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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Pol- und Nullstellen bei analogen Filtern


Autor: Jakob (Gast)
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Liebe Menschen!

Nachdem ich mich jetzt gut ein Jahr mit der Thematik herumgeschlagen 
habe und noch immer nicht ganz auf einen grünen Zweig mit meinem 
Verständnis gekommen bin suche ich hier Hilfe auf.
Es geht um analoge Filterschaltungen; konkret um den Zusammenhang von 
Pol- und Nullstellen mit den Grenzfrequenzen des Filters. Ich bin 
soweit, dass ich verstehe, dass ein Tiefpass Filter beispielsweise seine 
Grenzfrequenz an der Stelle hat, an der der Betrag um den Faktor
 kleiner ist als im Durchlassbereich. Das kann ich dann auch schön 
analytisch auflösen und komme brav auf meine Grenzfrequenz. 
Problematisch wird es für mich, wenn ich eine Übertragungsfunktion mit 
Pol- und Nullstellen bekomme. Ich bin gut durch mein Studienjahr 
gekommen damit, dass ich die Funktionen in die dementsprechende Form 
bringe und dann auswendiggelernte Formeln zusammenschuster. Allerdings 
nervt ich die Thematik nun schon so lange, das sich es gerne ein für 
alle Mal verstehen würde. Konkret zu meiner Frage:
Nehmen wir zum Beispiel an ich hätte eine Übertragungsfunktion der Form
Betrachte ich in diesem Fall Pol- und Nullstelle extra und sage im einen 
Fall der Betrag muss um den Faktor
 kleiner als das Maximum und im anderen Fall um den Faktor größer als 
das Minimum sein? Dafür muss ich ja Maximum und Minimum bereits kennen.
Wie ihr seht herrscht viel Verwirrung in meinem rauchigen Hirn. Ich 
würde mich über jede Hilfestellung freuen!

Gruß Jakob

: Verschoben durch Moderator
Autor: Jakob (Gast)
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Tut mir leid die Latex Notation ist ein bisserl durcheinander gekommen, 
aber die Vorschau hatte bei mir nicht funktioniert. Es sollt sein

Autor: Possetitjel (Gast)
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Jakob schrieb:

> Betrachte ich in diesem Fall Pol- und Nullstelle extra

Nein. Das hat keinen Sinn.


> und sage im einen Fall der Betrag muss um den Faktor
> 1/2*wurzel(2) kleiner als das Maximum und im anderen Fall
> um den Faktor größer als das Minimum sein?

Hmmja... so ähnlich.


> Dafür muss ich ja Maximum und Minimum bereits kennen.

Ja, klar.

Normalerweise kennt man das aber: Bei Tiefpass ist es der
Übertragungsfaktor für omega=0; beim Hochpass entsprechend
der für omega --> unendlich. Ein Resonanzkreis hat eine
Resonanzfrequenz, die den Amplitudenbezugswert für die
Grenzfrequenzen liefert.

Bei komplizierteren Filtern mit "irregulärer" Übertragungs-
funktion spricht man nicht mehr von Grenzfrequenzen im
klassischen Sinne, sondern gibt ein Toleranzschema an, das
charakteristische Frequenzen, Übertragungsfaktoren und
zulässige Toleranzen enthält.

HTH

Autor: Jakob (Gast)
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Danke schon mal für deine Antwort!
Wie würde ich denn dann in diesem konkreten Fall vorgehen? Ich kann 
Minimum und Maximum bestimmen. Setz ich einmal den Betrag der Gleichung 
mit dem Minimum um den Faktor Wurzel 2 größer gleich und einmal den 
Betrag mit dem Maximum um den Faktor Wurzel 2 kleiner gleich? Oder geht 
man da ganz anders vor? Ziel wäre es halt den Frequenzgang Skizzieren zu 
können

Autor: Helmut S. (helmuts)
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Pole und Nullstellen interessieren doch im Prinzip nicht bei der 
Betrachtung der Grenzfrequenz. Du rechnest die Formel mit dem Betrag der 
Übertragunsgfunktion aus und setzt die gleich dem 1/sqrt(2) fachen des 
Durchlassbereichs.

Formel(w) = Betrag_im_Durchlassbereich/sqrt(2)

nach w auflösen

w =

fertig

: Bearbeitet durch User
Autor: Jakob (Gast)
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Aber so wie ich das verstanden habe wirken sich Pole und Nullen ja schon 
durch einen Knick nach unten bzw. oben im Betrag aus. Und wenn ich eine 
sehr komplexe Übertragunsfunktion habe mir vielen „Knicken“, macht es 
dann nicht Sinn die einzelnen Pole und Nullstellen zu betrachten?

Autor: Helmut S. (helmuts)
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> Und wenn ich eine sehr komplexe Übertragunsfunktion habe mir vielen „Knicken“, 
macht es dann nicht Sinn die einzelnen Pole und Nullstellen zu betrachten?

Da bekommst du dann die Grenfrequenzen der einzelnen Pole und 
Nullstellen. Das benötigt man für die Konstruktion eines Bodediagramms.

