Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Ladung eines Kondensators.
Unzwar bestimmt sich die Ladung eines Kondensators in Abhängigkeit der
Zeit nach dieser Formel: U=U0*(1-e^(-t/R*C))
Wenn ich diese Formel in die Gleichung der auf dem Kondensator
befindlichen Energie einsetze (E=1/2*C*U^2) ergibt sich eine Gleichung,
in der ich die auf dem Kondensator gespeicherte Energie in Abhängigkeit
der Zeit errechnen kann: E=1/2*C*(U_0-U_0*e^(-t/τ) )^2
Wenn ich diese Formel nun einmal nach der Zeit ableite erhalte ich den
Verlauf der Energie, die pro Zeiteinheit auf den Kondensator geladen
wird. Sozusagen ist dies die Leistungsaufnahme des Kondensators. Wenn
ich diese Formel noch einmal ableite, gleich Null setze und nach t
umstelle ergibt sich: E''=1/τ^2 *C*U_0^2*e^(-(2*t)/τ)-C*1/τ^2
*U_0*e^(-t/τ)*(U_0-U_0*e^(-t/τ))=0
Durch Auflösung nach der Zeit erfahre ich, dass die aufgenommene
Leistung immer dann maximal ist, wenn der Kondensator die Hälfte der
maximalen Leistung aufweist. Ist dies irgenwie erklärbar? Oder sind
meine Berechnungen nicht korrekt?
Gruß,
Jens
Jens schrieb:> Sozusagen ist dies die Leistungsaufnahme des Kondensators.
"Leistungsaufnahme" hmmmmm....
Streiche in deinen Überlegungen das Wort "Leistung" und ersetze es durch
"Energie". Dann sind weniger Fehler drin.
Lothar M. schrieb:> Dann sind weniger Fehler drin.
Es wäre schön zu hören, wo ich einen Fehler gemacht habe? Aus meiner
Sicht ist es sehr logisch, wie ich das ganze hergeleitet habe! Unter
Berücksichtigung deines Kommentars ist einfach bei der Hälfte der
maximalen Ladung die pro Zeiteinheit vom Kondensator aufgenommene
Energie maximal?!
Jens schrieb:> Lothar M. schrieb:>> Dann sind weniger Fehler drin.>> Es wäre schön zu hören, wo ich einen Fehler gemacht habe? Aus meiner> Sicht ist es sehr logisch, wie ich das ganze hergeleitet habe! Unter> Berücksichtigung deines Kommentars ist einfach bei der Hälfte der> maximalen Ladung die pro Zeiteinheit vom Kondensator aufgenommene> Energie maximal?!
Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, aber es erscheint mir intuitiv
erstmal nicht unplausibel. Die Erklärung hast du ja in gewisser Weise
schon aufgeschrieben.
Intuitiv formuliert wird es (wenn dein Ergebnis stimmt) wahrscheinlich
irgendwie so sein: ganz am Anfang steigt zwar die Spannung sehr schnell,
aber die Energie nimmt mit der Spannung nur wenig zu; ganz am Ende nimmt
zwar die Energie mit der Spannung sehr schnell zu, aber die Spannung
steigt sehr langsam; die Gesamt-Rate ist das Produkt der beiden Kurven
und die hat eben irgendwo zwischendrin ein Maximum. Offenbar in der
Mitte der Ladung, wenn du richtig gerechnet hast.
Interessant ist das ganze für mich, da ich mit einem Piezoelement nach
dem Gleichrichten eine Leistung erzeuge und diese auf einem Kondensator
zwischenspeicher. Und aus meiner Sicht merkwürdigerweise erzeuge ich
eben genau bei der Hälfte der maximalen Ladung eine maximale Energie /
eine maximale Leistung (U*I) mit dem Piezomodul. Ich kann mir das ganze
einfach nur anhand meiner Rechnung erklären und dachte, es gibt
eventuell eine logische Erklärung
>> Durch Auflösung nach der Zeit erfahre ich, dass die aufgenommene>> Leistung immer dann maximal ist, wenn der Kondensator die Hälfte>> der maximalen Leistung aufweist. Ist dies irgenwie erklärbar?
