Reihenschaltung mehrerer Hochpässe

[Hannes B. (joebrucki)]

Bei der Reihenschaltung mehrerer Hochpässe erhält man die resultierende 
Grenzfrequenz zu:

$$f_g \approx \sqrt{\sum_i f_{gi}^2 }$$

Für den Fall von n Hochpässen mit gleicher Grenzfrequenz folgt daraus:

$$f_g \approx \sqrt{n} f_{gi}$$

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Hallo Forum,

der obige Absatz ist aus Tietze-Schenk 11. Auflage. Leider wird keine 
Ableitung dieser Näherung angegeben. Weiß zufällig jemand, wie man zu 
dieser Formel kommt?

Die erste Formel erinnert an den Betrag eines Vektors. Aber warum das so 
angesetzt wird, kann ich leider nicht nachvollziehen.

Danke, Hannes

[Helmut S. (helmuts)]

Habe es mal selber genau berechnet.

F(jw) = j(w/w0)/(1+jw/w0)

Fn(jw) = (j(w/w0)/(1+jw/w0))^n

|Fn(jw)| = ((w/w0)/sqrt(1+(w/w0)^2)^n

1/sqrt(2) = ((w/w0)/sqrt(1+(w/w0)^2)^n

1/2 =   ((w/w0)^(2n)/(1+(w/w0)^2)^n

(1+(w/w0)^2)^n = 2*((w/w0)^2)^n

(1+(w/w0)^2) = 2^(1/n)*(w/w0)^2

1 = (2^(1/n)-1)*(w/w0)^2

1/(2^(1/n)-1) = (w/w0)^2

w/w0 = 1/sqrt(2^(1/n)-1)

bzw.

f/f0 = 1/sqrt(2^(1/n)-1)

Also so richtig genau ist die Näherung mit Wurzel(n) nicht.

n f/f0
1 1
2 1,5538
3 1.9615
4 2.2990
...
9 3.5342
...
100 11.990

[Hannes B. (joebrucki)]

Hallo Helmut,

zunächst vielen Dank für Deine Antwort und den Aufwand mit der 
Herleitung. Leider beantwortet sie nicht meine Frage.

Ich kenne diese zweite, exakte Formel auch, sie steht auch in dem Buch 
(in einem anderen Kapitel über Ketten von entkoppelten Tiefpässe). Ich 
habe diese zweite Formel mit Matlab simuliert und sie stimmt perfekt.

Aber dann ist da eben noch diese Näherungsformel.

Meine Vermutung ist, die exakte Formel ist für eine Kette entkoppelter 
PT1-Glieder und die Näherungsformel ist für eine Kette gekoppelter 
RC-Glieder.

Nur wie leitet man diese Näherungsformel her?

[U.G. L. (dlchnr)]

Nur mal grob, also keine mathemathische Herleitung, sondern anschauich 
betrachtet - für die Übertragungsfunktion einer Reihenschaltung sind im 
Zeitbereich die freuquenzabhängigen Übertragungsfunktionen der 
einzelnenn Vierpole miteinander zu multiplizieren.
Einer Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Addition im 
Bild_/Frequenzbereich, daher das Summe-Zeichen. Nun stellt Dir mal die 
Reihenschaltung eines 100Hz und eines 1000hz Hochpasses vor - dann ist 
klar, dass die Eigenschaften des resultierenden Hochpasses primär durch 
die Eigenschaften des 1000Hz Hochpasses festgelegt werden, d.h., dessen 
Eigenschaften müssen mit mehr Gewicht in die resultierenden 
Eigenschaften des gesamten Hochpasses eingehen, was sie wg. des 
Quadrieren der einzelnen Grenzfrequenzen und dem Wuzelziehen aus der 
Summe auch tun.
Auch wenn zwei Hochpässe mit der gleiche Grenzfrequenz hintereinander 
geschaltet werden, muss sich die Grenzfrequenz nach oben verschieben, da 
die Grenzfrequenz als die Frequenz definiert ist, bei der das Verhältnis 
von Ausgangssignal zu Eingangsignal -3dB beträgt.
Bei zwei gleichen Hochpässen verschiebt sich die Grenzfrequenz also um 
den Faktor Wurzel(2) nach oben.
Bei zwei Tiefpässen sollte sie sich entsprechend um den Faktor 
1/Wurzel(2) nach unten verschieben.

[U.G. L. (dlchnr)]

oh - da war wohl jemand schneller und exact :-)

[Hannes B. (joebrucki)]

Hallo UGL! Danke auch für Deine Antwort!

exakt schon, aber leider die falsche Formel :-)

Kannst Du Deine Ausführungen evtl noch um einen RC-HP erweitern
und schaun, ob Du auf Wurzel(3) kommst?

[U.G. L. (dlchnr)]

Für exakt ist das zu lange her :-)  -  ich hab' das nur noch so grob 
drauf!
Es macht auf jeden Fall aber auch einen Unterschied, ob man solche 
Sachen rückwirkungsfrei bzw. nicht rückwirkungsfrei betrachtet, siehe 
hier: 
http://ifatwww.et.uni-magdeburg.de/~wwwregel/vorles/sig_sys/ko315a64.pdf

[U.G. L. (dlchnr)]

Helmut S. schrieb:
> F(jw) = j(w/w0)/(1+jw/w0)

Wie gesagt, es ist lange er - aber das j(w/w0) auf dem Bruchstrich 
verbinde ich eigentlich mit einem D-Glied, das Ganze also mit eine 
DT1-Glied - müsste Ausgangspunkt der Rechnung nicht ein PT1-Glied, also 
F(jw) = 1/(1+jw/w0) sein?

[Helmut S. (helmuts)]

@U.G.L.
Es geht um einen Hochpass.

Letztendlich müsste man in der exakten Formel
2^(1/n) mit 1+1/n ersetzen um auf Wurzel(n) zu kommen.

[U.G. L. (dlchnr)]

Wollt's gerade korrigieren - der Ausgangspunkt passt!
Ein reales D-Glied ist ein Hochpass, da immer auch ein Serienwiderstand 
vorhanden ist.