Zeitinvarianz (Zustandsraum)

[g116 (Gast)]

Ich soll die Zeitinvarianz des folgenden Systems überprüfen:
[latex]\dot{x}=2+u , x(t_0)=x_0[/latex]
[latex]y=x [/latex]

Eigentlich entspricht es genau dem Tafelbeispiel (2.6) aus folgender 
PDF: 
http://info.tuwien.ac.at/tkiefer/downloads/SkriptumSystemtheorie1WS0809SB_Kap2.pdf
Wie gehe ich nun an die Sache heran?

Meine Herangehensweise:
[latex] x=x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0}^t u d\tau =y[/latex]

Und was dann? Geht es so weiter?
[latex] x=x_0+2(t-T-t_0+T)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau = 
x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau=y[/latex]

Wie weiter?

[Al3ko -. (al3ko)]

Hi,
um deinen Text als Formel darstellen zu lassen, ist es hilfreich, die im 
Anhang gezeigte Formatierung zu verwenden.

Gruß,

[Systemtheorie (Gast)]

Wenn wir beim Thema sind: Kann jemand in einfachen Worten den Sinn der 
Transitionsmatrix erklären?

[Raising apoapsis (Gast)]

Mit der kannst du den Zustandsvektor zu jedem Zeitpunkt  t0 + x 
vorausberechnen.

[Matthias (Gast)]

g116 schrieb:
> Wie weiter?

Die Punkte (1)-(3), die bei der Definition für Linearität beschrieben 
stehen, auf dein Integral umgelegen.

y=x0 + int (2 + u) dt = x0 + 2t + u*t

[Kolja L. (kolja82)]

Ich soll die Zeitinvarianz des folgenden Systems überprüfen:

$$\dot{x}=2+u , x(t_0)=x_0$$

$$y=x$$

Eigentlich entspricht es genau dem Tafelbeispiel (2.6) aus folgender
PDF:
http://info.tuwien.ac.at/tkiefer/downloads/Skriptu...
Wie gehe ich nun an die Sache heran?

Meine Herangehensweise:

$$x=x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0}^t u d\tau =y$$

Und was dann? Geht es so weiter?

$$x=x_0+2(t-T-t_0+T)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau = x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau=y$$

Wie weiter?

[Matthias (Gast)]

Matthias schrieb:
> Die Punkte (1)-(3), die bei der Definition für Linearität beschrieben
> stehen, auf dein Integral umgelegen.

zB in (1) eingesetzt:

einfacher halber sage ich dass t0 = 0, alpha_1 = alpha_2 = 0.5:

$$(0.5*x_0+0.5*x_0)+2*t+\int_{0}^t 0 d\tau = 0.5*(x_0+2*t+\int_{0}^t 0 d\tau) + 0.5*(x_0+2*t+\int_{0}^t 0 d\tau)$$

$$x_0+2*t = 0.5*x_0 + t + 0.5*x_0 + t$$

Weiter so für die Punkte (2) & (3)...
Mindestens eines der Kriterien wird nicht erfüllt, da dein Professor ja 
als Ergebnis schon schreibt, dass dieses System nicht linear ist.

[g116 (Gast)]

Matthias schrieb:
> Matthias schrieb:
>> Die Punkte (1)-(3), die bei der Definition für Linearität beschrieben
>> stehen, auf dein Integral umgelegen.
>
> zB in (1) eingesetzt:
>
> einfacher halber sage ich dass t0 = 0, alpha_1 = alpha_2 = 0.5:
>
> (0.5∗x0+0.5∗x0)+2∗t+∫t00dτ=0.5∗(x0+2∗t+∫t00dτ)+0.5∗(x0+2∗t+∫t00dτ)
> (0.5*x_0+0.5*x_0)+2*t+\int_{0}^t 0 d\tau = 0.5*(x_0+2*t+\int_{0}^t 0
> d\tau) + 0.5*(x_0+2*t+\int_{0}^t 0 d\tau)x0+2∗t=0.5∗x0+t+0.5∗x0+t
> x_0+2*t = 0.5*x_0 + t + 0.5*x_0 + t
> Weiter so für die Punkte (2) & (3)...
> Mindestens eines der Kriterien wird nicht erfüllt, da dein Professor ja
> als Ergebnis schon schreibt, dass dieses System nicht linear ist.

Bitte meine Frage lesen. Ich hab das nur der Einfachheit halber angefügt 
(also den Link zum pdf), damit man das Beispiel in schönem code und die 
Definition der Zeitinvarianz gleich ersichtlich hat.
Mir gehts eben um die Zeitinvarianz, nicht um die Linearität!

[Matthias (Gast)]

g116 schrieb:
> Bitte meine Frage lesen.
...okay_guy_face.jpg...

Kolja L. schrieb:
> Und was dann? Geht es so weiter?

Ja, da hast du den Beweis schon, dass es zeitinvariant ist, da die 
Verschiebung um T keine Beeinflussung des Systems darstellt:

$$x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0}^t u d\tau = x_0+2(t-T-t_0+T)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau$$

Das Eingangsintegral wird ja praktisch nur wieder zurecht gerückt, denn 
die Systemantwort zum Zeitpunkt t_0 auf den Eingang u, soll ja bei 
Zeitinvarianz dieselbe Systemantwort geben wie zum Zeitpunkt t_0 + T. 
Aber eben auf denselben Eingang u:

"Die Stoßantwort des Systems ist heute gleich wie gestern oder 
morgen..."

[Harald (Gast)]

>> ...  Text als Formel darstellen ...

$$[latex] x=x_0+2(t-T-t_0+T)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau = x_0+2(t-t_0)+\int_{t_0-T}^{t-T} u d\tau=y[/latex]$$

[g116 (Gast)]

Vielen Dank für die Antworten. Wo ich jetzt aber noch einen Knoten im 
Hirn habe ist folgendes. Laut der Definition verschiebe ich ja nur den 
Eingang und den Anfangszustand um T. Weshalb setz ich dann auf für das t 
nach dem 2er (t-T) ein?

[Matthias (Gast)]

Nur um zu sehen, dass es sich wegkürzt.

[Matthias (Gast)]

Bzw verschiebst du t und t0 um T.

[g116 (Gast)]

okay, wenn ich aber folgendes mache:

$$y(t-T)=x_0+2(t-T-t_0)+\int_{t_0}^{t-T} u d\tau$$

[g116 (Gast)]

g116 schrieb:
> okay, wenn ich aber folgendes mache:y(t−T)=x0+2(t−T−t0)+∫t−Tt0udτ
> y(t-T)=x_0+2(t-T-t_0)+\int_{t_0}^{t-T} u d\tau

sorry falschen Button erwischt...

wenn ich eben obiges mache, komme ich nicht auf das gleiche, als wenn 
ich nur den Anfangszustand und den Eingang verschiebe. Das müsste es 
aber lt. der Definition der Zeitinvarianz.

[Matthias (Gast)]

t_0 auch verschieben!

[g116 (Gast)]

Ja das sagt der Satz aber meiner Meinung nicht aus. Der sagt ja, wenn 
man den Eingang und den Anfangszustand verschiebt (so wie bei den Posts 
weiter oben), dann muss es y(t-T) ergeben. Oder lese ich den Satz 
falsch?

[Matthias (Gast)]

Die Aussage ist mMn dass y(t+T)=y(t-T)=y(t), wenn der Eingang u eben 
entsprechend verschoben wird.

Matthias schrieb:
> "Die Stoßantwort des Systems ist heute gleich wie gestern oder
> morgen..."