********
>> Oder sind meine Berechnungen nicht korrekt?> Dann sind weniger Fehler drin.
Falls richtig abgeleitet wurde, gibt es einen Fehler (********).
---
Zur Zeit t=0 ist die "Leistungsaufnahme" des Kondensators 0
(alle Leistung geht in den Widerstand).
Nach unendlicher langer Zeit ist der Strom und damit die Leistung 0.
Also muss dazwischen ein Maximum sein. ;-)
Jens schrieb:> Es wäre schön zu hören, wo ich einen Fehler gemacht habe? Aus meiner> Sicht ist es sehr logisch, wie ich das ganze hergeleitet habe! Unter> Berücksichtigung deines Kommentars ist einfach bei der Hälfte der> maximalen Ladung die pro Zeiteinheit vom Kondensator aufgenommene> Energie maximal?!
Das Endergebnis deiner Rechnung passt (die Formel habe ich nicht im
Detail überprüft, aber die Aussage zur maximalen Leistung ist korrekt).
Allerdings hast du mit
Jens schrieb:> wenn der Kondensator die Hälfte der> maximalen Leistung aufweist.
wahrscheinlich gemeint "wenn der Kondensator die Hälfte der maximalen
Ladung aufweist", oder?
Zu dem Zeitpunkt fällt die Hälfte der Spannung am Widerstand der Quelle
ab. Und ja, da ist die Leistungsabgabe der Quelle (und die
Leistungsaufahme des Kondensators) maximal. Wenn du in einem ohmschen
Verbraucher die maximal erreichbare Leistung umsetzen wolltest, dann
wählst du auch Verbraucherwiderstand=Quellwiderstand (so dass - wie in
dem von dir betrachteten Zeitpunkt - die Hälfte der Spannung am
Innenwiderstand der Quelle abfällt).
https://de.wikipedia.org/wiki/LeistungsanpassungJens schrieb:> Interessant ist das ganze für mich, da ich mit einem Piezoelement nach> dem Gleichrichten eine Leistung erzeuge und diese auf einem Kondensator> zwischenspeicher.
Hm: die Betrachtung (und deine Ausgangsformel) gelten für eine ideale
Spannungsquelle mit einem bestimmten Innenwiderstand, der die
Zeitkonstante tau festlegt. Ob das so ein gutes Modell für einen Piezo
ist bezweifle ich.
@Achom, den Link zur Leistungsanpassung finde ich sehr hilfreich
Achim S. schrieb:> Hm: die Betrachtung (und deine Ausgangsformel) gelten für eine ideale> Spannungsquelle mit einem bestimmten Innenwiderstand, der die> Zeitkonstante tau festlegt. Ob das so ein gutes Modell für einen Piezo> ist bezweifle ich.
Das Piezoelement lädt den Kondensator in der gleichen Weise, wie dies
ein Netzteil auch tut, das habe ich getestet. Dies kommt daher, dass ein
Piezo einen Innenwiderstand hat. Jetzt ist mir aber auch klar, warum die
maximale Leistung bei der Hälfte der maximalen Ladung erzeugt wird.
Danke!
Jens schrieb:> Dies kommt daher, dass ein> Piezo einen Innenwiderstand hat.
Ein Piezo hat primär einen kapazitiven Innenwiderstand. Dein berechnetes
Netzteil hat einen ohmschen Innenwiderstand. Das ist ein Unterschied.
Wenn z.B. ein konstanter Strom in die Last fließt, dann bleibt beim
Netzteil die Spannung konstant, beim Piezo sinkt die Spannung. Deswegen
habe ich immer noch Zweifel an deiner Theorie.
Aber egal: wenn dir weitergeholfen ist, dann passt es schon.
Achim S. schrieb:> Wenn z.B. ein konstanter Strom in die Last fließt, dann bleibt beim> Netzteil die Spannung konstant, beim Piezo sinkt die Spannung. Deswegen> habe ich immer noch Zweifel an deiner Theorie.
