Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP / Machine Learning Ausgangssignal bei sinusförmigem Eingangssignal berechnen


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von Juliette Gerischer (Gast)


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Hallo,

wir sollen das Ausgangssignal bei einem Sinusförmigem Eingangssignal 
berechnen. Eine Beispielaufgabe ist z.B. ein System mit

d(n) = delta(n) die Impulsfolge
h(n) = 1/4 d(n) + 1/2 d(n-1) + 1/4 d(n-2)

Dieses System wird nun mit
x(n) = cos(2/10  pi  n)
angeregt und wir sollen y(n) berechnen.
Erst dachte ich bei diesen Aufgaben immer, man muss es über die 
Z-Transformation machen, aber dann wurde die Rechnung immer extrem 
aufwendig. (Wobei ich vielleicht auch etwas falsch gemacht habe)

Nun habe ich in unserem Skript noch eine Formel gefunden, laut der die 
Antwort auf ein Sinusförmiges Eingangssignal x(n) = cos( w n + c) immer 
folgendes ist:
y(n) = A * cos( wn + c + k)
wobei A = |H(z)|
und was k der Phasengang (also arg(H(z))?)

Leider bin ich mir nicht ganz sicher, wie die Formel anzuwenden ist, 
oder wie man das Ausgangssignal für so ein Eingangssignal am einfachsten 
berechnen kann.

H(z) wäre bei dem Beispiel ja
H(z) = 1/4 + 1/2z^(-1) + 1/4z^(-2)
Wie würde man davon den Phasengang berechnen? Und wenn man es dann in 
die Formel einsetzt, muss man das nicht trotzdem noch 
rücktransformieren?

Wäre für jede Hilfe dankbar - auch die Lösung für die Aufgabe würde mich 
evt. schon weiterbringen

von Laie (Gast)


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Ausgangssignal wovon?

Wie sieht denn die Original-Aufgabenstellung aus?

von Al3ko -. (al3ko)


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Hi,
du hast die Impulsantwort gegeben, und kennst dein Eingangssignal.

Die Faltung der beiden Signale gibt dir dein gewünschtes Ausgangssignal.

Gruß,

: Bearbeitet durch User
von Juliette Gerischer (Gast)


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Die Original-Aufgabenstellung ist

Ein System mit der Impulsantwort
h(n) = 1/4 d(n) + 1/2 d(n-1) + 1/4 d(n-2)
(d(n) soll delta darstellen, also die Impulsfolge)
werde mit dem Signal
x(n) = cos(2/10  pi  n)
angeregt.
Wie lautet das Ausgangssignal?

von Juliette Gerischer (Gast)


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aber das Eingangssignal ist doch unenedlich lang (cosinus) - wie soll 
ich da denn eine manuelle Faltung durchführen?

von Mike (Gast)


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Die Übertragungsfunktion H(j*Omega)im Frequenzraum erhält man, indem man 
die z-Transfromierte H(z) auf dem komplexen Einheitskreis auswertet: 
H(j*omega)= H(z = e^(j*omega))). Ein voller Umlauf auf dem Einheitskreis 
entspricht dabei der Abtastfrequenz. Der Rest ist komplexe Arithmetik.

von Juliette Gerischer (Gast)


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Mike schrieb:
> Der Rest ist komplexe Arithmetik.

Welcher Rest? Was muss ich denn dann genau machen? Könntest du mir das 
an der Beispielaufgabe einmal zeigen?

von Ralf B. (Firma: Scorptech) (mad_scorp)


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Gibt verschiedene Möglichkeiten, zB die von dir genannte und vom 
Vorposter erwähnte Auswertung auf dem Einheitskreis.

Aber am einfachsten ist es, die z-Trafo vom System und der 
Eingansfunktion zu bestimmen ( entweder selbst ausrechen oder ab 
Tabellenbuch nehmen) und dann muss man eben wissen das die Faltung im 
Zeitbereich durch die Multiplikation von den z-Trafos erfolgt equivalent 
zu zeitkontinuierlichen Systemen und den Laplace-Trafos.

Juliette Gerischer schrieb:
> aber das Eingangssignal ist doch unenedlich lang (cosinus) - wie soll
> ich da denn eine manuelle Faltung durchführen?

Die z-Trafo ist es eben nicht. Die sieht für cos(omega*t) so aus:

z^2 - z * cos(omega *Ta) / (z^2 - 2z*cos(omega*Ta) * + 1)

Und weil man den Mist nicht händisch berechnen will, gibt es da tausende 
von Tabellen für.

von Ralf B. (Firma: Scorptech) (mad_scorp)


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Im Übrigen kann man sich zB. Scilab (Matlab-clone) oder ähnliches 
runterladen und das ganze auch einfach mal simulieren.

von Juliette Gerischer (Gast)


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Ralf B. schrieb:
> Aber am einfachsten ist es, die z-Trafo vom System und der
> Eingansfunktion zu bestimmen ( entweder selbst ausrechen oder ab
> Tabellenbuch nehmen) und dann muss man eben wissen das die Faltung im
> Zeitbereich durch die Multiplikation von den z-Trafos erfolgt equivalent
> zu zeitkontinuierlichen Systemen und den Laplace-Trafos.