Ich ging davon aus, dass du die 3dB-Grenzfrequnz der Gesamtfunktion 
berechnen willst. Das ist etwas ganz anderes als die weiter oben 
beschriebene Betrachtung der Grenzfrequnzen der Pole und Nullstellen.

Geht es jetzt um die Gesamtfunktion?

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Jakob schrieb:
> Aber so wie ich das verstanden habe wirken sich Pole und Nullen ja schon
> durch einen Knick nach unten bzw. oben im Betrag aus. Und wenn ich eine
> sehr komplexe Übertragunsfunktion habe mir vielen „Knicken“, macht es
> dann nicht Sinn die einzelnen Pole und Nullstellen zu betrachten?

Es ist generell sinnvoll, sich erst einmal über den qualitativen Verlauf
des Betragsfrequenzgangs im Klaren zu werden, bevor man weitere
Berechnungen anstellt.

In deinem Beispiel sieht man sofort die Nullstelle bei ω₁=1/((R1+R2)·C2)
und den Pol bei ω₂=1/(R2·C2). Außerdem ist ω₁<ω₂. Mit der Knickmethode
lässt sich der Betragsfrequenzgang wie folgt skizzieren:

         ______
        /
       /
______/
     ω₁ ω₂

Im Anhang ist der tatsächliche Verlauf für R1=30kΩ, R2=10kΩ und C2=100nF
– zusammen mit einer Schaltung, die die gewünschte Übertragungsfunktion
hat – dargestellt.

Sind die Pole und Nullstellen nicht reell, oder liegen sie zu dicht
beieinander, kommt man mit der Knickmethode meist nicht weiter. Oft
hilft stattdessen eine Kurvendiskussion des Betragsfrequenzgangs. Der
Betrag der vorliegenden Übertragungsfunktion hat u.a. die folgenden
Eigenschaften:

- streng monoton steigend über den gesamten Frequenzbereich (Ableitung
  überall >0)

- |H(0)| = 1

- |H(∞)| = (R1 + R2) / R2  (im Beispiel der Wert 4)

Somit ist das Minimum 0 und das (für endliche Frequenzen nicht ganz
erreichbare) Maximum (R1+R2)/R2. Wir haben es hier also nicht mit einem
unechten Hochpass zu tun, unecht deswegen, weil er auch niedrige
Frequenzen um einen Faktor >1 verstärkt.

Andere Übertragungsfunktionen können durchaus auch ein oder mehrere
lokale Maxima und Minima aufweisen.

Hat man erst einmal den qualitativen Frequenzgang dargestellt, kann man
überlegen, welche quantitativen Größen (3dB-Grenzen, Resonanzfrequenzen
usw.) von Interesse sind, und diese dann anschließend exakt ausrechnen.

: Bearbeitet durch Moderator
Autor: Jakob (Gast)
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Danke euch beiden für die Antwort.

Yalu X. schrieb:
> n deinem Beispiel sieht man sofort die Nullstelle bei ω₁=1/((R1+R2)·C2)
> und den Pol bei ω₂=1/(R2·C2).

Nur genau da liegt mein Problem. Wie komme ich, mathematisch korrekt, 
auf den Pol und die Nullstelle. Weil ich weiß dass ich sie in dieser 
Form direkt ablesen kann nur nicht wie ich mathematisch darauf komme.

Autor: Mike (Gast)
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Jakob schrieb:
> Nur genau da liegt mein Problem. Wie komme ich, mathematisch korrekt,
> auf den Pol und die Nullstelle. Weil ich weiß dass ich sie in dieser
> Form direkt ablesen kann nur nicht wie ich mathematisch darauf komme.

Indem Du den Nenner bzw. den Zähler der Übertragungsfunktion Null setzt 
und nach ω auflöst.

Autor: Jakob (Gast)
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Das macht dann aber keinen Sinn. Wenn ich das hier machen würde bekomme 
i h beim Nenner hier mache bekomme ich
 da ist meines Erachtens nach das Vorzeichen falsch

Autor: Helmut S. (helmuts)
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Jakob schrieb:
> Das macht dann aber keinen Sinn. Wenn ich das hier machen würde bekomme
> i h beim Nenner hier mache bekomme ich
>
 da ist meines Erachtens nach das
> Vorzeichen falsch

Das ist schon richtig. Du bekommst da den Pol im 
Pol-Nullstellen-Diagramm. Dieser Pol ist in dem Fall der auf negativen 
x-Achse bei w=-1/(R2*C2). Das sind natürlich nicht die Grenzfrequenzen 
im w-Bereich.

Autor: Jakob (Gast)
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Und wie komm ich dann auf die geenufreuqenzen im w Bereich?

Autor: Helmut S. (helmuts)
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Jakob schrieb:
> Und wie komm ich dann auf die geenufreuqenzen im w Bereich?

Willst du jetzt die Grenzfrequnezen der einzelnen Pole berechnen oder 
die Grenzfrequenz der Gesamtfunktion?

Wenn du nur die  Grenzfrequenz eines Poles oder einer Nullstellen 
berechnen willst, dann ist bei 1. Grad einfach wg=1/(R2*C1) in deinem 
letzten Beispiel.