Also ich habe beigefugt einmal einen Kondensator-Ladeverlauf, wenn ich
diesen mit einem Piezo lade. Der Piezo wird dabei durch eine
Vibrationsbewegung angeregt. Meine "Theorie" entsteht dadurch, dass der
Verlauf der Kondensatoraufladung mittels des Piezos die gleiche Form
hat, wie wenn ich ein Netzteil mit einer konstanten Spannung verwende.
Die kleinen Wellen im Verlauf der Ladung entstehen dadurch, dass die
Auslenkung des Piezos nicht gleichmäßig, sondern eben durch eine
Vibration erfolgt.
Eine kleine Ergänzung: Auch bei dem gemessenen Verlauf ist die
Leistungserzeugung (also die dem Kondensator pro Zeiteinheit
hinzugefügte Energie) bei der Hälfte der maximalen Spannung maximal.
Sind dies nicht Indizien dafür, dass die Berechnungen passen müssten?
Sven B. schrieb:> Also ich kann in diesem Graph keine Kurvenform ablesen. Linearisier das> doch mal anhand deiner These und dann schauen wir mal ob's passt.
Naja das ganze sieht dann so aus wie im Anhang. Wie gesagt, die
Wellenform kommt daher, dass das Piezoelement mit einer Vibration
angeregt wird und dadurch im Zeitverlauf keine konstante Leistung
erzeugt. Aber gerade bei der idealisierten Funktion kann man erkennen,
dass die Ladekurve ist wie beim Laden eines Kondensators über ein
Netzteil. Es kann folglich auch die Ladekonstante berechnet werden sowie
dadurch der interne Widerstand bestimmt werden. Klingt doch logisch,
oder?!
Schau mal nach Leistungsanpassung im Netz
Wenn der Widerstand des Piezos und des C's gleich sind hast du die
maximale Leistung die der C auf sowie auch abgeben könnte...
Jens schrieb:> Sven B. schrieb:>> Also ich kann in diesem Graph keine Kurvenform ablesen. Linearisier das>> doch mal anhand deiner These und dann schauen wir mal ob's passt.>> Naja das ganze sieht dann so aus wie im Anhang. Wie gesagt, die> Wellenform kommt daher, dass das Piezoelement mit einer Vibration> angeregt wird und dadurch im Zeitverlauf keine konstante Leistung> erzeugt. Aber gerade bei der idealisierten Funktion kann man erkennen,> dass die Ladekurve ist wie beim Laden eines Kondensators über ein> Netzteil. Es kann folglich auch die Ladekonstante berechnet werden sowie> dadurch der interne Widerstand bestimmt werden. Klingt doch logisch,> oder?!
Klingt logisch, stimmt aber meiner Erfahrung nach nicht. Du kannst an so
einer krummen Kurve nicht gut ablesen, ob die Krümmung eher zu einer
Exponentialfunktion oder zu 1/x^2 passt, vor allem ohne viele viele
davon gesehen zu haben und mit dem Rauschen drauf und ohne Fit dran.
Überlege dir wie du denkst dass es ansteigt, und teile die Kurve durch
diese Funktion. Wenn die Überlegung stimmt, ist das Ergebnis eine
Gerade. Wenn du dann noch eine Gerade durchzeichnest, sieht man ganz
genau, ob z.B. die Krümmung stimmt, weil wenn nicht ist die
resultierende "Gerade" eben keine.
Wenn du nur die beiden Graphen von Modellfunktion und Messwerten
hintereinander anschaust und sagst "ja, sieht so ähnlich aus", kann man
da bestimmt fünf relativ einfache, aber völlig verschiedene funktionale
Zusammenhänge finden, für die man sagen würde "ja, sieht so aus wie das"
(log, sqrt, 1/x^2, 1-e^-x, ...).
