Ortskurve Zeichnen

[AmVa (Gast)]

Hallo zusammen,

Wir haben in Regelungstechnik eine eigenartige OK-Aufgabe bekommen.
Meine Rechnung ist anbei.

1. Habe ich richtig gerechnet?
2. Wie kann für omega etwas imaginäres herauskommen, bzw wie soll man 
das zeichnen?
3. Der Einlaufwinkel ist bei -pi/2 obwohl es einen Schnittpunkt mit der 
IM-Achse gibt, wie zeichnet man das?

Was habe ich falsch gemacht? Wo ist mein Denkfehler?


Da sowas wahrscheinlich bei uns in der Klausur drankommen wird, wäre es 
sehr nett wenn uns das jemand besser erklären würde.

Wir haben bei uns in der Uni in der Übung und Vorlesung immer nur Terme 
gehabt, die 1. kein s im Zähler haben und ohne imaginären Nullstellen 
waren. Daher bin ich gerade etwas verwirrt.

Vielen Dank im Voraus =)

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

AmVa schrieb:
> 1. Habe ich richtig gerechnet?

Ja.

> 2. Wie kann für omega etwas imaginäres herauskommen, bzw wie soll man
> das zeichnen?

Wenn der Realteil der Übertragungsfunktion für kein reelles ω zu 0 wird,
bedeutet das ganz einfach, dass die Ortskurve die imaginäre Achse nicht
schneidet.

> 3. Der Einlaufwinkel ist bei -pi/2 obwohl es einen Schnittpunkt mit der
> IM-Achse gibt, wie zeichnet man das?

Die Kurve berührt für ω=∞ die imaginäre Achse, einen echten Schnittpunkt
gibt es aber nicht.

[Helmut S. (helmuts)]

Gs(s) = 12*(s+1)/(s^2 +3s +4)

Polstellen s^,2 = -3/2 +/- sqrt(-7/4)

Gs_(jw) = 12*(1+jw)/(4 +3*jw +(jw)^2)

phi = phi(Zähler) -phi(Nenner)

w<2
phi = arctan(w/1) -arctan(3w/(4-w^2))

w>2
phi = atan(w/1) -atan(3w/(4-w^2)) -180°



w=0

Gs(0) = 12/4 = 3
phi=0

Punkt (3,0)


w=?
Schnittpunkt mit der x-Achse
phi=0°
arctan(w/1) -arctan(3*w/(4-w^2)) = 0
arctan(w/1) = arctan(3*w/(4-w^2))
w/1 = 3*w/(4-w^2)
1 = 3/(4-w^2)
4-w^2 = 3
w = 1
Gs(1) = 12*sqrt(1+1^2)/sqrt((4-1^2)^2 +(3*1)^2)
Gs(1) = 12*sqrt(2)/sqrt(3^3+3^2)
Gs(1) = 4

Punkt (4,0)


w->unendlich
Gs_(unendlich) = 12*(jw)/((jw)^2) = 12/(jw) = -j0
phi = phi(Zähler) -phi(Nenner) = 90°-180° = -90°

[Al3ko -. (al3ko)]

Hi Yalu,
welches Programm hast du zum Zeichnen der Ortskurve verwendet?

Gruß,

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Al3ko -. schrieb:
> welches Programm hast du zum Zeichnen der Ortskurve verwendet?

Gnuplot

[AmVa (Gast)]

Wow!  Ich danke dir zutiefst!

Durch deine Erklärung hab ich das nun verstanden und habe dadurch auch 
ein besseres Gefühl für die Klausur! Jetzt habe ich jeden Fall durch und 
kann mich guten Gewissens in die Klausur stürzen!

Nochmal: Vielen Dank!

Auch an die anderen, fleißigen Antworter =)

Liebe Grüße und schönes Wochenende!


AmVa

[AmVa (Gast)]

Ich bin es nochmal =)

Ich hab noch eine extrem komische Aufgabe gefunden, könnt ihr mir da 
nochmal helfen? Bzw. Tipps geben, wie man solche Aufgaben am besten 
löst?


Liebe Grüße
AmVa

[Dieter (Gast)]

MAXIMA  bzw. wxmaxima kann solche Aufgaben, loesen mit Varablen, rechnen 
und plotten.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

AmVa schrieb:
> Ich hab noch eine extrem komische Aufgabe gefunden, könnt ihr mir da
> nochmal helfen?

Was ist daran komisch?