Autor: Jakob (Gast)
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Erstmal sorry für die späte Antwort.

Helmut S. schrieb:
> Willst du jetzt die Grenzfrequnezen der einzelnen Pole berechnen oder
> die Grenzfrequenz der Gesamtfunktion?

Was meinst du mit Grenzfrequenz der Gesamtfunktion? Ich hab da ja 
offensichtlich in Summe mehrere Grenzfrequenzen, oder nicht?

Helmut S. schrieb:
> Wenn du nur die  Grenzfrequenz eines Poles oder einer Nullstellen
> berechnen willst, dann ist bei 1. Grad einfach wg=1/(R2*C1) in deinem
> letzten Beispiel.

Ja so hab ich das auch immer gemacht, ich würde nur gern wissen woher 
diese ominöse Formel kommt.

Tut mir leid aber das Zeug macht in meinem Hirn noch immer keinen Sinn.. 
:/

Autor: Al3ko -. (al3ko)
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Ich habe die ganze Diskussion durchgelesen, und muss gestehen, ich bin 
verwirrt.

Was genau ist gewünscht?

Gruß,

Autor: Possetitjel (Gast)
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Jakob schrieb:

> Helmut S. schrieb:
>> Wenn du nur die  Grenzfrequenz eines Poles oder
>> einer Nullstellen berechnen willst, dann ist bei
>> 1. Grad einfach wg=1/(R2*C1) in deinem letzten
>> Beispiel.
>
> Ja so hab ich das auch immer gemacht, ich würde nur
> gern wissen woher diese ominöse Formel kommt.

Das gilt auch nicht allgemein.

Möglicherweise ist Dein Verständnisproblem deutlich
subtiler, als ich ursprünglich annahm. Also nochmal
von vorn:

Die komplexe Übertragungsfunktion hat Polstellen und
Nullstellen.

Komplexe Polstellen werden durch die Polstellenfrequenz
charakterisiert; der Übertragungsfaktor geht da gegen
Unendlich.

Komplexe Nullstellen werden durch die Nullstellenfrequenz
charakteristiert; der Übertragungsfaktor an der Nullstelle
ist -- Überraschung! -- Null, daher der Name :)

Jetzt gibt es unabhängig davon noch den Begriff der Grenz-
frequenz.
Grenzfrequenzen sind nach Konvention Frequenzen, an denen
der Übertragungsfaktor auf einen bestimmten Teil eines
Bezugswertes abgefallen ist. Der "bestimmte Teil" ist häufig
1/(sqrt(2) ~= 0.707
Der "Bezugswert" wird nach der Art des Systems gewählt.

Beispiel: Ein DC-gekoppelter Verstärker verstärkt nominell
(= für DC bzw. für hinreichend niedrige Frequenzen) 20fach; die
Frequenz, bei der die Verstärkung auf 0.7071*20 = 14.142fach
abgesunken ist, nennt man die Grenzfrequenz der Verstärkers.

So. Das nur zur begrifflichen Vorbereitung. Jetzt zu Deiner
Frage.
Pol- und Nullstellenfrequenzen auf der einen und die Grenz-
frequenzen auf der anderen Seite hängen zusammen, sind aber
NICHT identisch.

Beispiel: Kerbfilter (z.B. Doppel-T-Filter) bei 1000Hz. Das
Kerbfilter hat für Frequenzen unter 1000Hz Tiefpasscharakter,
es lässt also DC und hinreichend niedrige Frequenzen nahezu
unbeeinflusst durch (Übertragungsfaktor ~=1).
Irgendwo kurz unterhalb der 1000Hz gibt es einen Punkt, an
dem der Übertragungsfaktor gerade 0.707 ist -- das wäre dann
die eine von Nullstelle erzeugte Grenzfrequenz.
Bei genau 1000Hz liegt die Nullstellenfrequenz.
Irgendwo oberhalb von 1000Hz kommt die zweite von dieser
Nullstelle erzeugte Grenzfrequenz, bei der der Übertragungs-
faktor wieder auf 0.7071 angewachsen ist. Geht man noch
höher mit der Frequenz, geht der ÜFaktor wieder gegen 1.

Bei den Polstellen ist es ähnlich, aber noch etwas kompli-
zierter, weil eine Polstelle bei der komplexen Frequenz -x
einen "Knick" der Übertragungsfunktion bei der komplexen
Frequenz +x verursacht. Eine "Grenzfrequenz" ist da erstmal
nicht in Sicht.

Der Zusammenhang ist also indirekt: Die Lage der Pol- und
Nullstellen (charakterisiert durch die Pol- und Nullstellen-
frequenzen) diktiert also den Verlauf der Übertragungsfunktion,
und an der Übertragungsfunktion kann man die Grenzfrequenzen
ausrechnen.
Es gibt aber keinen simplen, allgemeingültigen, DIREKTEN
Zusammenhang zwischen Pol- bzw. Nullstellenfrequenzen
einerseits und den Grenzfrequenzen andererseits.

HTH

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