Ein Piezo liefert bei Belastung zunächst mal eine Ladung, die
proportional zur einwirkenden Kraft ist
Q = k F
Je nachdem, wie der Piezo extern beschaltet ist, führt diese
Ladungsverschiebung zu Strom- oder Spannungsänderungen. Die Extremfälle
sind dabei:
- im Leerlauf führt die Ladung zu einer Spannungsänderung der
Piezokapazität
U_L = Q / C_Piezo = k F / C_Piezo
- im Kurzschluss führt die Ladung zu einem Kurzschlussstrom, dessen
Integral grade der Ladung Q entspricht
In dem System des TO, das in der Summe seiner Beiträge so langsam mal
erkennbar wird, steigt erst mal die Spannung so weit an, bis die
Spannung des externen Kondensators erreicht ist. Dann fließt ein Strom
über den Gleichrichter in den externen Kondensator und transferiert die
"restliche" Ladung dorthin. Die Spannung steigt dabei nur noch
geringfügig an (entsprechend dem Kapazitätsverhältnis von Piezo zu
externem Kondensator C_ext).
Ein einzelner solcher Aufladevorgang (ein einzelner Belastungspuls am
Piezo) ist also zunächst mal überhaupt nicht vergleichbar zum Aufladen
des externen Kondensators an einem Netzteil. Wenn man den Piezo aber
periodisch belastet und das System auf einer Zeitskala betrachtet, wo
über viele solche Einzelpulse "gemittelt" wird, dann ergibt sich daraus
schon eine Aufladung, die man durch Spannungsquelle mit Innenwiderstand
modellieren kann. Die "Leerlaufspannung" der Quelle ergibt sich wie oben
beschrieben aus
U_L = Q / C_Piezo = k F / C_Piezo
Der äquivalente Innenwiderstand der Quelle (entsprechend einem ohmschen
R_i) ergibt sich aus der Piezokapazität und der Schaltfrequenz f
R_i = 1 / (C_Piezo * f)
Jens schrieb:> Naja das ganze sieht dann so aus wie im Anhang.
Was bedeutet "idealiserte Kurve"? Sind das deine Messwerte nach einer
Verarbeitung/Filterung bzw. eine geifittete Kurve? Oder ist das die
berechnete Theoriekurve?
Sven hat nicht vorgeschlagen, dass du deine Theoriekurve auftragen
sollst. Sondern dass du deine Messkurve so auftragen sollst, dass nach
Theorie eine Gerade daraus wird. Also im Endeffekt: Berechne die
Differenz zwischen dem Endwert deiner Kurve (~4V) und den Messwerten und
trage das ganz logarithmisch auf.
Damit kannst du prüfen, ob die Messwerte sich an deine Theorie halten
oder nicht.
Achim S. schrieb:> Was bedeutet "idealiserte Kurve"? Sind das deine Messwerte nach einer> Verarbeitung/Filterung bzw. eine geifittete Kurve? Oder ist das die> berechnete Theoriekurve?
Ich habe die gesamte Kurve mittels einer Trendlinie in Excel bearbeitet.
Im Anhang findet ihr aber nun die benötigte Darstellung (Alle Punkte
sind mit dem Faktor 10 skaliert, also die Y-Achse ignorieren). Der nicht
mehr lineare am Ende der Entladung erklärt sich dadurch, dass der
Kondensator sich stetig selbst entlädt und wieder geladen wird.
Ansonsten sieht der Verlauf aus wie der Verlauf einer berechneten Kurve
nach der Kondensatorladungsformel.
Hä, was hast du jetzt gemacht? Einfach die y-Achse auf log gestellt? Ok,
sieht ungefähr exponentiell aus in dem Fall. Das mit dem Faktor 10
verstehe ich nicht (also ich verstehe was du machst, aber nicht warum).
Sven B. schrieb:> Hä, was hast du jetzt gemacht? Einfach die y-Achse auf log gestellt?
Dann hoffen wir mal, dass die Messpunkte in regelmäßigen Zeitabständen
liegen.
Für soetwas nimmt man eine xy-Darstellung
