Mir ist beim Abtasttheorem nicht ganz klar, wie man mit der Einheit
Hertz umgeht. Es geht um folgende Aufgabe:
Das Signal x(t) = cos( 6000 pi t) - cos( 12000 pi t) werde mit
der Abtastfrequenz fa = 10000 Hz abgetastet. Wird das Abtasttheorem
eingehalten?
Mein Lösungsansatz wäre:
-die höchste Frequenz von x(t) ist ja 12000pi (oder?)
-die Abtastfrequenz ist ja sozusagen 10000 * 1/s, da es pro Sekunde ist
-wenn also 1s = 1t, dann wären die 12000pi ja nicht pro Sekunde, sondern
pro 2pi, da das ja die normale Frequenz von cosinus ist
Also 12000*1/(2pi) = 6000 Hz ? Bei dem Schritt bin ich mir sehr
unsicher, kann man das so umformen? Oder wie muss man damit umgehen
Ich hätte dann also 10000 ist nicht größer als 2*6000= 12000, also wird
das Abtasttheorem nicht eingehalten.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob das so der richtige Weg ist, kann mir
vielleicht jemand sagen, ob das so stimmt bzw. wo mein Fehler liegt?
Die höchste Frequenz in deinem Signal ist in cos(12000*pi*t) enthalten.
Normalerweise schreibt man cos(w*t) mit w=2*pi*f. Wenn du nun
2*pi*f=12000*pi*t setzt dann hast du f = 6000Hz als höchste
Signalfrequenz.
Damit wären 12000 Hz Abtastfrequenz notwendig.
Juliette Gerischer schrieb:> Ich hätte dann also 10000 ist nicht größer als 2*6000= 12000, also wird> das Abtasttheorem nicht eingehalten.
Richtig.
Etwas anders formuliert lautet das Abtasttheorem:
Man braucht mehr als 2 Abtastungen pro Schwingung der höchstfrequenten
Signalkomponente, um das Originalsignal zu rekonstruieren.
Bezieht man die Zahl Abtastungen und der die Zahl Schwingungen auf die
Zeit, hat man es einerseits mit der Abtastfrequenz, andererseits mit der
Schwingungsfrequenz (aka Frequenz) zu tun.
In der Schreibweise des Abtasttheorems
Abtastfrequenz > 2 · Signalfrequenz
ist für die Signalfrequenz also nicht die Kreisfrequenz (ω = 12π kHz),
sondern die Schwingungsfrequenz (f = ω / (2π) = 6 kHz) einzusetzen.
Hallo,
das Ergebnis ist schon richtig, aber es klingt alles ein bischen wirr.
Ich setze mal voraus, dass t in Sekunden angegeben ist.
x(t) = cos( 6000 pi t) - cos( 12000 pi t) =
cos( 3000 2 pi * t) - cos( 6000 2 pi * t).
Darum ist hier die höchste vorkommende Frequenz 6000*1/s = 6000Hz
Du solltest Dir mal die Definitionen nochmals genauer anschauen.
Als Beispiel:
Was bedeutet denn Frequenz? Welche Voraussetzung braucht es, um von
Frequenz reden zu können?
Welche Eigenschaften hat cos?
MfG
egonotto
Eigentlich sollte man schreiben:
x(t) = cos( 3000 Hz 2 pi t) - cos( 6000 Hz 2 pi t)
Dann werden die Argumente vom cos nämlich auch dimensionslos, wenn man
t, wie üblich, in Sekunden angibt und Hz=1/sek..
Bernhard S. schrieb:> Damit wären 12000 Hz Abtastfrequenz notwendig.
Nein, 12000 Hz würden nicht ausreichen. Die Abtastfrequenz müsste
geringfügig höher sein.
Liegt die Abtastfrequenz exakt bei der doppelten Signalfrequenz, könnte
der Fall auftreten, dass man immer exakt im Nulldurchgang abtastet und
somit kein Signal erhält. Bei anderen Phasenlagen tastet man dann auch
auf der Signalflanke ab und erhältlich somit eine fehlerhafte Amplitude.
Schon bei geringer Frequenzabweichung bekommt man hingegen eine
Schwebungssignal, mit dem eine Amplitudenbestimmung möglich ist.
Andreas S. schrieb:> Die Abtastfrequenz müsste> geringfügig höher sein.
Das stimmt natürlich genau genommen. In der Praxis würde man noch etwas
mehr Luft lassen, damit man ein Anti-Aliasing Filter einsetzen kann.
Die volle Antwort waere : Mir dem Sampeln werden auch harmonische
Frequenzanteile reingenommen. Die Frequenzen f1 = samplingfreq-f0, und
f2=sampligfreq+f0, resp fn=N*samplingfreq+-f0 fuer f0<samplingfreq
erscheinen als nicht unterscheidbar. Deswegen muss man die beiden
trennen. Indem man ueblicherweise das obere Band wegfiltert.
