 
dem Signal und seiner Abbildung in die Frequenzdomäne sondern vielmehr 
der Beschreibung eines signalverarbeitenden Systems. Das kann z.B. ein 
IIR-Filter, ein Delta-Sigma-Modulator oder PID-Regler sein.

Berechnen muss man das Integral bzw. die Summe eigentlich gar nicht - 
tatsächlich wird eine ursprüngliche Differenzengleichung durch die 
Transformation in die z-Ebene abgebildet und dann nach Y(z) aufgelöst. 
Dabei ist Y(z) eine Abkürzung für die Summe aller y[k]*(z**-k) von 0 bis 
unendlich. Am Beispiel eines einfachen Integrators: Aus
 y(k) = y(k-1)   +x(k)

wird:
 Y(z) = 1/z *Y(z) +X(z)

nach Y(Z) aufgelöst:
 Y[z] = z/(1-z)  +X(z)

woraus sich dann die jeweiligen Pole und Nullstellen ermitteln lassen.

krxpfgqil schrieb:
> Auf der anderen Seite steht die LaPlace-Transformation die man für
> kausale Systeme anwendet, also für eine Betrachtung bei t>0. Alles was
> dort bei t<0 passiert, ist nicht relevant. Möchte ich das ganze
> zeitdiskret betrachten, verwende ich die Z-Transformation, welche im
> Grunde der LaPlace-Transformation für abgetastete Signal entspricht.

das ist so nicht richtig. Auch die Laplace-Transformation hat 
definitionsgemäss ihre Integrationsgrenzen bei -unendlich und 
+unendlich. Jedoch willst du in der Praxis Systeme analysieren, die 
kausal sind, d.h. da dein System ab dem Zeitpunkt 0 erst beginnt zu 
arbeiten, hast du inhärent alles mit einem Einheitssprung multipliziert. 
Damit wird zwar die untere Integrationsgrenze der LT nicht verändert, 
von -unendlich bis 0 verschwinden aber deine Signale, weshalb man den 
Einheitssprung auch weglassen und erst ab 0 integrieren kann. Das wird 
dann als unilaterale LT bezeichnet. Das darf man aber nur, wenn man 
weiss, dass alles vor dem Zeitpunkt t=0 eh verschwindet.

Bei der z-Transformation kannst du einfach stur diese unendliche Reihe 
beginnen aufzusummieren und irgendwann abbrechen. Mit z=exp(-j*Omega) 
wird daraus dann die zeitdiskrete Fouriertransformation, welche für 
aperiodische, abgetastete Signale gilt. (ich hoffe ich habe mich jetzt 
nicht getäuscht. Es gibt 4 Fälle: periodisch und nichtperiodisch, 
zeitdiskret und zeitkontinuierlich. Jede Kombination davon hat ihre 
eigene Fouriertransformation.)

Burkhard K. schrieb:
> nach Y(Z) aufgelöst:
>  Y[z] = z/(1-z)  +X(z)

soll heißen  Y[z] = z/(1-z) * X(z)

R. M. schrieb:
> soll heißen  Y[z] = z/(1-z) * X(z)

Ja, danke für die Korrektur - war schon spät :-)