PID-Regler aus ARM CMSIS DSP Library

Guten Morgen,

ich versuche gerade die Implementierung des PID-Reglers aus der ARM 
CMSIS DSP library zu verstehen. Beschrieben ist das Ganze hier: 
https://www.keil.com/pack/doc/CMSIS/DSP/html/group__PID.html

Zum ersten: Was will der Autor mit der Rückführung in dem Bild sagen?

Zum anderen: Wie passt das Bild mit der Implementierung zusammen?

Reglergleichung

$$y_{n} = y_{n-1} + A_0\,x_{n} + A_1\,x_{n-1} + A_2\,x_{n-2}$$

$$A_0 = K_p + K_i + K_d$$

$$A_1 = -K_p - 2\,K_d$$

$$A_2 = K_d$$

P-Anteil:

$$y_{n} = y_{n-1} + K_p\,x_{n} - K_p\,x_{n-1}$$

Klar - es wird y_{n-1} addiert und sofort wieder abgezogen, damit man 
für den I-Anteil den integrierten Regelfehler nicht als separate 
Variable einführen muss.

I-Anteil:

$$y_{n} = y_{n-1} + K_i\,x_{n}$$

Normal (bis auf dass die Zeitschrittweite in K_i eingerechnet ist).

D-Anteil:

$$y_{n} = y_{n-1} + K_d\,x_{n} - 2\,K_d\,x_{n-1} + K_d\,x_{n-2}$$

oder

$$y_n = y_{n-1} + K_d\,\left(\left(x_n - x_{n-1}\right) - \left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)\right)$$

Was passiert hier? Es wird die Differenz der Differenz der letzten drei 
Eingangswerte gebildet. Das sieht so nach zweiter Ableitung aus, die 
aber für den D-Anteil nicht benötigt wird.

Grüße
W.T.

Nachtrag: Mit zwei Stunden Abstand ergibt sich doch ein Sinn:

Der D-Anteil läßt sich auch so schreiben:

$$y_{n} = K_d\,\left(x_n - x_{n-1}\right) + y_{n-1} - K_d\,\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right)$$

Es ist also einfach der Differenzenquotient der letzten beiden 
Eingangswerte gemeint. Und wie beim P-Anteil wird der D-Anteil des 
letzten Schrittes, der in y_{n-1} noch drinsteckt, wieder abgezogen.

Ich habe keine Frage mehr. Ich lasse das hier aber trotzdem stehen, 
falls irgendein Google-Sucher auf die gleiche Frage stößt.