Unendliche Dualzahl in Dezimalzahl

[Thomas (Gast)]

Hallo,

ich verstehe etwas aus einem Uni-Seminar nicht.

Und zwar soll die Dualzahl
..____
0,1100

(also Null Komma Periode 1100)

in eine Dezimalzahl mittels Summenrechnung umgewandelt werden.
Dabei sind mir die Zwischenschritte von 1.) zu 2.) und von 2.) zu 3.) 
nicht klar (siehe Anhang).

Kann jemand weiterhelfen?

[Walter T. (nicolas)]

Wo liegt denn das Problen, 1/2 + 1/4 zu rechnen?

Und dann den ersten Wert der Summe einfach schon einmal auszurechnen?

[Thomas (Gast)]

2/4 + 1/4 ist nicht das Problem, aber wie kommt man von

2*_Summe_von_i=0_bis_unendl._2^-4i
auf
Summe_von_i=1_bis_unendl._(2^-4i)^i-1
?

[Walter T. (nicolas)]

Wie groß ist denn der erste Summenteil, d.h. für i = 0 ?

[Walter T. (nicolas)]

Wenn Du nicht weiterkommst, ist es manchmal ganz hilfreich, die ersten 
paar Summenglieder einfach explizit auszuschreiben, also

$$\sum_{i=0}^\infty f(i) = f(0) + f(1) + f(2) + \sum_{i=3}^\infty f(i)$$

[Thomas (Gast)]

Walter T. schrieb:
> Wie groß ist denn der erste Summenteil, d.h. für i = 0 ?


So würde es dann aussehen, wenn ich mich nicht vertan habe.

Aber wie man dann auf Formel 2.) kommt, sehe ich noch nicht.

[Achim H. (anymouse)]

Die zweite Zeile (2) kann ich nicht nachvollzeihen, genauer, wie hier 
das i ins Quadrat kommt.

Richtiger dürfte sein:

1/2 * _Summe_von_i=0_bis_unendl._ (2^-4i) + 1/4 * 
_Summe_von_i=0_bis_unendl._ (2^-4i)
= 3/4 * _Summe_von_j=1_bis_unendl._ (2^-4) ^ (j-1)

Mit der geometrischen Reihe

_Summe_von_i=0_bis_unendl._ n ^ i = 1/(1-n)  sollte die Rechnung -- 
außgenommen die m.E. falsche zweite Zeile -- nachzuvollziehen sein.

[Thomas (Gast)]

Super, jetzt ist es klar, vielen herzlichen Dank an euch beide!!! Puhh

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

In der Schule wurde uns damals gelehrt (vielleicht heute immer noch),
wie man periodische Dezimalzahlen ohne den Umweg über geometrische
Reihen in Brüche umwandelt: Man dividiert einfach den periodischen Teil
durch eine Zahl, die aus so vielen Neunen besteht, wie die Periode lang
ist. Beispiel:

$$0{,}\overline{2178}=\frac{2178}{9999}=\frac{22}{101}$$

Diese Methode funktioniert auch im Dualsystem, wenn man die Neunen (9
ist die höchste Ziffer im Dezimalsystem) durch Einsen (1 ist die höchste
Ziffer im Dualsystem) ersetzt. Damit ist

$$0{,}\overline{1100}_2=\frac{1100_2}{1111_2}= \frac{12_{10}}{15_{10}}= \frac{4_{10}}{5_{10}}=0{,}8_{10}$$

Das kann man sogar im Kopf rechnen.

[Dipl.- G. (hipot)]

Yalu X. schrieb:
> In der Schule wurde uns damals gelehrt
> Das kann man sogar im Kopf rechnen.

+1 :)

Gibt an der Uni im Extremfall 0 Punkte.
Ich bin einst mit dem Physikübungsleiter böse aneinandergeraten, denn 
der hatte mir nicht einmal die Hälfte der Punkte auf eine Lösung 
gegeben, weil ich mit Strahlensätzen (Klasse 9) draufgekommen bin 
anstatt mit Integralrechnung. Seitdem mache ich einen großen Bogen um 
die geistig umnachtete Clique des Bewertungstypus "Entweder es hält, 
oder es bricht.".
Das sind die letzten Arschgeigen.

[Johann L. (gjlayde)]

Das i^2 im Exponenten von 2) kann nicht stimmen.

Die Summe von i=0 auf i=1 umzuschreiben ist umständlich und macht die 
Rechnung nicht einfacher.  Da

S(a) = sum_{k=0}^oo a^k = 1/(1-a)  falls |a| < 1

hat man als Ergebnis:

1/4 * S(1/16) + 1/2 * S(1/16)

= 3/4 * 1/(1-1/16) = 3/4 * 16/15 = 4/5



Probe:

x = 0._1100

4·x = 11._0011

5·x = 4·x + x = 11._1 = 3 + 1 = 4(dez)

x = 4/5

oder:

x = 0._1100

16·x = 1100._1100

15·x = 16·x - x = 1100 = 12(dez)

x = 4/5

Wobei die 1. Rechnung verwendet, dass 0._1 = 1 ist; zur Probe ist das 
bestimmt ok.