Zustandsregelung

[Manfred (Gast)]

Hallo liebes µC-Forum,
da ich keine Erfahrung im Bereich der Regelungstechnik habe, bräuchte 
ich eure Hilfe. Es soll die stationäre Genauigkeit einer 
Zustandsregelung mittels Matlab untersucht werden. In der ersten zu 
untersuchenden Variante ist der gestrichelte Zweig vorhanden, ansonsten 
fehlt dieser. Folgende Teilaufgaben sind für beide Varianten zu 
untersuchen:
a) Aufstellung der Zustandsbeschreibung der Regelstrecke und des 
geschlossenen Kreises. Grafische Darstellung der regelstrecke mit 
normierter Sprungantwort unter der Annahme, dass alle Anfangsbebingungen 
Null sind.
b) Prüfen der Vorraussetzungen für die Anwendbarkeit der 
Zustandsregelung.
c)Entwurf der Zustandsregler nach dem Polvorgabeverfahren (Pollagen 
ergeben sich durch die Multiplikation aller Streckenpole mit dem Faktor 
1,5). In der zweiten Variante sollen die Zahlenwerte der berechneten 
Pole aus der ersten Variante übernommen werden.
d) Simulierung des Verhaltens des geschlossenen Kreises, wenn das 
Führungssignal ein Einheitssprung ist. Untersuchen, ob stationäre 
Genauigkeit vorliegt beim vernachlässigen des Vorfilters V. Falls dies 
nicht gegeben ist, Bemessung des Vorfilters.
Vorfilterbemessungsvorschrift:

$$V=-\begin{bmatrix}C (A-BK)^{-1} B \end{bmatrix}^{-1}$$

Bisher habe ich mich in die Materie bisschen reingelesen und Folgendes 
herausgefunden:

Zur Aufgabe a)
Das Signalflussbild kann in einen Regler und eine Regelstrecke 
unterteilt werden. In der Literatur fand ich ein Leitfaden zur 
Aufstellung eines Zustandsvariablen-Modells, welche wahrscheinlich ein 
Synonym für die Zustandsbeschreibung ist.
Für die Regelstrecke schrieb ich die Zustandsgleichungen auf:

$$\dot{x}_3=4x_3+u$$

$$\dot{x}_2=2x_2*x_3$$

$$\dot{x}_1=x_1*x_2$$

In der Matrix-Form:

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\[0.3em] \dot{x}_2 \\[0.3em] \dot{x}_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\[0.3em] 0 & 2 & 1 \\[0.3em] 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix} 0 \\[0.3em] 0 \\[0.3em] 1 \end{bmatrix}u$$

$$y = \begin{bmatrix} C & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Hier ergab sich die erste Hürde: Soll die Zustandsgröße des ersten 
Gliedes als erster Eintrag im Zustandsvektor stehen oder wie in der 
Literatur mit

$$\dot{x_1}$$

 beginnen?

Habe mich fürs letztere entschieden.

Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich das charakteristische Polynom 
von A mit folgenden Ansatz: N(s)= det(sI-A)aufgestellt.
Die Determinante ergab ein Polynom dritter Ordnung, welches durch eine 
Polynom-Division und anschließende PQ-Formel leicht aufzulösen war. Das 
Resultat wurde in der Literatur als "Streckenpole" bezeichent und 
stimmen mit dem Matlab-Befehl "eig" überein.

$$N(s) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}'$$

Um Aufgabe a) zu lösen, muss ich jedoch die Zustandsbeschreibung des 
geschlossenen Kreises aufstellen. Wie gehe ich da vor?

In der Teilaufgabe b) fand ich bisher nichts in meinen Büchern. Da die 
Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit oftmals als nächster Punkt folgt, ging 
ich von, dass die Teilaufgabe b) genaug diese "Voraussetzungen" meint.

Dazu nutzte ich diese Formeln:
Steuerbarkeit:

$$Q_s = \begin{bmatrix} \vec{b} & A\vec{b} & A^2\vec{b} \end{bmatrix}$$

Mit dem Matlab-Befehl "ctrb" erhielt ich die identische 
Steuerbarkeitsmatrix, deren Determinante ungleich 0 gewesen ist.
Beobachtbarkeit:

$$Q_B = \begin{bmatrix} \vec{c}' \\ \vec{c}'A\\ \vec{c}'A^2 \end{bmatrix}$$

Mein Vektor c war das oben definierte y=[C 0 0], mit der unbekannten 
Variable C.
Weiter ist mir erstmal nichts zur Teilaufgabe b) eingefallen.
In der Teilaufgabe c) multiplizierte ich die bereits ermittelten 
Streckenpole mit dem Faktor 1,5 und erhielt somit die Pollagen p1=1,5, 
p2=3 und 3=6.
Damit konnte ich den Alpha-Vektor berechnen:

$$(p-p_1)(p-p_2)(p-p_3)=p^3+\alpha_2p^2+\alpha_1p^1+\alpha_0$$

und schließlich den Reglervektor k:

$$k'=[a-\alpha]'[Q_SA\bigtriangledown ]^{-1}=\begin{bmatrix} -6,5 \\ -17,5\\3,5 \end{bmatrix}'[\begin{bmatrix} 0& 0& 1\\ 0 & 1&6\\ 1 &4 &16 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 14&-7&1\\ -4&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}]^{-1}$$

Wie kann ich nun mit dem Reglervektor k den Zustandsregler entwerfen?
Für Aufgabe d) fehlt mir die Information über den geschlossenen Kreis. 
Wie bestimme ich diesen?
Über produktive Denkanstoße wäre ich sehr Dankbar

MfG Manfred

[ich (Gast)]

Geschlossener Regelkreis: y=f(w) , also mit k und v.

[Manfred (Gast)]

Steh noch etwas auf dem Schlauch. Ich könnte ja

$$u=w*V-x_3*k_3-x_2*k_2-x_1*k_1$$

verwendenund x1 ersetzen durch

$$x_1=\frac{y}{C}$$

Leider seh ich noch nicht das Bild als Ganzes. Geht der Gedanke in die 
richtige Richtung?

[ich (Gast)]

Nein. Einfach die Zustandsgleichungen aufstellen.
X3_dot = ...  * x3 + ... * x2 + ... * x1 + ... * w

[Manfred (Gast)]

Neuer Versuch:

$$\dot{x_3}=-4x_3+u$$

Und für u kann ich Folgendes einsetzen

Manfred schrieb:
> u=w∗V−x3∗k3−x2∗k2−x1∗k1

-->

$$\dot{x_3}=(k_3-4)*x_3-k_2*x_2-k_1*x_1+V*w$$

[ronny (Gast)]

Ich habe schonmal kot gefrüstückt. Konnte dir diese Antwort helfen?

[Jens K (Gast)]

Zustandskleichungen sind falsch, so ist x1d = x2-x1