Nachbildung eines PT2-Gliedes durch zwei PT1-Glieder

[GNDR (Gast)]

Hallo Zusammen,

ich habe folgendes Problem: Ich verwende einen Sensor der ein 
PT1-Verhalten aufweist und möchte diesen künstlich zu einem Sensor 
verschlechtern der ein PT2-Verhalten aufweist.

Beide Sensoren habe ich vermessen und die Zeitkonstanten des schnellen 
Sensors t1 und des langsamen Sensors T1, T2 bestimmt.

Durch Reihenschaltung eines zweiten PT1-Gliedes ergibt sich für das 
Gesamtsystem ebenfalls ein PT2-Glied mit der Übertragungsfunktion:

$$G(s) = \frac{1}{s^2 \cdot t1 \cdot t2 + s(t1+t2)+ 1}$$

Die Zeitkonstaten t2 soll nun soweit bestimmt werden, dass das 
Gesamtsystem das selbe Verhalten aufweist, wie der langsame Sensor.

Ein Koeffizientenvergleich führt zu:
I.

$$t1 \cdot t2 = T1 \cdot T2$$

II.

$$t1 + t2 = T1 + T2$$

Umstellen und Einsetzen von I. in II. führt zu

$$t2² - (T1 + T2) t2 + T1 \cdot T2 = 0$$

Daraus ergibt sich

$$t2 = T1$$

 ˄

$$t2 = T2$$

Was allerdings nur die triviale Lösung dargestellt. Im allgemeinen 
werden die Zeitkonstanten unterschiedlich sein, so dass das Vorgehen 
nicht geeignet ist.

Hat jemand evtl. eine Idee wie ich alternativ Vorgehen könnte?

Viele Grüße,

GNDR

[Helmut S. (helmuts)]

Mit deiner berechnung hast du bewiesen, dass es nur dann eine Lösung 
gibt, wenn

t1=T1
t2=T2

oder

t1=T2
t2=T1


Du könntest jetzt einfach t2 so wählen:

t2 = T1+T2-t1

oder alternativ

t2 = T1*T2/t1

Beides ist nicht optimal im Zeitbereich und/oder im Frequenzbereich.

Mittels Optimierung könnetst du jetzt t2 so wählen, dass die 
Sprungantwort möglichst ähnlich wird oder der Frequenzverlauf möglichst 
ähnlich wird oder eine gewichtete Mischung aus beiden Kriterien.

Vielleicht könnte man ja auch das 1/(1+s*T1) kompensieren.

(1+s*t1)/((1+s*t1)(1+s*T1)(1+s*T2)) = 1/((1+s*T1)*(1+s*T2))

[Regler 2 (Gast)]

Generell lässt sich das PT2-Glied nur durch die Reihenschaltung zweier 
PT1 nachbilden wenn das PT2 reelle Polstellen hat, der Fall konjugiert 
komplexer Pole ist nicht darstellbar.
Das Ergebnis entspricht dann genau Deiner Rechnung...

[Helmut S. (helmuts)]

> Vielleicht könnte man ja auch das 1/(1+s*T1) kompensieren.

> (1+s*t1)/((1+s*t1)(1+s*T1)(1+s*T2)) = 1/((1+s*T1)*(1+s*T2))

Die erste Zeile sollte so heißen:

Vielleicht könnte man ja auch das 1/(1+s*t1) kompensieren.

[Wolfgang (Gast)]

Regler 2 schrieb:
> Generell lässt sich das PT2-Glied nur durch die Reihenschaltung zweier
> PT1 nachbilden wenn das PT2 reelle Polstellen hat, der Fall konjugiert
> komplexer Pole ist nicht darstellbar.

Oder man legt eine Nullstelle auf den Pol des ursprünglichen Tiefpasses 
und ist dann wieder offen für einen Tiefpass 2.Ordnung mit komplexen 
Polstellen.

[Regler 2 (Gast)]

Direkte Kompensation des Pols des ursprünglichen Tiefpasses führt zu 
einem nicht-kausalen Filter (Zählergrad > Nennergrad), folglich geht das 
nur, wenn man sich zusätzliche Polstellen einkauft. Es hängt von den 
Zeitkonstanten des ursprünglichen Problems ab, ob man damit ins Ziel 
kommt.

[Wolfgang (Gast)]

Regler 2 schrieb:
> Direkte Kompensation des Pols des ursprünglichen Tiefpasses führt zu
> einem nicht-kausalen Filter (Zählergrad > Nennergrad)

Das soll man nicht zu fundamentalistisch betrachten. Im realen Leben 
macht eine zusätzliche Polstelle, weit genug weg, so dass sie für das zu 
simulierende System nicht weiter interessiert, die Mathematik wieder 
heile.

[Bla (Gast)]

Regler 2 schrieb:
> Direkte Kompensation des Pols des ursprünglichen Tiefpasses führt zu
> einem nicht-kausalen Filter (Zählergrad > Nennergrad), folglich geht das
> nur, wenn man sich zusätzliche Polstellen einkauft

Das stimmt so nicht ganz. Ein Filter wird nicht akausal wenn der 
Zählergrad grösser als der Nennergrad ist. Den zusätzlichen Pol braucht 
man natürlich trotzdem weil sonst das Rauschen bei hohen Frequenzen 
riesig wird.