Man kann unter den Voraussetzung, dass die Samplingbandbreite das(ein)
oberes Band umfasst auch subsampeln. Dann muss man das untere Band
wegmachen. Dies wird gemacht, wenn die Analogbandbreite das Band
umfasst, der Wandler aber zu langsam ist.
Wegfiltern ist so eine Sache. Die Unterdrueckung ist nie unendlich.
Daher hat man sowieso Teile des anderen Bandes dabei. Es ist nur eine
Frage wieviel. -20dB ? -40dB ? -60dB ?
Bernhard S. schrieb:> Das stimmt natürlich genau genommen. In der Praxis würde man noch etwas> mehr Luft lassen, damit man ein Anti-Aliasing Filter einsetzen kann.
Das Anti-Aliasing-Filter braucht man (hier) nicht, wenn, wie
spezifiziert, die höchste Signalfrequenz die 6000Hz sind.
Dieses soll ja nur noch höherfrequente Anteile unterdrücken, die aber
hier per Definition nicht da sind.
Trotzdem hast du recht - in der Praxis sind die 6kHz nicht immer ein
perfekter Sinus ...
Martin O. schrieb:> Eigentlich sollte man schreiben:>> x(t) = cos( 3000 Hz 2 pi t) - cos( 6000 Hz 2 pi t)>> Dann werden die Argumente vom cos nämlich auch dimensionslos, wenn man> t, wie üblich, in Sekunden angibt und Hz=1/sek..
Richtig!
Bernhard S. schrieb:> Andreas S. schrieb:>> Die Abtastfrequenz müsste>> geringfügig höher sein.
Im Abtasttheorem steht f <= fT/2
Das Gleichheitszeichen ist erlaubt.
Ist natürlich nicht nur akademisch. In der Praxis nutzt man tatsächlich
die Nyquist Frequenz, z.B. bei einem PAM Modulator.
Martin B. schrieb:> Im Abtasttheorem steht f <= fT/2>> Das Gleichheitszeichen ist erlaubt.
Wie kommst du darauf?
Wenn die Signalfrequenz exakt gleich der halben Abtastfrequenz ist,
schlägt die Signalrekonstruktion fehl, da sich die Amplitude nicht mehr
eindeutig bestimmen lässt.
Yalu X. schrieb:> Martin B. schrieb:>> Im Abtasttheorem steht f <= fT/2>>>> Das Gleichheitszeichen ist erlaubt.>> Wie kommst du darauf?>> Wenn die Signalfrequenz exakt gleich der halben Abtastfrequenz ist,> schlägt die Signalrekonstruktion fehl, da sich die Amplitude nicht mehr> eindeutig bestimmen lässt.
Äh, weil es in entsprechenden Büchern so steht.
Die Nyquistfrequenz ist halt was besonderes. Imaginärteil ist immer 0,
so wie bei Gleichspannung, da ist das auch so. Phasenlage bei
Gleichspannung ist irgendwie Quatsch.
Wenn man Spannungen messen will, sollte man sich von der Nyquistflanke
fern halten.
Wenn man Daten übertragen will, geht man ran bis ans Mögliche, und das
ist eben f=fT/2
Macht jedes PAM Übertragungssystem so. Man muss halt die Abtastphase
richtig erwischen. Dann geht es.
Rolf S. schrieb:> Martin B. schrieb:>> Nyquistflanke>> Was ist das denn, bitte?
Ups. Den Begriff habe ich nicht korrekt benutzt. War wohl zu schnell
beim Tippen. Gemeint war der Bereich um fNyquist herum.
Zur Nyquistflanke findest Du da im Kapitel "2. Nyquistbedingung" etwas:
https://de.wikipedia.org/wiki/Symbol%C3%BCbersprechen
Der Andere schrieb:> Und hier schon mal eine Quelle ohne '=':> https://de.wikipedia.org/wiki/Nyquist-Shannon-Abtasttheorem
Da ist sich der Artikel anscheinend selbst nicht einig. Im Kapitel
"Unterabtastung" steht plötzlich das Gleichheitszeichen. (Vorher war es
mit < Zeichen.)
"Die Bedingung fabtast ≥ 2 · fmax aus dem Abtasttheorem"
Bernhard S. schrieb:> Wenn du nun> 2*pi*f=12000*pi*t setzt dann hast du f = 6000Hz als höchste> Signalfrequenz.>> Damit wären 12000 Hz Abtastfrequenz notwendig.
Wenn du Pech hast, siehst du dann in den abgetasteten Werten von dem
Signal überhaupt nichts (Abtastung in den Nulldurchgängen). Nicht ohne
Grund verlangt das Abtasttheorem, dass die Abtastfrequenz echt größer
als die höchste Signalfrequenz ist.
Wolfgang schrieb:> ... das Doppelte der höchsten Signalfrequenz ...
nein, mehr als das Doppelte der höchsten Frequenz im Signal. Und zwar
bitte deutlich mehr, wenn es was werden soll.
