Dualität DFT

[K. M. (Gast)]

Die Frage ist etwas blöd von mir, aber es ist wichtig.

Wenn man das Frequenzspektrum einer DFT berechnet, wiederholt es sich 
nach der Hälfte (also bei der Hälfte der Abtastfrequenz(fs).

1. Also sind Frequenzen über der Hälfte der Abtastfrequenz nicht 
enthalten und treten diese nur aufgrund der Berechnung auf?

2. Bzw. bedeutet dies, das nur Frequenzen bis zur Hälfte der 
Abtastfrequenz enthalten sind?

Mir ist nur aufgefallen, dass das Phasenspektrum ab der Hälfte 
gespiegelt ist.

Im Anhang ist ein Foto zur Verdeutlichung meiner Frage

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

Maha S. schrieb:
> 1. Also sind Frequenzen über der Hälfte der Abtastfrequenz nicht
> enthalten und treten diese nur aufgrund der Berechnung auf?

Naja, wenn sie tatsaechlich enthalten waeren, dann waere vorher schon 
das Abtasttheorem verletzt worden (Oder es waere ein Bandpasssignal).
Die treten schon nach der Abtastung auf.

Maha S. schrieb:
> 2. Bzw. bedeutet dies, das nur Frequenzen bis zur Hälfte der
> Abtastfrequenz enthalten sind?

Das sollte so sein. Denn sonst kannst du dir nicht mehr sicher sein, wie 
das Originalsignal vor der Abtastung mal ausgeschaut hat....

Gruss
WK

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Ja, bei N reellen Abtastwerten

$$f_m$$

werden die (sich periodisch in N wiederholenden) komplexen Koeffizienten

$${\underline c}_k \ = \ \frac{1}{N} \cdot \sum_{m = 0}^{N-1} f_m \cdot {\mathrm e}^{-\mathrm{j} \cdot k \cdot \frac{2 \cdot \pi}{N} \cdot m}$$

für negative Frequenzen bzw. bei Frequenzen grösser als die Hälfte der 
Abtastfrequenz gespiegelt konjugiert komplex wie folgt

$${\underline c}_{-k} \ = \ {\underline c}_{N-k} \ = \ {\overline{\underline c}}_k.$$

Diese sind also "redundant".

[Sven B. (scummos)]

Das ist so, deshalb haben die meisten Bibliotheken die DFTs berechnen 
auch eine "rfft"-Funktion für reelle Eingangswerte, die das Spektrum 
dann nur bis B/2 ausgibt.

[Besucher (Gast)]

Maha S. schrieb:
> 1. Also sind Frequenzen über der Hälfte der Abtastfrequenz nicht
> enthalten und treten diese nur aufgrund der Berechnung auf?

Der zweite Teil der Frage ist richtig, die Aliasfrequenzen erscheinen 
nur aufgrund der Berechnung. Das Problem ist halt das man diese 
Frequenzen nur anhand von diskreten Abtastwerten nicht voneinander 
unterscheiden kann. Bei fs=10Hz beispielsweise würden abgetastete 
Schwingungen von 3 Hz, 7 Hz, 13 Hz, 17 Hz, 103 Hz, 1234567 Hz etc. alle 
die gleichen Abtastwerte liefern (siehe Bild). Folglich liefert die DFT 
auch für all diese Frequenzen das gleiche Ergebnis.
Welche dieser ganzen Frequenzen nun tatsächlich in einem Signal 
enthalten ist lässt sich nur mit der DFT nicht entscheiden; das muss man 
selber wissen bzw. selber sicherstellen (normalerweise werden das 
zweckmäßigerweise freilich die Frequenzen im Bereich von 0 Hz bis fs/2 
sein).

[K. M. (Gast)]

Die Frequenzen oberhalb der halben Abtastfrequenz sollen also 
weggefiltert werden. Was ist aber mit der Phasenverschiebung? Die ist ja 
genau invertiert?

[Besucher (Gast)]

Maha S. schrieb:
> Was ist aber mit der Phasenverschiebung? Die ist ja
> genau invertiert?

Das macht gar nichts. Die komplexe DFT berechnet die Phase ja gleich 
mit, und i.d.R. ist die Phasenverschiebung einer einzelnen Schwingung 
innerhalb eines Signals sowieso als willkürlich zu betrachten.