Das versuche ich ja seit Stunden, aber wenn ich versuche, das im 
Z-Bereich zu multiplizieren, kommen da zeilenlange Brüche raus, die ich 
erstmal über eine Seite irgendwie zusammenfassen muss. Da die Aufgabe in 
Altklausuren nur 4 von 100 Punkten gibt, vermute ich, dass es hier eine 
einfachere Lösung gibt - oder ich mache bei der Z-Transformation Fehler, 
aber ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand den Rechenweg und die Lösung 
zu der Aufgabe erklären könnte

h(n) = 1/4 d(n) + 1/2 d(n-1) + 1/4 d(n-2)
x(n) = cos(2/10 pi n)
H(z) =  H(z) = 1/4 + 1/2z^(-1) + 1/4z^(-2)
X(z) = (1 - z^(-1) cos(2/10 Pi) ) / (1 - 2z^(-1) cos(2/10 pi ) + z^(-2) 
)

Vom Aufwand her müsste die Aufgabe ca eine halbe bis 3/4 Seite sein, 
aber jetzt H(z) und X(z) zu multiplizieren und dann soweit vereinfachen, 
dass man es wieder zu y(n) rücktransformieren kann, ist doch viel zu 
aufwendig? Zumindest komme ich da zu keinem Ergebnis.

von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

Juliette Gerischer schrieb:
> Ein System mit der Impulsantwort
> h(n) = 1/4 d(n) + 1/2 d(n-1) + 1/4 d(n-2)
> (d(n) soll delta darstellen, also die Impulsfolge)
> werde mit dem Signal
> x(n) = cos(2/10  pi  n)
> angeregt.
> Wie lautet das Ausgangssignal?

Ich wuerd's mal so probieren:
Dein h(n) besteht ja aus 3 Diracstoessen (mit der Gewichtung 0.25 0.5 
0.25).
Zum Warmwerden nehm' ich mal nur einen Diracstoss - den ersten - und 
berechne das Ausgangssignal y1 damit.
Das ist dann einfach nur das Eingangssignal durch 4 geteilt (oder eben 
mal 0.25) genommen.
Also:
1
y1(n)= 0.25 * x(n) = 0.25*cos(2/10 * pi * n)

So und jetzt - trick 17 - nehm ich mal nur den 3. Diracstoss her zum 
berechnen, der ist ja genauso hoch wie der erste, kommt aber 2 Takte 
spaeter.
1
y3(n)= 0.25 * x(n-2) = 0.25*cos(2/10 * pi * (n-2))

Jetzt nochmal den Affenzirkus mit dem mittleren dirac:
1
y2(n)= 0.5 * x(n-1) = 0.25*cos(2/10 * pi * (n-1))

Dann halt noch diese 3 verschiedene ypsilons aufaddieren. Ist ja alles 
linear und zeitinvariant...
y(n)=y1(n)+y2(n)+y3(n)

Gruss
WK

von Ralf B. (Firma: Scorptech) (mad_scorp)


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WK hat eine richtig elegante Lösung. Superposition der Einzelsignale. 
Find ich toll.

Ansonsten ist eben die Frage ob du ein Tabellenbuch benutzen darfst, um 
die z-Trafos zu bestimmen anstatt diese zu berechnen.

Dann muss man eigentlich nur noch die elementaren Regeln für das 
Zusammenrechnen verstanden haben und man braucht eigentlich nicht mehr 
rechnen.

Du musst zu dem Punkt kommen, wo du eine z-Trafo siehst und sagst: das 
ist eine Integration, das ist ein Cosinus und das ist ein Dirac.

Lies dir nochmal durch, was WK geschrieben hat. Die Faltung mit dem 
Dirac "schiebt" das Signal an eine bestimmte Zeit (siehe Laplace-Trafo 
von dirac ist 1), der Vorfaktor skaliert das ganze einfach nur.

Dergute W. schrieb:
> Ist ja alles
> linear und zeitinvariant...

Das ist des Pudels Kern.

von Dergute W. (derguteweka)


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Moin,

Ralf B. schrieb:
> Find ich toll.

Dangedange ;-)

Ich denk' es ist genau die Falle, in die man bei der Aufgabe nicht 
tappen darf: Keinesfalls irgendwie versuchen irgendwas z zu 
transformieren. Egal ob mit Korrespondenztabelle oder zu Fuss.

Juliette Gerischer schrieb:
> Da die Aufgabe in
> Altklausuren nur 4 von 100 Punkten gibt, vermute ich, dass es hier eine
> einfachere Lösung gibt

Das ist exakt die richtige Vermutung, und solche Vermutungen werden dir 
den Ar...m in der Klausur retten ;-)

Achja, da war nochwas:

Juliette Gerischer schrieb:
> H(z) = 1/4 + 1/2z^(-1) + 1/4z^(-2)
> Wie würde man davon den Phasengang berechnen?

Das ist auch bissl fies, denn so wird's eine mordsrechnerei.
Da hilfts, wenn man im Hinterkopf hat, dass bestimmte 
Symmetrieeigenschaften bei Impulsantworten das Leben stark vereinfachen 
koennen. Aus H(z) hier einmal mit Gewalt z^(-1) ausklammern; das was 
dann noch uebrig bleibt, ist zwar nicht mehr kausal, aber symmetrisch 
zur Y Achse und hat den (frequenzunabhaengigen) Phasengang 0.
Also bleibt nur noch der Phasengang von z^(-1) uebrig.

Gruss
WK

von Ralf B. (Firma: Scorptech) (mad_scorp)


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Dergute W. schrieb:
> Das ist exakt die richtige Vermutung, und solche Vermutungen werden dir
> den Ar...m in der Klausur retten ;-)

Quoted for truth!

von Purzel H. (hacky)


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Allenfalls haette der Poster in der Vorlesung aufpassen koennen ... so 
er denn ueberhaupt erschienen ist.

von Rolf S. (audiorolf)


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Die Fragestellung zeigt mir schon, dass er nicht so richtig etwas von 
der Materie verstanden zu haben scheint.

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