Du weißt, wie man die Übertragungsfunktion als komplexe Funktion von ω
getrennt nach Real- und Imaginärteil darstellt. Für ω=0 und ω=2 sind
jeweils die Real- und Imaginärteile der Funktionswerte gegeben. Das
ergibt vier Gleichungen für die drei Unbekannten a, b und K. Eine der
vier Gleichungen trägt nicht zur Lösung bei, da sie unabhängig von a, b
und K immer erfüllt ist. Es bleibt also ein System von drei Gleichungen
zu lösen, was dir sicher nicht schwerfallen wird.

Wo ist also das Problem?

[Helmut S. (helmuts)]

Komisch ist die Aufgabe nicht, aber etwas aufwendig.

Gs(s) = K*(2*s+1)/(s^2 +a*s +b)

Gs_(jw) = K*(jw*2+1)/((jw)^2 + a*jw +b)

w=0
K/b = R1
K/b = 3
--------

Punkt 2
w = 2

Gs_(jw) = K*(4j+1)/(-4 +a*2j +b)

1. Bedingung
phi=0°
arctan(4/1) -arctan(a*2/(b-4)) = 0
arctan(4/1) = arctan(a*2/(b-4))
4 = a*2/(b-4)
4b-16 = a*2
4*(b-4) = 2*a
-------------

2. Bedingung
|Gs(w=2)| = R2 = 9

9 = K*sqrt(4^2+1)/sqrt((b-4)^2+(2a)^2)
81*((b-4)^2+(2a)^2) = K^2*17

2*a durch 4*(b-4) ersetzen

81*((b-4)^2+(4*(b-4)^2) = K^2*17

81*17*(b-4)^2 = K^2*17
9*(b-4) = K
-----------

Von oben K/b=3 -> K = 3*b

9*b -36 = 3*b
b = 6
-----

K = 9*(b-4)
K = 18
------

a = 2*(b-4)
a = 4
-----

Gs(s) = 18*(2*s+1)/(s^2 +4*s +6)
---------------------------------


Probe:

w=0 -> G=3

w=2, R2=9
Gs_(jw) = 18*(4j+1)/(-4 +4*2j +6) = 18*(4j+1)/(8j+2) = 9

[AmVa (Gast)]

Helmut S. schrieb:
> -------------
>
> 2. Bedingung
> |Gs(w=2)| = R2 = 9
>
> 9 = K*sqrt(4^2+1)/sqrt((b-4)^2+(2a)^2)
> 81*((b-4)^2+(2a)^2) = K^2*17
>
> 2*a durch 4*(b-4) ersetzen
>
> 81*((b-4)^2+(4*(b-4)^2) = K^2*17
>
> 81*17*(b-4)^2 = K^2*17
> 9*(b-4) = K
> -----------
>
> Von oben K/b=3 -> K = 3*b
>
> 9*b -36 = 3*b
> b = 6
> -----
>
> K = 9*(b-4)
> K = 18
> ------
>
> a = 2*(b-4)
> a = 4
> -----
>
> Gs(s) = 18*(2*s+1)/(s^2 +4*s +6)
> ---------------------------------
>
> Probe:
>
> w=0 -> G=3
>
> w=2, R2=9
> Gs_(jw) = 18*(4j+1)/(-4 +4*2j +6) = 18*(4j+1)/(8j+2) = 9

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Vielen Dank für eure schnellen Antworten.

Tut mir leid, ich kann den Weg nur teilweise nachvollziehen. Wir haben 
das nie mit Wurzel-Ortskurven gelöst.

Also bis 2a = 4(b-4) hatten wir auch, danach bekommen wir nur Schund 
heraus.

Wir versuchen dann 2a zu ersetzen, aber anscheinend scheitert es da an 
mathematischen Kniffeln. In der Aufgabe steht ja auch als Hinweis, dass 
man möglichst kürzen soll.

Aber wir kommen nie zu dem Punkt, an dem man kürzen kann.

Also die beiden Aufgaben die ich geschickt habe, sind wirklich die 
einzigen beiden, die bei uns komplett anders war und daher für mich als 
"komisch" tituliert.

In der Übung hatten wir solche Aufgaben niemals besprochen. Diese 
Aufgaben sind lediglich aus Altklausuren.


Liebe Grüße
Am Va

[Helmut S. (helmuts)]

Man kommt ja auf diese 3 Gleichungen. Daraus muus man halt K, a und b 
bestimmen. Wenn man in der 3. Gleichung "a" mittels der 2.Gleichung 
eliminiert, hat man nur noch b^2 und K^2. Da dann die Wurzel ziehen. 
Jetzt hat man nur noch b und K. Zusammen mit der 1. Gleichung kann man 
dann K und b berechnen. Zum Schluss dann in die 2. Gleichung einsetzen 
um a zu bekommen.

K/b = 3

4*(b-4) = 2*a

81*((b-4)^2+(2a)^2) = K^2*17