Bei der Filterung eines Signals - z.B. mittels Tiefpass - vor der 
Abtastung geht es darum nachher sagen zu können ob (um bei dem obigen 
Beispiel zu bleiben)
- 3 Hz mit Phase phi_1
- und/oder 7 Hz mit Phase phi_2 (phi_2 = phi_1 + 180°)
- und/oder 13 Hz mit Phase phi_3
- und/oder...
im abgetasteten Signal enthalten ist. Bei einem auf fs/2 bandbegrenzten 
Signal weiss man das genau, bei einem Signal mit 
größerer/unbekannter/gar keiner Bandbegrenzung wüsste man es nicht.

[DFT-Lehrling (Gast)]

Gibt es auch eine Möglichkeit, den D/A- Wandler z.B. mit 125 MHz Takt 
zur Ausgabe eines 145 MHz- Signals (SSB) zu bewegen?
Das wäre dann wirkliche Dualität...

[M. Н. (Gast)]

In der z-Transformation wird die Frequenzachse auf den Einheitskreis 
abgebildet.

Hier kann man das so grob erkennen.
https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/fileadmin/images/Skript_TDS_V_6_0_9/Kapitel_5_1/Grafik_5_1_3_HQ.png

Bei 1 liegt die Frequenz 0. Links, bei -1, liegt die halbe 
Abtastfrequenz. nach oben sind die positiven Frequenzen abgebildet, nach 
unten die negativen.

Die DFT gibt nun einfach Werte entlang dieses Einheitskreises aus. Bei 
der halben Abtastfrequenz bricht das ganze um auf die negativen 
Frequenzen und geht wieder gegen null. Also:

0 => positive Frequenzen (Betrag ansteigend) => Nyquist Frequenz => 
negative Frequenzen (Betrag absteigend) => 0

Wenn man ein reellwertiges Eingangssignal hat, dann sind die positiven 
und negativen Frequenzanteile immer gleich vorhanden (der Imaginärteil 
der komplexen "Frequenzen" exp(i*2*pi*f) und exp(-i*2*pi*f) hebt sich 
genau auf).

Übrig bleibt ein reelles Signal.
Somit ist die FFT/DFT eines reellen Eingangssignals immer symmetrisch.
Bsp. Ein Cosinus:

$$x(t) = cos(\omega t) = \frac{1}{2}\left( e^{iwt}+e^{-iwt}\right)$$

Es sind zwei Frequenzen. Einmal positiv und einmal negativ enthalten.

Für ein komplexwertiges Eingangssignal ist das nicht so:

$$x(t) = e^{i\omega t}$$

Dieses enthält nur die positive Frequenz 'omega'. Im negativen Bereich 
(rechte Hälfte der DFT) fehlt der Peak bei der Frequenz. Das Bild ist 
also nicht symmetrisch.

Was die Phase angeht, so ist diese für reelle Signale invertiert. Ist 
die Phase bei der Frequenz f +10°, so beträgt sie bei der entsprechenden 
negativen Frequenz -f -10°.

Das Spektrum eines reellen Signals weist also nur im Betrag (!) diese 
Achsensymmetrie auf. Die Phase ist punktsymmetrisch.

Für komplexe Signale ist wiederum jede mögliche Form möglich.


Ich hoffe ich habe das halbwegs übersichtlich rübergebracht.

[Dergute W. (derguteweka)]

Moin,

DFT-Lehrling schrieb:
> Gibt es auch eine Möglichkeit, den D/A- Wandler z.B. mit 125 MHz
> Takt
> zur Ausgabe eines 145 MHz- Signals (SSB) zu bewegen?
> Das wäre dann wirkliche Dualität...

Naja, bau' halt ein Bandfilter mit Durchlassbereich 125...250 MHz (oder 
weniger) hinter den DAC. Da aus "normalen" DACs keine Folgen von 
Diracstoessen, sondern eher so treppenfoermiges Zeugs rauskommt, wird 
der Pegel etwas niedriger sein als im Basisband, aber's wird schon noch 
gehen.
Wenn dein SSB Signal dann z.b.von 145MHz...155MHz im Spektrum belegen 
soll, musst du halt ein entsprechendes 20..30MHz Signal in den DAC 
reinschaufeln.

Gruss
WK